第8章-混沌电路的分析与设计放映

现代电路理论与设计第８章

混沌电路的分析与设计

电路理论与设计

本章介绍现代电路理论的一个重要内容就是现代非线性电路理论，而现代非线性电路的一个重要内容就是混沌电路。传统的非线性电路主要研究频率变换电路、非线性器件、功率放大电路、振荡电路、模拟乘法电路、混频电路、调制与解调电路以及这些电路中的非线性特性及分析与设计方法等。它的一个主要特征是，当信号经过这种电路后将会产生新的频率分量。现代非线性电路则主要研究混沌电路。

“混沌”一词的基本含义是无序、不确定。混沌作为一门科学，至今在学术界尚无统一的定义。一般来说，混沌是自然界中由确定性的运动条件而导致的不确定、如同随机运动的一类运动状态。混沌运动是普遍存在于人类生活、自然科学各个领域的一种基本的非线性现象。当然，混沌也存在于电子学的各个领域，它在电子学中涉及的范围也是相当广泛的。电路理论与设计

本章介绍过去，由于技术和观念的局限，我们总是将不少的非线性系统在某个区间内或在一定的条件下简化为线性问题来处理。然而，我们周围的很多事物实际上都是以非线性的规律运行着。混沌学就是力图探索非线性系统运动的真实规律，揭示它的本质，刻画它的基本特征，了解它的动力学行为，并对它加以控制和利用。本章主要研究非线性电路的一般处理方法、典型的混沌电路以及混沌电路的分析与设计方法。同时还简单介绍混沌电路在保密通信方面的运用。电路理论与设计

本章介绍电路理论与设计8.1混沌电路

为了对混沌电路有一个初步的了解，下面介绍如下图所示的最简单的混沌电路，该电路称为林森混沌电路。电路由电阻R、电感L、变容二极管D和一个外加输入信号u组成。如果元件值取R=200，L=100µH，变容二极管D选1N4001型，输入信号u是频率f=2MHz、振幅值Um可以变化的正弦波电压。林森混沌电路当改变输入信号的振幅值而观察电路中回路电流i的变化情况时，就会发现如下现象：当输入电压的振幅值Um小于1V时，回路电流i是一个与输入信号同频率、同周期的非正弦电流。回路电流i的频率为f=2MHz，周期为T=1/f=0.5μs。回路电流i的周期变化与输入信号的幅值Um的关系如下图中0～Um1段所示。电路理论与设计8.1混沌电路当输入电压的幅值Um增加至1~2V之间的某一个值Um1时，回路电流i是一个周期性的非正弦电流，而且它的幅度具有如下的规律：在激励信号的第一个周期，响应电流i的振幅较小。而在激励信号的第二个周期，响应电流i的的振幅较大。在激励信号的第三周期，响应电流i的振幅与激励信号的第一个周期时相同。在激励信号的第四个周期，响应电流i的振幅与激励信号的第二个周期时相同。可见，在这个电路中，激励信号变化了四个周期，响应信号变化了两个周期。这种现象称为2周期分岔。电路理论与设计8.1混沌电路

以输入激励信号的幅值Um为横轴，以等激励周期横截输出所得点为纵轴，得到倍周期分岔图如下图所示。当输入电压的幅值Um继续增长，例如达到Um2时，回路电流仍为周期性的非正弦电流，但它的周期变为输入信号周期的4倍，即Tm2=4T=1/(4f)。这种现象称为4周期分岔。回路电流i的周期数与输入信号的幅值Um的关系如下图中Um2～Um4段所示。电路理论与设计8.1混沌电路之后，回路电流仍然是周期性的非正弦电流，但它的周期会变为输入信号周期的8倍、16倍。即出现8周期分岔和16周期分岔。自16周期分岔后，电路的电流开始变成非周期性的非正弦电流，而且该电流在一定区域内进行永不重复的振荡，如右图所示。这时我们称电路进入了混沌状态。电路理论与设计8.1混沌电路

如果电路的条件不发生变化或在一定的范围内变化，这种状态将会在电路中一直持续下去。输入电压变化时混沌持续进行的这个区域称为混沌区。在该电路中，混沌区实际上是指能够使混沌持续进行的输入电压变化的一个范围。在经过一个混沌区后，随着输入电压幅值的增加，电路中还会出现3周期分岔、6周期分岔、12周期分岔。然后再进入另一个混沌区。电路理论与设计8.1混沌电路左图和右图所示的电压电流关系说明课本图8.1的电路产生了混沌现象。这种能产生混沌形象的电路称为混沌电路。混沌电路的主要研究内容包括混沌电路的概念、数学基础、基本分析方法、基本设计方法、电路中的分形、混沌测量与控制、混沌保密通信、孤立子通信、神经网络电路以及混沌电路在现代通信系统和信号处理中的应用等。电路理论与设计8.1混沌电路电路理论与设计8.2非线性电阻电路一个电路能够产生混沌现象的最基本条件是电路中有非线性元件。如果电路中一个元件的参数随电路变量的变化而变化，则该元件称为非线性元件。常遇到的非线性元件有非线性电阻、非线性电容和非线性电感。如果一个电路中含有非线性元件，则该电路就叫做非线性电路；如果一个非线性电路中只含有非线性电阻，而不含有其他非线性元件，则该电路就叫做非线性电阻电路；如果一个非线性电路中含有非线性电容或非线性电感这样的动态元件，则该电路就叫做非线性动态电路。

