九年级数学平时作业06 相似三角形的判定与性质（13大题型）（巩固培优）原卷版

天气：汹

限时练习：60min完成时间：—月—日

作业06相似三角形的判定与性质

积累运用

知识点一、相似三角形的相关概念

1、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。

三角形相似具有传递性。

2、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三箱形对应边的比是有顺序的。

知识点二、相似三角形的判定

判定I：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

判定3：如果一个三角形的两个隹与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。

知识点三、相似三角形的性质

①对应角相等，对应边的比相等；

②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多

边形的面积比等于相似比的平方。）

知识点四、利用相似三角形测高

1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。

2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是

其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。

培优训练

三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型

1巩固提升练

题型一相似三角形的判定

1.（25-26九年级上.江苏南京・期天）如图，在锐角三角形48c中，八B,AC上的高CE,防相交于点D.

（2）连接打，求证：AEFsCCB.

2.（25-26九年级上.浙江湖州.期末）如图，在矩形八BCD中，E是44边上的一点，连接CE,作EF1CE交

边人。于点尸.

(1)求证：.AEFs,BCE：

(2)若A8=7,8c=3,EB=\,求D尸的长.

3.（25-26九年级上•陕西榆林•期中）如图，在.A8c中，ZACT=90°,过点C作CD_LA8于点。，点E为

C。的中点，连接班:并延长交AC于点F,且有3A'=A〃，过点尸作切_LA3于点从

⑴求证：BDEs,ADC；

（2）若E”=3,求8E的长度.

4.（25-26九年级上•陕西榆林・月考）如图，在VABC中，点。，石分别在边BC,4c上，连接OE,且。石〃/W,

点尸在DC上，且条=彩

A

（2）若CF=4,。产=8,AC=12百，求证：t.DCE^ACD.

5.（2025九年级上•全国•专题练习）如图，在VA5C中，4。平分2/1AC交人C于点。，AD=BD.

(1)求证：AABCSABDC.

(2)若NC=9(r,BC=2,求A5的长.

题型二选择或补充条件使两个三角形相似

6.（25-26九年级上•吉林松原•期末）如图，在五边形八BC力中，AE//BC,延长84、BC,分别交直线

于点例、N.若添加一个条件后，仍无法判定△MA£SAJXW,则这个条件是（）

cAEMErAMME

A.AB//CDB.-C.Z1=Z2D.

CNDNCDDN

7.（25-26九年级上•河北廊坊•月考）如图，已知点。，E分别在VA6C的边/W,/1C上，连接。E.若添加

下列一个条件后，可以判定△ABCs/kA£D,则这个条件是（）

A.ZADE=ZAB.ZADE=NC

DEAD、AEAC

C---=---D---=---

BCAB'ABAD

8.：25-26九年级上•全国•单元测试）如图：点。在VA8C的边AB上，连接CO,下列条件：©Z4CD=ZB；

2

®^ADC=ZACI3X@AC=ADAB;®ABCD=AC-I3C.其中不能判定A4CZ）sA4BC的是（填

序号）.

9.（24-25八年级下•浙江金华•月考）如图，在V"。中，点O为边人C上的一点，选择下列条件：①N2=ZA；

D/-'D

②/一如；③就=而；④花;而中的一个,能得出V和^8相似的是:（填序号）.

1（）.（25-26九年级上•湖南常德・期中）如图，在四边形A8C。中,AD〃BC,点、F,E分别在线段8c.AC

上，且NE4C=Z4DE,AC=AD.

D

BC

⑴求证：DAE^.ACT7；

（2）请添加一个条件,使.ABFs.cDE,并写出证明过程.

题型三相似三角形判定综合

11.（2025・江苏无锡•二模）如图，点E在，A8C。的对角线AC上，当AC平分N8CD,且NE=NA6C时.

求证；

（1）四边形A38是菱形;

（2）4C£>sBAE.

12.（2025九年级上•全国•专题练习）如图，己知等腰VA3C和等腰VA0E有公共的顶点4,且A3=AC,

AD=AE,NE4C=NZM3,点E恰好落在边3c上（与3、。不重合），连接80.

