NOIP2026提高组区间DP与环形DP专项练习题

NOIP2026提高组区间DP与环形DP专项练习题区间DP专项练习题（共3题，总分30分）第1题（10分）题目描述：某城市有N个相邻的路口，编号从1到N。每个路口i都有一个初始权重Wi。现在需要在这N个路口中选择一个区间[li,ri]（1≤li≤ri≤N），使得该区间内所有路口的权重之和最大。区间必须连续，且li和ri的取值唯一确定。请输出最大区间和及其对应的区间端点。输入格式：第一行输入一个正整数N（1≤N≤1000）。第二行输入N个正整数Wi（1≤Wi≤1000），表示每个路口的权重。输出格式：第一行输出最大区间和。第二行输出对应的区间端点li和ri，若有多组解，输出任意一组即可。示例：输入：513-25-1输出：824提示：可以使用动态规划的方法解决，定义dp[i]表示以i为右端点的最大区间和，状态转移方程为dp[i]=max(dp[i-1]+Wi,Wi)。最终答案为max(dp[i])及其对应的区间端点。第2题（10分）题目描述：一个长度为N的序列包含正整数，每个元素可以增加或减少1的次数不限，但增加或减少的次数必须为偶数。求在上述操作下，序列的最大可能和。区间DP可以用于解决此类问题。输入格式：第一行输入一个正整数N（1≤N≤500）。第二行输入N个正整数Ai（1≤Ai≤1000），表示序列的初始值。输出格式：输出最大可能和。示例：输入：42314输出：10提示：对于每个元素，可以增加或减少偶数次，相当于每个元素可以保持原值或变为另一个偶数（如增加2或减少2）。因此，可以将问题转化为求每个元素在偶数操作后的最大可能值，再求区间和的最大值。动态规划的状态可以表示为dp[i][j]，其中i表示区间左端点，j表示操作次数（0表示不操作，1表示操作一次等）。第3题（10分）题目描述：一个长度为N的序列，每个元素有一个初始值Wi。现在需要选择一个区间[li,ri]，使得该区间内所有元素的平方和最大。区间必须连续，且li和ri的取值唯一确定。请输出最大区间平方和及其对应的区间端点。输入格式：第一行输入一个正整数N（1≤N≤500）。第二行输入N个正整数Wi（-1000≤Wi≤1000），表示序列的初始值。输出格式：第一行输出最大区间平方和。第二行输出对应的区间端点li和ri，若有多组解，输出任意一组即可。示例：输入：5-23-14-3输出：3224提示：平方和最大的区间可以通过动态规划求解。定义dp[i][j]表示以i为右端点的区间平方和的最大值，状态转移方程可以表示为dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+Wi^2,Wi^2)。最终答案为max(dp[i][j])及其对应的区间端点。环形DP专项练习题（共3题，总分30分）第4题（10分）题目描述：一个长度为N的序列包含正整数，需要选择一个不重叠的区间[li,ri]，使得该区间内所有元素的和最大。但区间必须满足：li和ri不相连（即不能是相邻区间）。请输出最大区间和及其对应的区间端点。输入格式：第一行输入一个正整数N（3≤N≤1000）。第二行输入N个正整数Ai（1≤Ai≤1000），表示序列的初始值。输出格式：第一行输出最大区间和。第二行输出对应的区间端点li和ri，若有多组解，输出任意一组即可。示例：输入：513254输出：1224提示：环形DP问题可以通过将序列扩展为2N（复制一份原序列），然后求解非环形区间DP，最后减去非环形解中的最大值（即去除首尾相连的情况）。定义dp[i][j]表示以i为右端点的区间和，状态转移方程为dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+Ai,Ai)。最终答案为max(dp[i][j])及其对应的区间端点。第5题（10分）题目描述：一个长度为N的序列包含正整数，需要选择一个不重叠的区间[li,ri]，使得该区间内所有元素的平方和最大。但区间必须满足：li和ri不相连（即不能是相邻区间）。请输出最大区间平方和及其对应的区间端点。输入格式：第一行输入一个正整数N（3≤N≤500）。第二行输入N个正整数Ai（-1000≤Ai≤1000），表示序列的初始值。输出格式：第一行输出最大区间平方和。第二行输出对应的区间端点li和ri，若有多组解，输出任意一组即可。示例：输入：4-12-34输出：2923提示：环形DP问题可以通过将序列扩展为2N（复制一份原序列），然后求解非环形区间DP，最后减去非环形解中的最大值（即去除首尾相连的情况）。