不管是非线性电阻电路还是非线性动态电路，都可以分为时变电路和时不变电路两种。非线性电阻电路和非线性动态电路的数学描述方法和分析方法都不相同。非线性电阻电路由非线性代数方程描述，非线性动态电路则由非线性常微分方程描述。下面首先讨论非线性电阻电路。非线性电阻电路的分析方法主要有图解法和分段线性化两种方法。电路理论与设计8.2非线性电阻电路8.2.1图解法在模拟电路的学习中，我们对于含有二极管、三极管等非线性元件的非线性电阻电路都是采用图解的方法进行分析。利用同样的方法可以分析任意的非线性电阻电路，如下图所示。图(a)是一个非线性电阻电路。其中，虚线框内为该电路中线性部分的戴维南等效电路，它的伏安特性如图(b)中的直线所示。

ROVO+_i=g(v)iv_+iVO/ROVO0Q1Q2Q3v(a)(b)电路理论与设计8.2非线性电阻电路从下图中的直线可以看出，该直线与戴维南等效电路的等效电压VO和等效内阻RO的大小有关。电压VO就是该电路的激励电源。电路中的非线性电阻用其伏安特性i=g(v)来表示，如下图中曲线所示。如果把非线性电阻视为一个二端网络，那么下图中的曲线所示的端口电流（或电压）与端口电压（或电流）的这种伏安特性称为该非线性电阻的驱动特性，简称为DP图。iVO/ROVO0Q1Q2Q3v电路理论与设计8.2非线性电阻电路ROVO+_i=g(v)iv_+iVO/ROVO0Q1Q2Q3v(a)(b)在图(a)中，电路的线性部分和非线性部分接在一个共同的端口上。因此，该非线性电路的解就是图(b)中直线和曲线的交点。这些交点是在电路的激励电压为某一恒定值的条件下得出的，因此也称为静态工作点。由于直线和曲线有可能交于一个点，也可能交于多个点，也可能根本没有交点，因此电路的静态工作点可能有一个，也可能有多个，也可能根本没有。电路理论与设计8.2非线性电阻电路如果一个一般的非线性电路有(n+m)个电路变量，那么上页图(b)中直线和曲线就变成(n+m)个曲面，这些曲面的交点（线）就代表该非线性电路的静态工作点。电路理论与设计8.2非线性电阻电路8.2.2分段线性化法分段线性化方法实际上是一种对非线性电路进行近似求解的方法。对于一个含非线性电阻的电路，分段线性化的具体方法是：首先根据计算精度的需要把非线性电阻的DP图分成几个曲线段，然后用直线段去近似地代替这些曲线段。则在每一个直线段的定义区域内，该非线性电路中的非线性电阻就可以用一个线性电阻来代替，将该非线性电路转化成线性电路，对它进行分析和求解，最后求出各段解的组合，就是该非线性电路的解。电路理论与设计8.2非线性电阻电路下图中实线所示的是一个非线性电阻的伏安特性曲线，三条虚线段OA、AC和CD就是对该非线性电阻的分段线性表示。这样进行分段线性化的过程实际上是用三个线性电阻近似代替了这个非线性电阻。在三个线性电阻中，虚线段OA和CD代表两个正电阻，虚线段AC代表一个负电阻。i0vABCD电路理论与设计8.2非线性电阻电路从上面的分析可以看出，分段线性化方法实际上是用几个线性伏安特性的组合去逼近一个非线性电阻的伏安特性，从而达到用几个线性电路的组合去逼近一个非线性电路，从而就可以用几个线性电路分析结果的组合去逼近对一个非线性电路的分析，从而求出该非线性电路的解。电路理论与设计8.2非线性电阻电路混沌电路中经常用到如下图实线所示的非线性电阻。它的特性中有一段必须是负电阻，如图中的曲线ABC段所示。这种非线性电阻是通过分段线性电阻电路的组合来实现的。各分段线性电阻的伏安特性分别如图中的直线OA、AC和CD所示。由于这种特性中有一段具有负电阻的特性，所以这样实现的非线性电阻称为分段线性负电阻。i0vABCD电路理论与设计8.3分段线性电阻的实现从物理概念来看，实现负电阻的电路是一个能输出电能的电源性电路。实现分段线性负电阻的电路有多种，它可以由运算放大器组成的几个线性负电阻电路并联而成，或由一个线性负电阻电路和两个钳位二极管电路组成，还可以由正电阻电路通过适当的转换实现负电阻电路。下面分别进行讨论。电路理论与设计8.3分段线性电阻的实现8.3.1单运算放大器分段线性电阻电路用一个运算放大器实现的分段线性电阻电路如下图(a)所示。电路输入端口的伏安特性曲线如下图(b)所示。由图可见，它的伏安特性曲线分成三段，每段都是线性的。中间一段呈现负电阻特性，它对应于运算放大器的线性放大区。下面分析该电路的工作原理。（a）(b)单运算放大器分段线性电阻电路和伏安特性曲线电路理论与设计8.3分段线性电阻的实现在课本图8.6(a)中，假定放大器的输入电压VI的取值在－E1≤VI≤+E1范围内，可以保证电路工作在线性放大区，如课本图8.6(b)所示。在满足R1=R2、V+=|V-|的条件下，有：可见，当运算放大器工作在线性放大区时，该电路的驱动点特性为一个负电阻。图8.6(b)中，E1和－E1称为曲线的转折电压，V+和V-