⑴求证：BD=CE；

⑵若48与OE相交于点尸，求证：cCAE^cBEF.

13.（2025九年级上•全国•专题练习）如图，在VA4c中，ZACB=90°,C4=CB,CO是A8边上的高，点

£为线段CD上一点（不与点C,点。重合），连接BE,作所_L座与4c的延长线交于点小，与8C交于

点G,连接BF.

（2）若崇=笠，求证：4CEF=NCBF•,

EGBG

14.（24-25九年级上•陕西咸阳•期中）如图，在平行四边形人次第中，过点B作BE_LC。，垂足为石，连接

AE,尸为4E上一点，且/BFE=/C.

⑴求证：AABF^AEAD.

（2）若A£=2,ZBA£=30°,求A4的长.

15.（24-25九年级上•陕西榆林•期末）如图，在RtZVIBC中，ZACB=90°,CO是V48C的中线，作AE_LCO

于点E.

A

D

B

（1）求证：△ACES2\B4C；

（2）若4。=石，CE=\,求CO的长.

题型四相似三角形判定定理的证明

16.（25-26九年级上•浙江宁波•月考）如图，V48c中，A8>AC,D为4B上一点，下列条件：①/8=NAC£>,

@ZADC=ZACBt③笑二空，④AC:ABAO中，能判定V.A3C与&A8相似的有（）

CDBC

C.3个D.4个

17.（25-26九年级上•全国•阶段练习）如图，在矩形4BC。中，E是边AO上的任一点，连接BE,过点E作

8E的垂线交8C的延长线于点尸，交CD于点P,则图中共有一对相似三角形.

18.（25-26九年级上•全国•阶段练习）

图①图②

（1）如图①，在RtAABC中，NC=90o,45=10,AC=8,石是4c上一点，AE=5,EDJ,AB,垂足为D求AZ）

的长.

（2）如图②，在AA3C中，4C=14,8C=6,点。,£分别在线段上，NEDB=NACB=60。,DE=2.求

AZ）的长.

19.（24-25九年级上•辽宁铁岭•月考）四边形A3CO为平行四边形，点E和点尸分别为边A£>,A8的中点,

连接炉、CF,£尸交对角线4c于点G.

(1)若AC=8,求AG的长；

(2)如果A4=AC,求证：^AFG^^ACF.

2。.(24-23九年级上•海南俯州•期中)如图，在四边形中，石是A8的中点，DB和CH父于点、卜’，

DF=FB,AF//DC.

(1)求证：△BEFSABAD；

(2)求证：四边形AQb为平行四边形；

(3)若£)8_LCE,八。=4,BF=3EF,求BC的长.

题型五证明三角形的对应线段成比例

21.(24-25八年级下•上海静安•期末)如图，在四边形同BC。中，NA=NB=90。，AD//BC,且AD>3C,

A3=4C=1O,点夕在3c边上，点8关于直线4尸的对称点为。,CQ的延长线交边A。于点R,如果4?=CP,

那么线段AP的长为.

22.(24-25九年级上•上海浦东新•月考)如图，点D、E分别在M3C的边AB、AC上，且N/lOE=/C,

若DE=3,BC=6,AC=8,则AO=.

23.(25-26九年级上•江西抚州•期中)已知，点E是AC上任意一点，菱形ABCDs菱形RFCE.

DC

E,

AB

(1)求证：AACD^ACBE：

⑵若N7M4=60。，BF=2,求AC的长.

24.（24-25九年级上•湖南长沙•月考）如图，在正方形ABC。中，E为AD边上一点,EF工BE交CD于点F.

⑴求证：

（2）若A4=4,CF=3FD,求。石的长；

25.（2025・广东深圳•一模）如图①，在RIVA8C中，AC=BC,ZACB=90。，点、D为BC边上的一点,连

接AO,过点。作CE_LA力于点F,交A8于点£,连接OE.

（2）如图②，若AB=4i，DE工BC,求大的值.

AE

题型六利用相似三角形的性质求解

26.（25-26九年级.匕陕西西安・月考）如图，。、E分别是VABC的边AB、AC上的点，旦DE"AC,AE.

