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函数类数学建模0203.2建立函数模型解决实际问题知识讲解

我们知道．用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系；明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型．然后根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；再通过运算、推理，求解函数模型．最后利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的．在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据．1．观察实际情景，发现和提出问题

中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．那么在25℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题．为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型．案例2：泡茶的最佳时间2．收集数据

我们可以利用秒表、温度计等工具（若用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好），收集茶水温度随时间变化的数据．

例如，某研究人员每隔1min

测量一次茶水温度，得到表1的一组数据．79.1974.7571.1968.19时间/min水温/℃0123485.00表165.1053．分析数据

茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型．为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型．

设茶水温度从85℃开始，经过

xmin后的温度为y℃．根据表1，画散点图（图1）．

观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数y＝kax＋25(k∈R，0<a<1，x≥0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律．4．建立模型

根据实际情况可知，当x＝0

时，y＝85，可得

k＝60．

为了求出温度的衰减比例a，可从第2min的温度数据开始，计算每分(y－25)的值与上一分(y－25)值的比值，列出表2．54.1949.7546.1943.19xy－250123460.00表240.1050.91810.92840.93510.9285比值0.9032

能否直接将表1中的一组数据代入y＝60ax＋25

求a？这与用比值的平均值作为a建立函数模型有什么差异？？5．检验模型将已知数据代入①式，或画出函数①的图象（图2），可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律．

上述过程可以

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