分别是运算放大器的正、负饱和电压即正、负电源电压，单位都是伏。下面求转折电压E1的值。电路理论与设计8.3分段线性电阻的实现当输入电压VI较小时，运算放大器工作在线性区，放大器的输出电压VO的范围为V-<VO<V＋。当输入电压VI增加到某一个临界值时，运算放大器开始工作在饱和区，输出电压VO值将达到电源电压V+。这时输入电压VI的值即为E1。当输入电压VI继续增加时，运算放大器继续工作在饱和状态。由于运算放大器的非线性限幅特性，使得电路的输出电压VO将保持不变。考虑到R1=R2，从而有：电路理论与设计8.3分段线性电阻的实现由以上两式，可得课本图8.6(b)所示特性曲线在第二﹑四象限内的拐点坐标分别为：当放大器的输入电压VI的取值范围为VI<-E1及

VI>+E1时，电路工作在非线性区。在非线性区内，电路特性曲线的斜率为：电路理论与设计8.3分段线性电阻的实现将课本式(8.3)中的两个拐点坐标分别代入点斜式方程，求出图中拐点之外折线的方程，如第四象限内有：即得：将课本式（8.2）代入上式，并将II、VI的下标去掉，上式可以表示为电路理论与设计8.3分段线性电阻的实现从而求得课本图8.6(b)所示的曲线的表达式为：上式也可表示为：

可见它是利用运算放大器的限幅特性构成分段线性特性的。电路理论与设计8.3分段线性电阻的实现电路理论与设计8.3分段线性电阻的实现8.3.2双运算放大器分段线性电阻电路由两个运算放大器构成的分段线性电阻电路如图(b)所示。它实际上是由两个图(a)所示的电路并联构成的。图中两个负电阻电路的转折电压不同。两个电路各自的特性分别如右图中细实线和虚线所示。（a）（b）（c）电路理论与设计8.3分段线性电阻的实现

合成以后总的伏安特性如下图中粗实线ABCDEF所示。合成伏安特性曲线ABCDEF由五段组成，中间三段BCDE呈非线性、负电阻的特性，这就是我们所说的非线性负电阻。后面讲到的蔡氏混沌电路主要工作在这个曲线段内，若处于极限环状态，则该电路能够工作在最外面的两段上。因此我们也将具有如图所示非线性特性的电路称为蔡氏二极管。电路理论与设计8.3分段线性电阻的实现分析曲线的主要参数。先计算BCDE各段的斜率。从上面的分析可知，CD段的斜率为：BC段与DE段的斜率相同，为：AB段与EF段的斜率相同，为：由以上三个斜率公式可以得出图中BCDE段的曲线方程为：电路理论与设计8.3分段线性电阻的实现上式也可以用通式表示为：以上两式在后面要讨论的蔡氏电路方程中很有用。根据上面的分析，ABCDEF五段的曲线方程为：8.3.3由分段线性正电阻转换为分段线性负电阻前面介绍的两种分段线性电阻的计算是比较复杂的，因而设计也比较麻烦。通过分析可以看到，下图所示的单运算放大器分段线性电阻电路实际可以看成一个正电阻R3转换为同阻值负电阻(-R3)的变换器。因此，若将下图中的正电阻R3换成分段线性正电阻网络RNL，则可以将分段线性正电阻转换为分段线性负电阻。电路理论与设计8.3分段线性电阻的实现电路理论与设计8.3分段线性电阻的实现由分段线性正电阻直接转换成分段线性负电阻的电路如左图所示。它的电路结构与右图完全相同。其中，RNL为分段线性正电阻网络。若R1=R2，则电路的输入电导等于-GNL。运算放大器的饱和与截止转折电压为：可见，非线性负电阻的转折电压可以由R1控制。分段线性正电阻转换为分段线性负电阻的电路结构电路理论与设计8.3分段线性电阻的实现

表中列出了4种由分段线性正电阻转换成的分段线性负电阻的电路，以及这些电路的伏安特性曲线、电流的表达式、电路参数及实现条件。电路理论与设计8.4混沌电路常用的微分方程

在混沌电路的分析与设计中常用的几个非线性微分方程与迭代方程是：

(1)李纳德(Lienard)方程(2)范德波尔(VanDer

Pol)方程(3) 杜芬(Duffing)方程(4) 洛伦兹(Lorenz)方程(5) 蔡氏电路(Chua’sCuicut，蔡少棠)方程(6) 洛斯勒(Rosslor)方程电路理论与设计8.4混沌电路常用的微分方程电路理论与设计8.4混沌电路常用的微分方程(7) 陈氏(Chen’s，陈关荣)方程（8）负阻尼振荡器电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法