CQ相父于点O，若S△［）（）£•S&COA=1:16,则SAME：S^CDE是（）

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:16

27.（25-26八年级上•安徽蚌埠•期中）如图，在V4BC中，石是BC上的一点，£C=2BE,点D是AC的中

点，设VA8C,公ADF,所的面积分别为S^c，，S庇一且S^=24,则S的「S戚=（）

A.4R.6C.8D.10

28.（25-26九年级上•黑龙江齐齐哈尔•期末）已知V48C,点。在八4边上，过点。的直线与AC边相交于

点、E,若A8=8,AC=6,AO=3,当VAOE与VA8C相似时：AE的长为.

29.（25-26九年级上.四川遂宁.期中）如图，在V43c中，AA=15,在AC上取一点。，使4。=3,DC=6,

如果在A8上取一点E,使VAOE与V4BC相似，则AE长为.

30.（25-26九年级上•浙江・期末）如图，在VABC中，点RE/分别在边A及AC,8c上，连结DE,DF,BE,

DF2

与的相交于点G.已知四边形Q”•七是平行四边形，且空=：.

⑴若AC=25,求线段AE,G尸的长.

⑵若四边形G”•石的面积为32,求BPG的面积.

题型七相似三角形的判定与性质综合

31.（24-25九年级上•云南德宏•期末）如图，在和RtZXACZ）中，NB=ZACD=90。，A。平分NBAD.

(1)证明：AABC^.ACD.

(2)若43=4,AC=5,求AO的长.

32.（25-26九年级上•河北唐山・期末）如图，在平行四边形ABC。中，点E在边A。上，CE交BD于点F,

ZDCE=ZADB.

⑴求证：DCEjFBC；

（2）如果AO=3OE.

①若比）=10,求CO的长；

②若四边形ABCO的面积为24,求力所的面积.

33.（25-26九年级上•甘肃白银•期末）如图，在VA3c中，点P,。分别在边3C,AC上，PALAB,垂足

APAfi

为A,DPtBC,垂足为P,且等=器

⑴求证：ZAPD=ZC

⑵如果A8=3,DC=2,求AP的长.

34.（25-26九年级上.安徽.期末）如图，在VABC中，。是4C边上一点，连接A。，AB=AD=CD,ZABC

的平分线房交4。于点”.

⑴求证：IABC^.FEAX

….CD6

(2)已知=£

Ar

①求嘤的值;

AF

②若8=12,求AE的值.

35.（2026・湖北•模拟预测）（1）如图1,在矩形A8CZ）中，点E,”分别在边。C,BC上,AE1DF,垂

足为点G.求证：△ADEs/x/x才.

（2）如图2,在正方形A8C。中，点E,产分别在边。C,8c上，AE=Q尸，延长3C到点〃，使C”=OE,

连接求证：ZADF=^H.

（3）如图3,在菱形48C。中，点E,尸分别在边。C,BC上,AE=DF=\\,DE=8,ZAED=ar,求

CF的长.

题型八利用相似求坐标

36.（25-26九年级上•贵州贵阳・月考）如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的字，若把这

两个字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点丛G和对应点C,〃的连线刚好经过原点

0,其中点C,月均在x轴上.若OH.HC=3:2,点G的坐标是（-6,2）,则点6的坐标为（）

37.（2025•海南海口•一模）如图，在△ABC中，ZACB=90°,边在x轴上，顶点A,B的坐标分别为（一

2,6）和（7,0）.将正方形OCOE沿x轴向右平移，当点£落在边上时，平移的距离为（）

A.2B.3C.4D.5

38.（24-25八年级下•江苏苏州・月考）如图，在平面直角坐标系中，点48的坐标分别为（0,6）、（8,0）,

连接动点P从点A开始在折线段4OB上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点。从点B

开始在线段84上以每秒3个单位长度的速度向点A移动.设点P、Q移动的时间为，秒，当△APQ与VAOB

相似时，点P的坐标是

39.（24-25九年级上•江苏盐城•月考）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫

格点三角形.在如图5x5的方格中，作格点VA4C和△QAB相似（相似比不为1）,则点C的坐标是,

40.（24-25九年级上.全国•阶段练习）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4.0）和B点（0.3）,点

C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是.