定义dp[i][j]表示以i为右端点的区间平方和，状态转移方程为dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+Ai^2,Ai^2)。最终答案为max(dp[i][j])及其对应的区间端点。第6题（10分）题目描述：一个长度为N的序列包含正整数，需要选择一个不重叠的区间[li,ri]，使得该区间内所有元素的积最大。但区间必须满足：li和ri不相连（即不能是相邻区间）。请输出最大区间积及其对应的区间端点。输入格式：第一行输入一个正整数N（3≤N≤1000）。第二行输入N个正整数Ai（1≤Ai≤100），表示序列的初始值。输出格式：第一行输出最大区间积。第二行输出对应的区间端点li和ri，若有多组解，输出任意一组即可。示例：输入：523145输出：6024提示：环形DP问题可以通过将序列扩展为2N（复制一份原序列），然后求解非环形区间DP，最后减去非环形解中的最大值（即去除首尾相连的情况）。定义dp[i][j]表示以i为右端点的区间积，状态转移方程为dp[i][j]=max(dp[i-1][j]Ai,Ai)。最终答案为max(dp[i][j])及其对应的区间端点。答案与解析第1题答案：输出：824解析：使用区间DP求解。定义dp[i]表示以i为右端点的最大区间和，状态转移方程为dp[i]=max(dp[i-1]+Wi,Wi)。遍历所有i，更新dp[i]和最大值。最终答案为max(dp[i])及其对应的区间端点。具体步骤：dp[1]=max(1,1)=1dp[2]=max(dp[1]+3,3)=3dp[3]=max(dp[2]-2,-2)=1dp[4]=max(dp[3]+5,5)=8dp[5]=max(dp[4]-1,-1)=8最大值为8，对应的区间为[2,4]。第2题答案：输出：10解析：对于每个元素，可以增加或减少偶数次，相当于每个元素可以保持原值或变为另一个偶数（如增加2或减少2）。因此，可以将问题转化为求每个元素在偶数操作后的最大可能值，再求区间和的最大值。动态规划的状态可以表示为dp[i][j]，其中i表示区间左端点，j表示操作次数（0表示不操作，1表示操作一次等）。具体步骤：对于每个元素，可以增加或减少2的偶数次，因此最大可能值为Ai+2k（k为偶数）。但为了简化，可以认为每个元素可以保持原值或变为另一个偶数（如2,4等）。因此，最大区间和为所有偶数的和。序列中偶数为2,2,4，和为8。更准确的方法是动态规划：dp[1]=2dp[2]=max(2+3,3)=5dp[3]=max(5+1,1)=6dp[4]=max(6+4,4)=10最大值为10。第3题答案：输出：3224解析：使用区间DP求解。定义dp[i][j]表示以i为右端点的区间平方和的最大值，状态转移方程为dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+Wi^2,Wi^2)。遍历所有i，更新dp[i][j]和最大值。最终答案为max(dp[i][j])及其对应的区间端点。具体步骤：dp[1]=(-2)^2=4dp[2]=max(4+3^2,3^2)=13dp[3]=max(13+(-1)^2,(-1)^2)=14dp[4]=max(14+4^2,4^2)=32dp[5]=max(32+(-3)^2,(-3)^2)=37最大值为32，对应的区间为[2,4]。第4题答案：输出：1224解析：环形DP问题可以通过将序列扩展为2N（复制一份原序列），然后求解非环形区间DP，最后减去非环形解中的最大值（即去除首尾相连的情况）。定义dp[i][j]表示以i为右端点的区间和，状态转移方程为dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+Ai,Ai)。最终答案为max(dp[i][j])及其对应的区间端点。具体步骤：扩展序列为[1,3,2,5,4,1,3,2]。求解非环形区间DP，最大区间和为[2,4]的12。第5题答案：输出：2923解析：环形DP问题可以通过将序列扩展为2N（复制一份原序列），然后求解非环形区间DP，最后减去非环形解中的最大值（即去除首尾相连的情况）。定义dp[i][j]表示以i为右端点的区间平方和，状态转移方程为dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+Ai^2,Ai^2)。最终答案为max(dp[i][j])及其对应的区间端点。具体步骤：扩展序列为[-1,2,-3,4,-1,2,-3,4]。求解非环形区间DP，最大区间平方和为[2,3]的29。第6题答案：输出：6024解析：环形DP问题可以通过将序列扩展为2N（复制一份原序列），然后求解非环形区间DP，最后减