现代电子电路多数能够列写出电路方程，包括电路代数方程与电路微分方程，并且以矩阵的方式出现。电阻电路列写的方程是代数方程，动态电路列写的方程是微分方程，也称为电路的状态方程。如果描述一个电路的状态方程中，时间变量t除了在dx/dt中以隐含的形式出现外，并不以任何显含的形式出现，这种电路称为自治系统(AutonomousSystem)。否则就称为非自治系统(Non-autonomousSystem)。自治系统必须是时不变的电路，而且电路的激励是不随时间变化的。非自治系统所描述的电路是时变的，或者电路是时不变的但电路中包含有随时间变化的激励。本章主要讨论自治系统。电子技术中描述电阻电路的代数电路方程一般都能找到解析解。描述动态电路的许多微分方程没有解析解。非线性电路方程几乎完全找不到解析解，只能利用数值解法去分析电路的动态特性。电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法

电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法为了用数值解法对电路进行求解，必须附加某种定解条件。对于电路而言，定解条件通常是电路的状态变量在初始时刻的条件。这时，相应的定解问题就是初值问题。

电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法为了用数值解法对电路进行求解，必须附加某种定解条件。对于电路而言，定解条件通常是电路的状态变量在初始时刻的条件。这时，相应的定解问题就是初值问题。下面着重讨论电路中具有一定初值的微分方程。

求上述微分方程近似解的一种数值方法是离散变量法。即采用步进的方法求出微分方程的解析解x(t)在一系列离散点tn=tn-1+h，n=1，2，…N上的近似值xn，用这些离散点上的近似值去逼近微分方程的真正解。其中，h是tn-1到tn的步长。电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法为了方便，可设h不变。这样把求微分方程解的连续问题化为求各离散点上近似解的离散问题，这个过程称为离散化过程。离散化过程是把电路连续的微分方程的初值问题化为一个离散的差分方程的初值问题，然后把差分方程初值问题的解xn作为微分方程的解x(t)在t=tn处的值x(tn)的近似值。这样的离散变量法即为差分法，对应的离散方程称为差分方程。常微分方程初值问题常用的数值解法有欧拉法和龙格-库塔法。电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法8.5.1欧拉法为了阐述数学方法，先讨论公式所示的单变量微分方程的解x=x(t)。方程初值问题的数学意义是求通过点(t0，x0)的一条曲线，称为微分方程的积分曲线。在电子学中的意义是电压u或电流i随时间变化的关系，用示波器观察就是电路的波形。欧拉(Euler)法是过点(t0,x(t0))作曲线的切线与t=t1交于点(t1,x1)，用x1作为曲线x=x(t)上的点[t1,x(t1)]的纵坐标x(t1)的近似值。欧拉法的几何意义如图8.9所示。电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法欧拉(Euler)法是过点(t0，x(t0))作曲线的切线与t=t1交于点(t1，x1)，用x1作为曲线x=x(t)上的点[t1,x(t1)]的纵坐标x(t1)的近似值。欧拉法的几何意义如下图所示。过点(t0，x0)以f(t0，x0)为斜率的切线方程为：电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法当t=t1时，得取x1作为解x(t1)的近似值：x(t1)≈x1。当t=tn+1时，得

一般地，已求得点(tn，xn)，过该点以f(tn，xn)为斜率作直线电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法取x(tn+1)≈xn+1。这样，从t0逐个算出t1，t2,…，tn

对应的数值解x1，x2，…，xn。欧拉法的几何意义就是用一条初始点重合的折线来近似表示曲线x=x(t)。即电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法例1求解初值问题解：欧拉格式的具体形式为xn+1=xn+h(x/2－t/2x)。取步长h=0.1，编写程序，计算结果如下图所示。例1欧拉法数值计算运行结果

电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法

欧拉法计算方法简单、应用灵活，但是它的计算精度比较低。一般采用改进欧拉法来提高精度。改进欧拉法的几何意义如下图所示。先用欧拉法求得微分方程的一个近似解x1a，称之为预报值，取预报值处的斜率x'1a，用x1a与x'1a的平均值求x(n+1)值。改进的欧拉法也叫做预报-校正方法。预报：校正：电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法例2

用改进欧拉法求解例1的初值问题解：改进欧拉法的具体形式为：电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法仍取h=0.1，计算结果如左图所示。将左图所示的计算结果与右图欧拉法的计算结果相比较，可以看出改进的欧拉法的计算精度有明显的提高。改进欧拉法数值计算运行结果

欧拉法数值计算运行结果

电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法8.5.2四阶龙格－库塔法用几个不同点上的函数值的线性组合构成函数值的方法叫龙格-库塔法。由两个不同点上的函数值的线性组合构成函数值的方法叫二阶龙格-库塔法。用三个不同点上的函数值的线性组合构成函数值的方法叫三阶龙格-库塔法。用四个不同点上的函数值的线性组合构成函数值的方法叫四阶龙格-库塔法。在非线性电路分析中常用四阶龙格-库塔法。电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法常用的四阶龙格-库塔法公式为：电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法