题型九在网格中画与已知三角形相似的三角形

P、Q、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点,

D.T

42.（24-25九年级上•黑龙江牡丹江•期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点A,B,。都在

正方形网格的格点上.在图中以线段八B为一边，另一个顶点在格点上，且与VABC相似（但不全等）的格

点三角形的个数是（）

B

AC

A.IB.2C.3D.4

43.（25-26九年级上•上海浦东新•期中）数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点

（幻〃，比〃山/〃）或整点.坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形.如图，点A、8、C、。都是格

点，，dQa是一个格点三角形，且点尸的坐标是（4,1）,若点A、8、C、。分别都和点/＞、Q连接，且连

接后构成的格点三角形和-PQR相似，则这个点的坐标是.

44.（24-25九年级上•上海虹口•期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三

角形叫做格点三角形.如图，VA6c是格点三角形，在图中的6x6正方形网格中作出格点三角形VA/止（不

含YABC）,使得（同一位置的格点三角形VAOE只算一个），这样的格点三角形一共有_

个.

C

45.（25-26九年级上•吉林长春・期末）图①、图②、图③均为6x6的网格，每个小正方形的顶点称为格点，

每个小正方形的边长均为1.VA3C顶点均在格点上.在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直

尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹.

（2）在图②中画VA3C的中位线“，使点£、产分别在边A3、AC上.

9

（3）在图③中画乙AG”，使点G、"分别在边A3、AC上，且其面积比为.

716T

题型十相似三角形的动点问题

46.（25-26九年级上•浙江宁波•月考）如图，在VA3c中，A8=5,8c=6,点P从点A开始沿边48向点

3以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边8c向点。以2cm/s的速度移动，如果点P,Q分别从点4

8同时出发，，秒后，与VH4c相似，则/的值是（）

-15-25C15Tl7

c1或行D-W或不

47.（25-26九年级上•浙江衢州・月考）如图，在RIA43C中，ZC=90°,AC=10cm,3c=8cm,点尸从

点C出发，以2cm/s的速度沿着向点八匀速运动，同时点。从点4出发，以lcm/s的速度沿着8C向点

。匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止.经过（）s后，△PCQ与VA4C相似.

「40-25-40-16卜25.J6

B*W或亍。万或亍D.—或一

77

48.（25-26九年级上•黑龙江绥化•期末）如图，在RtAABC中,ZC=90°,AC=16cm,BC=8cm,动点

P从点C出发，沿C4方向运动：同时动点。从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s,

点。的运动速度为2cm/s,那么运动秒时，VA4c与APCQ相似.

49.（25-26九年级上•江西吉安•月考）如图，等边VA8C的边长为7cm,BD=6cm,CE=2cm,P为BC边

上动点，以0.25cm/s的速度从3向C运动，假设尸点运动时间为左，当，=s时，与△CPE相

似.

E

BPC

50.(25-26九年级上•宁夏银川•期中)在平面直角坐标系中，已知QA=10cm,08=5cm,点尸从点O开始沿

04边向点A以2cm/s的速度移动；点。从点4开始沿80边向点。以lcm/s的速度移动.如果P、。同时出

发，用/(s)表示移动的时间(04f45).

⑴用含/的代数式表示：线段PO=_cm；OQ=_cm.

(2)求当/为何值时，四边形”。的面积为19cm。.

(3)当△POQ与VA08相似时，求出，的值.

题型十一重心的有关性质

51.(25-26九年级上•江苏盐城・月考)如图，点。是VA8C的重心，若VA8C的面积是12,则80户的面积

是()

C.3D.2

52.(25-26九年级上.浙江衢州・月考)如图，在VA4c中，D,£分别是4C,AC的中点，AD与BE交于点

G.若BG=6,则属=()

53.(25-26九年级上•江苏无锡・月考)如图‘点G是V"C的重心，。是"边上一点，登连接CQ,

连接AG并延长分别交心8于点反F,则等的值为

54.（25-26八年级上•山西朔州•期中）如图，在VA8C中，AB=AC,点P是VA8C的重心，连接4尸并延

长，交4C于点。，若4）=10,引）=4,则VA4C的面积为.

or）DJ7

55.（25-26九年级上•上海普陀・期中）如图，在V/WC中，点。、七分别在边4氏4c上，一=—k,连

ADEC

接AE、C。交于点G,连接OE.

