2025北京丰台区高二(上)期中数学试题及答案

高中2025北京丰台高二（上）期中数学考试时间：120分钟第I卷（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.准线方程为的抛物线的标准方程为（）A. B. C. D.3.圆心为且经过原点的圆的方程是（）A. B.C. D.4.的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为（）A. B. C. D.5.设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（）A.6 B.10 C.12 D.156.为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（）A.1 B. C. D.-17.已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知圆：上恰有两个点到直线：的距离等于1，则b的取值范围是（）A. B.C. D.9.根据椭圆的光学性质可以得到如下结论：如图，，是椭圆：的两个焦点，P为椭圆C上任意一点，为椭圆在点P处的切线，光线经过直线反射后一定经过另一个焦点.过作的垂线，垂足为H，则点H的轨迹方程为（）A. B.C. D.10.已知是圆：上的一个动点，且直线与直线交于点，则对于任意实数，的取值范围是（）A. B. C. D.第II卷（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知椭圆：的一个焦点为，则椭圆的离心率为______.12.已知两直线：和：，若，则与间的距离为______.13.已知点，点在圆：上，则的最大值为_______；若与圆相切，则切线的方程为_______.14.已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于_______.15.已知曲线（a为常数），给出下列四个结论：①曲线关于坐标原点对称；②当时，曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；③设为曲线上的一个动点，则存在，使得有最大值（其中为坐标原点）；④记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，都有.其中所有正确结论的序号为_______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.求满足下列条件的直线的方程：（1）经过点，倾斜角为；（2）经过点和；（3）经过点，且与直线平行.17.已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上.（1）求圆C的方程；（2）求直线被圆C所截得的弦长.18.在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积.19.在平面直角坐标系中，椭圆E的两个焦点分别是，，并且经过点.（1）求椭圆E的标准方程；（2）直线：与椭圆E交于不同的两点.（ⅰ）求k的取值范围；（ⅱ）若，求k的值.20.已知椭圆：的离心率为，A，C分别是椭圆E的上、下顶点，B，D分别是椭圆E的左、右顶点，四边形的面积为4.（1）求椭圆E的方程；（2）设P为第一象限内椭圆E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：.21.已知行列的数表的分量都是非零整数.若数表满足如下两个性质，则称数表为规范表：①对任意，中有个，1个1；②存在.使得都是正整数.（1）分别判断数表，是否为规范表（直接写出结论）；（2）若，是否存在规范表满足?若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由；（3）若，是否存在规范表满足?若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由.

参考答案考试时间：120分钟第I卷（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910BDDCAAADDA第II卷（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 12.2 13.①.②.或14.2 15.①②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）因为直线过点，斜率，代入直线的点斜式方程得：.所以直线的方程为；（2）因为直线经过点和，所以直线的斜率.代入直线的点斜式方程得：.所以直线的方程为；（3）因为所求直线与直线平行，所以设所求直线的方程为.因为直线经过点，所以，即.所以直线的方程为.17.【答案】（1）法一：设圆C的方程为，依题意得，解得，，.所以圆C的方程为.法二：设线段的垂直平分线为直线m，则C既在直线m上，又在直线上.因为的中点为即（2，2），直线的斜率为，所以直线m的斜率为-1.所以直线m的方程为，即.联立，解得.所以点C坐标为.又因为圆的半径为，所以圆C的方程为.（2）因为圆心到直线的距离设直线与圆C交于M，N两点，由垂径定理得，弦长.18.【答案】（1）依题意得，抛物线C的焦点F坐标为，准线方程为，由抛物线的定义可知，，解得，所以抛物线C的方程为；（2）设，，则，由，得，则，，所以，又因为原点O到直线的距离，所以的面积.19.【答案】（1）因为椭圆E的焦点在轴上，所以设椭圆E的标准方程为.由椭圆的定义可得：，，所以，.所以椭圆E的标准方程为.（2）（ⅰ）设，.联立，整理得.依题意得，.解得，或.所以，k的取值范围为.（ⅱ）由（ⅰ）知，，..因为，所以，即.所以.解得.所以的值为.20.【答案】（1）依题意得，，且，解得，所以椭圆E的方程为；（2）设，其中，，.因为，，，，所以直线的方程为，令，则，所以，因为直线的方程为，又直线的方程为，联立，解得，所以，所以直线的斜率，又因为，所以，因为直线的斜率，所以，又因为直线与直线显然不重合，所以.21.【答案】（1）（1）数表，，当时，，，中有个，1个1；当时，，，中有个，1个1；满足条件①；，当时，，，均为正整数，满足条件②，综上B是规范表；数表，，当时，，，中有个，2个1；不满足条件①，则C不是规范表．（2）不存在.用反证法假设存在规范表满足，令，则；另一方面，根据性质①：，所以对任意，；又由条件②，存在，使，矛盾，所以假设不成立，即不存在符合题意的规范表（3）存在符合题意的规范表.①构造：考虑满足如下条件的数表，其中，并且当时，相邻两行与满足对成立，则数表为符合题意的规范表；②估值：以下证明，当为偶数且时，规范