《函数的零点与方程的解 用二分法求方程的近似解》课件

第四章

指数函数与对数函数4.5

函数的应用（二）4.5.1

函数的零点与方程的解

4.5.2

用二分法求方程的近似解丨必备知识解读知识点1

函数的零点例1-1

下列说法正确的是(

)

C

知识点2

函数零点存在定理

CD

图4.5.1-3

C

知识点3

用二分法求方程的近似解例3-5

以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是(

)

CA.

B.

C.

D.

CA.5

B.6

C.7

D.8

方法帮丨关键能力构建题型1

求函数的零点（方程的根）

1

AA.7

B.5

C.4

D.3

【学会了吗|变式题】

B

题型2

判断函数零点的个数

CA.0

B.1

C.2

D.3

图4.5.1-4

CA.0

B.1

C.2

D.3

图

4.5.1-5

BA.1

B.2

C.3

D.4

图

4.5.1-6【学会了吗|变式题】

BA.1

B.2

C.3

D.4

图D

4.5.1-1

题型3

函数零点位置的确定

C

B

图4.5.1-7

【学会了吗|变式题】

C

A

图D

4.5.1-2

题型4

由函数零点求参数

C

B

图4.5.1-8

图4.5.1-9

【学会了吗|变式题】

C

图D

4.5.1-3

题型5

一元二次方程根的分布及应用

【学会了吗|变式题】

BCD

图4.5.1-12

图4.5.1-13

【学会了吗|变式题】

ACD

图D

4.5.1-4

题型6

用二分法求方程的近似解（或函数零点的近似值）

列表如下：端点（中点）（端点）中点函数值或近似值零点所在区间1，2

图4.5.1-14

图4.5.1-15

CA.0

B.1

C.2

D.3

高考帮丨核心素养聚焦考向1

确定函数零点的个数

AA.2

B.3

C.4

D.5

图4.5.1-16

2

图4.5.1-17

考向2

与函数零点有关的参数问题

高考新题型专练

AC

图D

4.5.1-5

BCD

图D

4.5.1-6

AD

图D

4.5.1-7

图D

4.5.1-8

练习帮·习题课A

基础练

知识测评1.下列函数不存在零点的是(

)

D

D

C

CA.0

B.1

C.2

D.3图D

4.5.1-9

AB

图D

4.5.1-10

1.51.251.125

B

综合练

高考模拟

AA.1

B.2

C.0

D.3

C

ACD

图D

4.5.1-11

图D

4.5.1-12

10图D

4.5.1-13

图D

4.5.1-14

图D

4.5.1-15

C

培优练

能力提升

图D

4.5.1-16

图D

4.5.1-17

图D

4.5.1-18

图D

4.5.1-19

探究一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;(3)f(x)=4x-16.反思感悟

1.因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即为函数的零点.2.求函数零点时要注意零点是否在函数定义域内.变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.解

由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的实数解.令log2(-2x+1)=0,得x=0.所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.探究二函数零点个数的判断例2判断下列函数零点的个数:(1)f(x)=(x2-4)log2x;(2)f(x)=x2-;(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.解

(1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,故函数有2和1两个零点.由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数只有一个零点.(3)(方法1)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg

3-2=2+lg

3>0,∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.(方法2)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示.由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.反思感悟

判断函数零点个数的常用方法1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.2.直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数.3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.4.若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.变式训练2(1)若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是(

)A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1] D.[1,+∞) (2)函数f(x)=lnx+x2-3的零点的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案

(1)B

(2)B解析

(1)由题知,函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则Δ=4-4a<0,解得a>1,故选B.(2)函数对应的方程为ln

x+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=ln

x与y=3-x2的图象交点个数.在同一平面直角坐标系下,作出两函数的图象(如图所示).由图象知,函数y=3-x2与y=ln

x的图象只有一个交点,即方程ln

x+x2-3=0有一个根,故函数f(x)=ln

x+x2-3有一个零点.探究三判断函数的零点所在的大致区间例3(1)方程log3x+x=3的实数解所在的区间为(

)A.(0,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)(2)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数解所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为

.

x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345答案

(1)C

(2)1解析

(1)令f(x)=log3x+x-3,则f(1)=log31+1-3=-2<0,f(2)=log32+2-3=log3<0,f(3)=log33+3-3=1>0,f(4)=log34+4-3=log312>0,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程log3x+x=3的实数解所在的区间为(2,3).(2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数解.由题表可知

f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在定理可得f(1)f(2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.反思感悟

1.若函数连续不间断,则判断函数零点所在的区间可直接使用函数零点存在定理,反之,若函数解析式中含参数,则可以利用零点所在的区间的端点建立不等式求参数的范围.2.涉及方程h(x)=g(x)的解所在的区间时,若能直接解方程,则求出根后判断,若不能够解方程,则通过构造函数f(x)=h(x)-g(x),结合函数零点存在定理转化为求函数的零点.3.函数y=f(x)与y=g(x)图象交点的横坐标所在的区间即为函数y=f(x)-g(x)的零点所在的区间.变式训练3若函数f(x)=x2--1在区间(k,k+1)(k∈N)内有零点,则k=(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案

A探究四已知零点个数求参数的取值范围答案

[-1,+∞)解析

函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有2个交点.作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1.变式训练4已知a