的值:

⑵当％=1时，取AC边中点尸，连接EF交CD于点H.己知CO=12,求G”的长.

题型十二相似三角形的实际应用

56.（25-26九年级上•湖北襄阳・月考）源沱河是石家庄的“母亲河”，滋养着冀中平原.嘉嘉为测晟源沱河某

段的宽度，采用如下方法：如图，该段河道两岸平行，他在对岸选定目标点A,在靠近自己的河岸取点4和

C,并在人A,AC的延长线上分别取点。，E,使DE〃BC,经测量8c=200米，OE=300米，点E到

的距离为350米，A/1BC于点尸.

C

E7)

（I）求"的值;

（2）求源沱河该段的宽度

57.（甘肃省白银市2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷；如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理

光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点4

处反射后，恰好经过木板的边缘点儿落在墙上的点£处，点E到地面的高度OE=3.5m,点尸到地面的高

度"=l.5m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4m,墙到木板的水平距离为C£>=4m.已知光在镜面反射中

的入射角等于反射角，图中点A、B、C、。在同一水平面上.求灯泡到地面的高度AG.

地面。C平面镜A

58.（25-26九年级上•甘肃,天水•期末）龙角塔（图1）,位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重

要人文景观.如图2,某校数学兴趣小组利用自制的直角二角形硬纸板。四来测量龙角塔AB的高度.他们

通过调整测量位置,使斜边OE与地面保持平行,并使边与龙角塔顶点A在同一条直线上.已知1m,

EF=0.5m,目测点。到地面的距离力G=（）.5m,到龙角塔的水平距离。C=21m,求龙角塔A3的高度.

图1

59.（25-26九年级上•辽宁鞍山•期末）学习了相似的相关数学知识以后，老师布置了阶段练习：查阅历史上

相似学的典型应用.安安阅读了《周髀算经》，在这部中国最早的“测天最地”著作里，安安发现相似学大最

用于测量，下面是安安关于“陈子模型”的学习笔记，请将表格补充完整，写出计算过程与结论：

测量目标知道太阳的高低和大小

测量方法使用圭表，利用影长测量人与太阳的距离：利用竹竿测量太阳直径.

测量一图形测量过程

已知：圭表高8尺，从太阳正

下方无影之点直上到太阳的

距离（BC）为80000里,圭

表距太阳正下方的距离

1（AB）为60000里.步骤：

在观测点A.当圭表（DE）

上的影长（AE）为6尺时，

D计算观测人与太阳的距离.即

\

AC的长（点。为太阳中心

BEA点）.

计算过程及结论：

图形测量过程

已知：与上述测量同时同地，

利用竹空（占代望远设备）.竹

空彼长（”到PQ的距离）与

竹空直径（P。）的长度之比

为80:1.

步骤：观测人让太阳（MN）

测量二的边缘恰好充满竹管的圆孔

时可计算太阳的直径.

计算过程及结论：

60.（25-26九年级上•四川达州•期中）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综

合与实践''小组的同学把''测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成

了如下活动报告.根据上面活动报告，解答下列问题：

活

测量学校旗杆的高度

动

课

题

活

动

利用相似三角形知识解决实际问题

目

的

活

动

皮尺、镜子、标杆等

工

具

测

量

方案利用影子方案利用镜子方案利用标杆

方

案

测

444

量ZJ

:1

iDL(

示XZ

XX

FECBECBDFB

图

小智在他前面立一根标

杆所，当小智的眼睛C、

小慧在她脚下放置镜子。，然标杆顶部E、旗杆顶部A

后向后退，直到她刚好在镜子在同一直线上时，小组同

测在同一时刻，小组同学测得身

中看到旗杆顶部A.小组同学学测得标杆所高为2

量高为1.6米的小乐的影长EF

测得小慧的眼睛距离地面的米，小智的眼睛距离地面

过为2.4米，同时测得旗杆的影

高度OE为1.5米，小慧到镜的高度C。为1.55米，小

程长8C为22.5米.