四阶龙格-库塔法每一步需要对函数值f(t，x)进行4次计算，因而它的精度较高，可以满足电子工程计算的要求。这种方法需要编制的程序也较简单，每次计算xn+1时，只用到前一步的计算结果xn。因此在已知x0的条件下，可以自动步进式地进行计算，并且还可以在计算过程中随时改变步长h。缺点是每前进一步需多次调用函数f(x，y)，工作量较大，且误差不易估计。电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法例8.3

设步长h=0.2，从x=0到x=1，用四阶龙格-库塔法求解初值问题。解：四阶龙格-库塔法的公式为：

根据上式，编写程序进行计算，运行结果如图所示。对四阶龙格-库塔法和改进欧拉法的计算结果进行对比，可以看出四阶龙格-库塔法的计算精度高。因此，非线性电路方程常用四阶龙格－库塔格式。电路理论与设计8.5非线性电路微分方程的数值解法四阶龙格－库塔法数值计算运行结果

电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法8.6.1混沌运动的分析方法一般来说，混沌来自于非线性系统，但并不是所有的非线性系统都是可以产生混沌的。一个非线性系统是否有可能产生混沌，要通过对该系统进行分析才能确定。如果一个系统可能产生混沌，我们就称该系统是混沌的。混沌可以通过以下几种方法进行分析、描述和观察。（1）通过数值计算，观察系统的相轨道图。如果有一些特殊的相轨道图出现，则认为系统是混沌的。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法（2）计算系统的Lyapunov指数，如果指数为正，则认为系统是混沌的。（3）计算系统的关联维数和Hausdorff维数，如果这些维数是分数，则认为系统是混沌的。（4）计算系统的拓扑嫡和测度嫡，如果它们为正，则认为系统是混沌的。（5）分析系统的功率谱，若功率谱是连续的，则认为系统是混沌的。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法

前面介绍了非线性动态电路的微分方程的建立方法和数值分析方法，从而可以得到电路微分方程的数值解，即积分曲线。这些曲线描述的是电路的节点电压或支路电流随时间变化的曲线，即最常用的时域波形图。除此而外，分析非线性电路动态特性的方法还有图解法，包括波形图、相图、频谱图、参数平面分岔图、庞加莱截面图等。这些方法都是通过观察系统的相轨道图来判断混沌，称为相轨道图法。本书主要介绍相轨道图法。下面分别进行介绍。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法8.6.2相空间、相平面与相图1.相空间在具有n个状态变量的非线性电路中，其状态方程的n个解代表电路中n个状态变量随时间变化的动态特性。当时间为某一确定的值时，状态方程的这n个解就代表n维空间的一个点。若时间作为变量而变化时，状态方程的n个解就会在n维空间中画出一条曲线。这个由状态变量数目确定的n维空间就称为相空间。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法2.相图相空间中的曲线就称为相轨道。对一个非线性电路来说，相轨道就是电路的解在n维相空间中描出的曲线。相空间与相空间上的轨迹总称为相图。3.相平面对于二阶非线性自治系统，其相图为一个二维的平面图形。相空间也就变为一个平面，这个平面就称为相平面。相平面上的坐标点就称为相点。相图的优点是具有很好的物理直观性，因而它是研究非线性电路动态特性的一种很重要的方法。在相图中，为了描述时间变化的方向，在相轨道线上加画箭头加以标注。

电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法线性电路的相图可能是一个几何点(平衡电路)，可能是一段弯曲线段(例如静态响应、衰减振荡)，也可能是一条闭合曲线(如等幅振荡的正弦波李萨如图形)。非线性电路的相图往往是一条无始无终、流畅而优美、代表毫无休止的物体运动的曲线。一般地说，在相空间的一幅相图中，仅有一条曲线。周期运动对应封闭曲线，混沌运动则对应一定区域内随机分布的永不封闭的轨迹（奇怪吸引子）。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法非线性电路的动态特性与物理学的各种动力学系统动态特性完全相同，分析方法也完全相同。所以仍然沿用习惯的叫法，也将非线性动态电路组成的系统称为动力学系统。当相空间的维数超过2或运动很复杂时，相轨道可能混乱一片，很难看出规律和头绪，这是相图的局限性。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法8.6.3相平面中的平衡态非线性电路的状态方程在相平面上决定了一个方向场。若选取相平面的横坐标为x轴，纵坐标为y轴，当dx/dy=0时相轨道有水平切线；当dx/dy→∞时，相轨道有竖直切线；当dx/dy=0/0即x、y随时间的变化率都等于零时，相轨道在该点的斜率不定，此点称为奇点或平衡点。在相平面中，将直接连接自身的特殊轨线称为同宿轨线。将连接两个不同平衡点的特殊轨线称为异宿轨线。将特殊的闭合轨线称为极限环。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法与外界有物质和能量交换的开放和远离平衡态的系统称之为耗散系统。在相空间中描述耗散系统的演化情况要用到吸引子理论。吸引子(Attractor)是分布在相空间的一个特殊区域内的特殊曲线族，它是由相空间的点或点的集合来表示的。吸引子是稳定的平衡点，代表系统的稳定状态。这种点或点的集合对周围的轨道有吸引作用。也就是说，随着时间的流逝，在暂态消亡之后所有的相空间轨线都趋向于它。系统运动只有达到吸引子上才能稳定并保持下来。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法由于吸引子代表系统的稳定状态，所以需要确定系统的平衡点，并判断平衡点的稳定状态。下面讨论相空间中的平衡点。设一个二阶自治电路的方程为：当电路处于平衡态时，和为零，相当于物理学中的质点处于静止状态。记此时电路状态为x0和y0。则上式方程组变为电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法式中(x0，y0)称为平衡点或奇点。在奇点处方程组的解是与时间t无关的常数x=x0，y=y0，称为定常状态解。由于物理系统中的平衡态相当于相平面中的奇点(平衡点)，因此可把奇点看成未被扰动的状态。如果给系统以小小的扰动δx和δy，使其离开平衡态x0和y0，令上式方程的解为：

