山南高二数学逻辑思维专项训练卷

山南高二数学逻辑思维专项训练卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“x²≥1”的否定是“__________”。（A）x²≤1（B）x²<1（C）x<1或x>-1（D）x≤1且x≥-12.“a>0”是“方程x²+ax-1=0有两个正根”的__________条件。（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充要（D）既不充分也不必要3.若p:∃x₀∈ℝ,使得x₀²-x₀<0，则“¬p”表达的是__________。（A）∀x∈ℝ,x²-x≥0（B）∀x∈ℝ,x²-x<0（C）∃x∈ℝ,使得x²-x≥0（D）∃x∈ℝ,使得x²-x<04.已知命题p:“x>1是x²>1的充分条件”，命题q:“x²>1是x>1的必要条件”，则下列判断正确的是__________。（A）p真q假（B）p假q真（C）p真q真（D）p假q假5.给出下列四个命题：（1）若x²=1，则x=1；（2）若x=1，则x²=1；（3）若x²≠1，则x≠1；（4）若x≠1，则x²≠1。其中真命题的个数为__________。（A）1（B）2（C）3（D）46.“x=1”是“x²-3x+2=0”的__________条件。（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充要（D）既不充分也不必要7.设集合A={x|x²-5x+6≥0},B={x|ax=1}。若B⊆A，则实数a的取值集合为__________。（A）{-1,2}（B）{-1,0,2}（C）{0,2}（D）{-1,1/2,2}8.已知命题p:“函数f(x)=x³-ax+1在区间(1,+∞)上单调递增”，命题q:“a≤3”。则“p或q”为真命题时，实数a的取值范围是__________。（A）a≤3（B）a≤1（C）a∈ℝ（D）a≤1或a≥39.对于命题“若m>0，则方程x²+mx+1=0有两个负根”，下列说法正确的是__________。（A）命题的逆命题为真（B）命题的否命题为真（C）命题的逆否命题为真（D）命题为假命题10.若集合M={x|x=2k,k∈ℤ},N={x|x=k+1,k∈ℤ}，则M与N的关系是__________。（A）M⊊N（B）M⊇N（C）M∩N=∅（D）M=N二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.写出命题“对于任意的x∈ℝ,x²+1>0”的否定：__________。12.若命题“p∧q”为假命题，且命题“p∨q”为真命题，则命题p,q的真假性必为__________。13.用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空：命题“|x|>1”是命题“x⁴>1”的__________条件。14.已知a,b为实数，若a²+b²=0，则a,b的取值必满足__________。15.给出命题p:“存在实数x₀,使得sinx₀=2”。则命题p的真假性为__________，请简述理由：__________。三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：（1）若m>0，则x²+mx+1=0有两个实根。（2）若a+b>2，则a²+b²>2。17.（本小题满分12分）求实数m的取值范围，使得关于x的方程(m-1)x²+2x+(m+1)=0有两个不相等的负实根。18.（本小题满分12分）判断命题“若a²+b²=1，则ab=-1”的真假，并给出证明或反例。19.（本小题满分13分）用反证法证明：若a,b,c为不全相等的正数，则a²+b²+c²>ab+bc+ca。20.（本小题满分13分）已知集合A={x|x²-2x-3≥0},B={x|1<ax≤3}。（1）当a=1时，求A∩B；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围。21.（本小题满分14分）观察数列：2,5,10,17,26,...，猜想该数列的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论。试卷答案1.C2.A3.A4.A5.B6.B7.A8.D9.C10.C11.∃x₀∈ℝ,使得x₀²+1≤012.一真一假13.充要14.a=0且b=015.假；sinx的值域为[-1,1]16.（1）逆命题：若x²+mx+1=0有两个实根，则m>0。真命题。否命题：若m≤0，则x²+mx+1=0没有两个实根。真命题。逆否命题：若x²+mx+1=0没有两个实根，则m≤0。真命题。（2）逆命题：若a²+b²>2，则a+b>2。假命题。否命题：若a+b≤2，则a²+b²≤2。假命题。逆否命题：若a²+b²≤2，则a+b≤2。假命题。17.m<-1或m>1/218.假命题。反例：取a=1,b=0，则a²+b²=1，但ab=0≠-1。19.假设结论不成立，即a²+b²+c²≤ab+bc+ca。整理得2a²+2b²+2c²≤2ab+2bc+2ca，即(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≤0。由于a,b,c不全相等，故(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²>0，与假设矛盾。故原命题成立。20.（1）a=1时，A={x|x≤-1或x≥3},B={x|1<x≤3}。A∩B={x|3≤x≤3}={3}。（2）若a=0，B={x|x>1}，不满足B⊆A。若a≠0，B={x|1/a<x≤3/a}。要使B⊆A，需满足1/a<-1或3/a≥3。解得a≤-1或a≤1。由于a≠0，故a≤-1或0<a≤1。21.猜想：aₙ=n²+1(n∈ℕ*)。证明：（1）当n=1时，a₁=1²+1=2，与数列第一项相符，结论成立。（2）假设当n=k(k∈ℕ*)时结论成立，即a<0xE2><0x82><0x99>=k²+1。则当n=k+1时，a<0xE2><0x82><0x99>+1=(k+1)²+1=k²+2k+2=(k²+1)+2k+1=a<0xE2><0x82><0x99>+2k+1。观察数列：a₂=5=2+2*1+1，a₃=10=5+2*2+1，a₄=17=10+2*3+1，...，a<0xE2><0x82><0x99>=a<0xE2><0x82><0x99>₁+2(1