子的距离EC为2.1米，旗杆到智与旗杆A8之间的距离

镜子的距离为21米.08为40.35米，小智与

标杆月厂之间的距离。尸

为4.5米.

计••••・••••

算

结

果

反

思...……

（1）利用方案A测得旗杆A3的高度为米；

（2）请将方案8的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度；

（3）请利用方案C借小智计算旗杆AB的高度.

题型十三相似三角形的综合问题

61.（25-26九年级上•江苏泰州・月考）我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1,

四边形ABC。中，AC为对角线，在「.AS的C/）上取一点P,连接AP,如果△APC是等腰三角形，且VABC

与△APO相似，则我们称?C是该四边形CO边上的“等腰邻相似三角形”.

⑴如图2,A8C。中，ZD=45°,若△APC是A4边上的“等腰邻相似三角形“，且

ZDCA=ZBCP,则NA4C的大小是一：

（2）如图3,在四边形A8CO中，若/8C4=N£>=3NC4。，N84C=2NCAQ,请在图3中画出一个4。边上

的”等腰邻相似三角形人PC”，并证明△APC是边上的“等腰邻相似三角形”；

⑶若RiAAPC是某个四边形48CZ）的“等腰邻相似三角形“，且AP=PC=1,VA8C与△APC相似，请直接

写出对角线BD长度的所有可能值.

62.（24-25九年级下•湖北武汉•月考）【问题背景】（1）如图1,ZACB=ZADE=^r,AC=I3C,,\D=DE.求

证：BE=&CD;

【变式迁移】（2）如图2,E为正方形A6CO外一点，NE=45。，过点。作。尸_L6E,垂足为尸，连接C尸.求

BE

近的值;

【拓展创新】（3）如图3,A是/内一点，BE=BF,AF=AZE4B=90°,ZFEA=ZBFA,AE=2AB,

直接写出A8的长.

E

63.(24-25八年级.上•湖北武汉・期末)如图，在VA8C中，48=AC,点。为BC的中点，石为4c上一点.

(1)若/。3=120。,/%/=60°,点F为A8上一点.

①如图I,DE1AC,则黑的值为_______(直接写出结果)；

CE

②如图2,若点E在C4的延长线上，尸在AB的延长线上.试判断4£BF,AC之间满足的数量关系并说明

理由；

(2)如图3,若8E_LAC于点£8£Z)A的延长线交于点G.若G芸F=4?，请直接写出AF株的值为______.

BE5AB

64.(24-25九年级上•河南驻马店•期末)问题发现：

(1)如图1,在mA8C中，ZABC=90°,A8=6,HC=8,点。为AB上一点，且4)=208,过点。作

.DEDB

DE//BC,填空：——=________,——=________:

BCEC

类比探究：

(2)如图2,在(1)的条件下招V/W)£绕点A逆时针旋转得到：AMN,连接BM,EN,CN,请

DMRM3g

求出FT，)的值；

ENCN

拓展延伸：

(3)如图3,V4BC和.。同为等边三角形，且A8=3EF=6,连接40,BE,将力所绕AC(DF)

的中点。逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中的最大值.

N

A

65.(24-25八年级下•江苏苏州•期末)如图，已知菱形ABC。，点七是8C上的点，连接。£点C关于。石

的对称点尸恰好落在边上，连接。F、EF,延长/E,交。。延长线于点G.

(1)求证：△DFGsAFAD；

(2)连接BD,若BD=6,菱形ABC。的边长为5.

①求菱形48CO的面积；

②求CG的长.