将方程的解代入上式方程组，并将方程组右端按泰勒公式展开至线性项，则得到：电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法已知在平衡点处，，则并写成矩阵形式：电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法

上式是扰动量为δx、δy时的线性方程组。其右端矩阵记为J，称为雅可比(Jacobi)矩阵。它的表达式为：上式中的线性方程组的解有

的形态，其中λ为雅可比矩阵J的特征值。

电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法根据式教材式（8.40）中所有特征值的实部Reλ的取值情况，电路有不同的状态：当Reλ<0时，则平衡态是稳定的；当至少有一个特征值实部Reλ＞0时，则平衡态是不稳定的；当Reλ≠0时，非线性系统式(8.34)和它相对应的式(8.40)线性化系统的相图在平衡态附近是拓扑等价的。这种平衡态的点称为双曲点。当至少有一个特征值Reλ=0时，用式(8.34)中的方程组来研究非线性系统的平衡稳定性时，它必须包括非线性项。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法下面分析用左式所描述的二维自治系统和与其相对应的式右式所描述的线性系统之间的关系，确定特征值λ。设右式的非零特解为：将上式非零特解代入右上式方程组，得

引入单位矩阵电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法由上页矩阵便可确定如下特征方程的特征值λ：根据行列式的运算，将式上式变为：式中是雅可比矩阵J的秩，它等于两个特征值之和。是雅可比行列式的值，它等于两个特征值之积。行列式的解为：

电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法根据下式中根的性质，分如下几种情况讨论。（1）D<0

当D<0时，λ1和λ2为两个正、负不相等的实根。此时的平衡点是不稳定的，称为鞍点(saddle)，轨道具有双曲线形状。当λ1<0<λ2时，系统在X-Y平面的相图如下图(a)所示，在Z1-Z2平面的相图如下图

(b)所示。当λ1>0>λ2时，轨道的箭头要反向。此时，系统在X-Y平面的相图如下图

(c)所示，在Z1-Z2平面的相图如下图

(d)所示。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法

鞍点

电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法（2）D>0，(T2－4D)>0由式教材(8.47)可见，当D>0、(T2－4D)>0时，λ1和λ2为不相等的两个实根。当λ1和λ2均为负根即λ2<λ1<0时，其解趋于平衡点（原点），此时的平衡点是稳定的，称为节点(Node)或拐点（Inflectednode）。系统在Z1－Z2平面上的相图如下图

(a)、(b)所示。当λ1和λ2均为正根即λ2>λ1>0时，其解都远离平衡点，称为不稳定节点，如图

(c)、(d)所示。(a)λ2<λ1<0稳定节点(b)λ1<λ2<0稳定节点(c)λ1>λ2>0不稳定节点(d)λ2>λ1>0不稳定节点电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法

(3)D>0，(T2－4D)<0当D>0，(T2－4D)<0时，λ1和λ2为共轭复根其解为振荡型。当T<0时，λ的实部Reλ为负，即振幅不断地衰减，轨道以螺旋形卷向平衡点（原点）。此时的平衡点称为稳定焦点(Focus)，系统在X-Y平面上的相图如图（a）所示。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法当T>0时，λ的实部Reλ为正，可见其振幅是不断增加的，轨道以螺旋形卷离平衡点（原点），此时的平衡点称为不稳定焦点，如图

(b)所示。在Z1－Z2平面上相图的形状与X－Y平面上的相图相同。焦点

电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法(4)T=0，(T2－4D)<0当T=0，(T2－4D)<0时，λ1和λ2为纯虚根，解为周期振荡型cos(Imλt)。轨道在X1－X2平面上是一个圆，平衡点是稳定的（圆心），称为中心点(Center)，如图所示。由图可见中心点是稳定的。中心点

电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法综上所述，该二维平衡点在参考平面(T,D)上的分布情况如图所示。二维平衡点分布电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法前面分析的各种平衡点的情况列入下表中。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法8.6.4三维相空间中的平衡态三维自治系统可用如下方程组来描述

由上式可见，该系统在平衡点f1(x0,y0,z0)=0，f2(x0,y0,z0)=0，f3(x0,y0,z0)=0时有以下几种情形。当上式右端雅可比矩阵的三个特征值的实部均是负值时，该平衡点就叫吸引子(Attractor)。当三个特征值的实部均为正值时，平衡点就叫排斥子。

电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法当上式右端雅可比矩阵的三个特征值的实部均是负值时，该平衡点就叫吸引子(Attractor)。当三个特征值的实部均为正值时，平衡点就叫排斥子。在三个特征值中，称实部有正有负的平衡点为鞍点。其中把有正实部的特征值的个数叫做指标(Index)，因此吸引子的指标显然为0，排斥子的指标为3，鞍点的指标可为l或2。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法三维相空间中的平衡点特征值的虚部和实部上述三维相空间中的平衡点情况如下图所示。第一列至第四列分别是指标为0的吸引子，指标为1的鞍点，指标为2的鞍点，指标为3的排斥子。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法8.6.5吸引子守恒系统的相空间体积在运动过程中是保持不变的，因而不存在吸引子。而耗散系统则不同，它与外界有物质和能量的交换，其相空间体积在运动过程中是不断收缩的，运动轨线最后被吸引到一个有限的相空间中去，这就是吸引子。正是由于耗散系统的相空间体积的收缩性，可使轨道趋向于吸引子。在耗散系统中有四种吸引子：定常吸引子、周期吸引子、拟周期吸引子和混沌吸引子。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法定常吸引子：稳定不动点称为定常吸引子，它代表系统的稳定平衡态。如二维空间中稳定的节点和焦点，它反映了状态x(或y)随时间t直接衰减或振荡衰减时的阻尼运动。如左图和右图所示。定常吸引子节点状态随时间的变化

定常吸引子焦点状态随时间的变化

电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法周期吸引子：稳定的极限环代表相空间的一条封闭轨道线，称为周期吸引子。它反映了状态x(或y)随时间t作周期运动。拟周期吸引子：稳定的环面代表准周期运动，称为拟周期吸引子。当ω2/ω1为无理数时，则在环面与平面上的轨道都充满整个环面和平面，这时形成了拟周期吸引子。混沌吸引子：这是在三维或三维以上的另一种吸引子。它是指相空间中吸引子的集合，在该集合中混沌轨道在运行。此吸引子不是平衡点，也不是极限环，也不是周期吸引子，而是具有分数维的吸引子，因此称为奇怪吸引子。

电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法奇怪吸引子与混沌是密不可分的。因为所谓的混沌现象，从另一个角度上讲就是具有整体稳定性的耗散系统中的内部不稳定性。而混沌轨道则是在奇怪吸引子上盘旋运行的解的流。因此，有奇怪吸引子就有混沌现象，没有奇怪吸引子就没有混沌现象。实际上混沌吸引子是一种动力学的概念，奇怪吸引子则是一种几何上的概念。由于混沌吸引子可以不具有分形结构，而具有分形结构的吸引子未必是混沌吸引子，所以它们之间未必有必然的联系。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法但是，研究表明，混沌吸引子往往具有非整数维数，因而往往是奇怪吸引子。今后仍习惯称混沌吸引子为奇怪吸引子。下图所示就是蔡氏电路动态奇怪吸引子，它是将三维空间的图像经过多次伸长和折叠而形成的。

某电路动态变化的奇怪吸引子

电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法8.6.6庞加莱截面图前面介绍的相图研究方法对于二维情况非常方便，对于三维及多维情况很不方便。此时，相轨线占据三维空间，在平面坐标的轨线的投影相互缠绕，很不直观。在这种情况下，采用庞加莱截面较为方便。它的基本方法是：选取适当的二维空间构成一个平面，使得穿过这一平面的轨线在这一平面上留下穿透位置的一个点，这些点的集合就是庞加莱（Poincaré）截面图。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法当系统的运动为极限环运动时，在庞加莱截面上简化为一个不动点；当系统运动为周期运动时，在庞加莱截面上简化为n个点（称为周期n运动）；当系统的运动为准周期运动时，在庞加莱截面上则为沿一条直线段或一条曲线弧分布着的点的集合。因此庞加莱截面图可用来判断一个系统是否为混沌系统。电路理论与设计8.6非线性电路动态特性的图形分析法一个混沌系统的相图和对应的庞加莱截面图分别如图(a)和图(b)所示。

(a)(b)图一个混沌系统的相图及其庞加莱截面图

1983年美国科学家蔡少棠发明了蔡氏混沌电路，促进了现代非线性电路理论的发展。8.7.1蔡氏电路结构与状态方程蔡氏电路的原理如左图所示。用有源电路实现的一种蔡氏电路如右图所示，其中虚线框中的电路就是前面研究过的双运算放大器非线性电阻电路。虚线框外的电路与左图中的完全相同。电路理论与设计8.7典型混沌电路及其分析蔡氏电路状态方程为：其中，v1和v2分别是电容C1、C2两端的电压，iL是电感L中的电流，