能力培优练

1.（25-26九年级上•陕西西安•期中）如图，已知点E和点。分别是VABC的边CA和边胡的延长线上的点,

连接E。，则添加下列条件：①〃=/。；②NC=Nf；③某;悬；④绘=黑；能够判定

ADDEAEAD

△ABCS/XADE的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（24-25九年级上•河南开封•期天）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离

旗杆适当距离的水平地面匕然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同•直线上），直到恰好可以在镜子里

看到旗杆的顶端.已知小颖的眼睛离地面的高度。。为1.8m,同时量得小颖与镜子的水平距离。尸为1.6m,

镜子与旗杆的水平距离8/为9.6m,则旗杆高度AB为（）

C.9.6mD.10.8m

3.（25-26九年级上•全国・期末）如图，在矩形A8c。中，点E、F分别在边AD力C上，Z^BE<^Z^）EF,

D.x/13(j

4.（25-26九年级上•浙江杭州•月考）如图，在V48C中，AC=3,BC=2,ZC=60°,。是线段8c上一

点（不与端点8,。重合），连接A。，以4。为边，在的右侧作等边三角形AOE,线段AOE交于点E

则线段C/长度的最大值为（）

£

BDC

A.迫B.-C.正D.-

9424

5.124-25九年级上•浙江杭州•期末）如图，在V48C中，A8=AC,点。，E分别在AB,AC上，AD<AE,

连接C。，BE，交于点尸.若CD=BE,则图中与..ABE相似的三角形是.

6.（24-25八年级下•山东威海•期天）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右

依次是增、木板和平面镜.电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点8处反射后，伶好经过木板

的边缘点F,落在墙上的点E处.点石到地面的高度ED=3.5m,点尸到地面的高度FC=1.5m,灯泡到木

板的水平距离AC=5.4m,墙到木板的水平距离为CO=4m.已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图

中点A、B、C、。在同一水平面上，则灯泡到地面的高度G4为.

7.（25-26九年级上•辽宁盘锦・期末）如图，在VABC中，2B90?,AB=6,BC=12,动点P从点3开始

沿边BA向点4以lmm/s的速度匀速移动，同时动点Q从点。出发沿边CB向点B以2mmZs的速度匀速移

动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止移动，那么经过s时，VA3C与V8PQ相似.

8.（2026九年级.全国•专题练习）如图，在矩形A8CO中，8c=7,A3=9,P是矩形内部一点，且尸8=3,

连接AP,",延长”交AB于点”，若即=1，则;4P+PC的最小值为

9.（25-26九年级上.山西晋中.期口）已知：如图，在VA4C中，点。是边AC上的一点,NO4C的平分线

交AC于点E,且AE=/S.

⑴求证：△AB/AZsACA；

⑵若47=5,8=4,求AE的长.

10.（25-26八年级上•上海•期中）已知在梯形A8CO中，ADBC,ZAEB+ZC=180°：

(1)求证：△ADEs^DBC；

（2）连接EC,若CD2=ADBC,求证：ZDCE=ZADB.

11.（24-25八年级下•江苏苏州•期末）塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记.如图①，

北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸.小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度.

信息传递---------------------------

5法线：过入射点并垂直于镜面的直线。

入射角：法线N

I

入射光线与法

Y入射角♦反射角

线的夹角。

反射角：

反射光线与法

线的夹角。入射点

图①图②

D

E

B

AC

图③图④

【学科融合】光的反射定律:如图②,光反射时,反射科线、入射光线和法线在同一平面内,反射光线、

入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角；

【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔CD的高度，他先在地面点P处平放一面镜子，然后沿直线CP退

至点A处，此时眼睛8恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端。.经测量，小明的眼睛到地面的距离

AB=1.6m,AP=1.2m,CP=57.0m,求北寺塔CO的高度；

【解决问题】小明再将镜子移至直线4c上的点。处，当他回到点A处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶

部E.

①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点。（不写作法，保留作图痕迹）;

②经测量，AQ=L5m,求塔刹QE的高度（精确到0.1m）.

3创新题型练

1.(25-26九年级上•湖北武汉・月考)如图1,在即ABC中，N84C=90。，作A/5_LBC,垂足为点Q.

⑴求证：AD2=BDCD；

(2)皿图2,矩形及'GH的顶点E,r分别在A8,AC上，顶点”，G在8C上，A。与EF交于点/.

①求证：累=5；

ADBC

②若4)=4,80=8,EF=2EH,直接写出EF的值.

2.(25-26九年级上•山东德州•月考)【问题发现】矩形里的有趣“十字架”

某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”；如图①，在矩形人48中,

AD=m,AB=，i,E、F、