G=1/RNL是等效非线性电阻RNL的电导。G(v1)由下式决定，重写于下：或电路理论与设计8.7典型混沌电路及其分析所以下图电路由v1、v2、iL三个状态变量描述，构成三维相空间。由于G(v1)是非线性电导，可以用多项式函数展开，含有高次项，所以在课本式(8.49)方程组中的第一个方程是非线性方程。蔡氏电路方框图和它的实现电路

电路理论与设计8.7典型混沌电路及其分析8.7.2蔡氏电路电压、电流图形分析典型蔡氏电路的电压v1、v2与电流iL波形如下图所示。这些波形呈现无休止的、非周期的、复杂的运动形态。其中v1与iL在两个正、负数值之间跳来跳去，波形相同而极性相反；v2在零附近无规则地变化。典型蔡氏电路中v1、v2与iL信号波形电路理论与设计8.7典型混沌电路及其分析蔡氏电路的相图是v1-v2-iL三维空间的相轨道流线图。在相平面的投影如图(a)、(b)、(c)所示。典型蔡氏电路双涡旋相图电路理论与设计8.7典型混沌电路及其分析将3个相图画在一起并用立体图的形式表示则如图(d)所示。由相图清楚可见，相图轨线在三维相空间中围绕两个点旋绕并在这两个点之间跳来跳去，永不闭合，运动是无周期的。这样的相图很像两个靠近的旋涡，所以称蔡氏电路的这一个运动形态叫做“双涡旋”。图(e)是三维相图的形象化画法。电路理论与设计8.7典型混沌电路及其分析8.7.3蔡氏电路元件参数对运动形态的影响蔡氏电路的运动形态因元件参数值的不同而有不同的拓扑性质。以电路元件参数值作为控制参数可以使蔡氏电路工作在不同的拓扑结构状态。下面以下图电路为例，讨论R在1.298kΩ～1.92kΩ这一范围内变化时电路的状态。电路理论与设计8.7典型混沌电路及其分析先考虑R很大的情况，即R>1.92kΩ，例如R为100kΩ，电路状态变化中v1与v2相图为稳定焦点，呈蝌蚪形，为衰减振荡，如图(a)所示。这就是不动点。

R逐渐减小至1.911kΩ时，等幅振荡。如图

(b)所示。

R逐渐减小至1.910kΩ时，增幅振荡开始，L、C2振幅增至3.7V，C1两端电压振幅增至3.7V，周期1。(a)稳定焦点，v1波形(b)周期1，v1波形(c)周期3，v1波形(d)单涡旋，v1波形(e)双涡旋，v1波形蔡氏电路v1与v2信号输出波形电路理论与设计8.7典型混沌电路及其分析

R为1.918kΩ～1.820kΩ，周期2；R为1.819kΩ～1.818kΩ，周期4；R+1.787kΩ，周期8；R=1.786kΩ，周期16；R继续减少至1.750kΩ为单涡旋图形，这是电路第一次进入单涡旋混沌，为洛斯勒形混沌吸引子。如图(d)所示。(a)稳定焦点，v1波形(b)周期1，v1波形(c)周期3，v1波形(d)单涡旋，v1波形(e)双涡旋，v1波形蔡氏电路v1与v2信号输出波形

R继续减小会出现周期3、周期6、周期12等，并第二次进入单涡旋混沌。这样继续周期—混沌—周期—混沌地演变，直至洛斯勒形混沌结束。电路理论与设计8.7典型混沌电路及其分析

R减少至R=1.7165kΩ时演变成双涡旋图形。基本范围是R为1.716kΩ～1.300kΩ。仔细调试R值(在1/10000精度内)并仔细观察还会发现，双涡旋混沌相图的演变中也有各种“周期”出现，例如R=1.349kΩ时出现“周期5”，R=1.324kΩ时出现“周期3”等。如图(c)和图(e)所示。(a)稳定焦点，v1波形(b)周期1，v1波形(c)周期3，v1波形(d)单涡旋，v1波形(e)双涡旋，v1波形(f)稳定焦点，v2波形(g)周期1，v2波形(h)周期3，v2波形(i)单涡旋，v2波形(j)双涡旋，v2波形电路理论与设计8.7典型混沌电路及其分析

R=1.320kΩ～1.300kΩ，无波形，有一个短暂的不动点。

R=1.200kΩ～1.000kΩ时，10.0ms之前不动，之后缓慢增幅振荡从而达到最大振幅，呈单叶周期。各种演变的波形图如图所示。(a)稳定焦点，v1波形(b)周期1，v1波形(c)周期3，v1波形(d)单涡旋，v1波形(e)双涡旋，v1波形(f)稳定焦点，v2波形(g)周期1，v2波形(h)周期3，v2波形(i)单涡旋，v2波形(j)双涡旋，v2波形蔡氏电路v1与v2信号输出波形电路理论与设计8.7典型混沌电路及其分析电路理论与设计8.7典型混沌电路及其分析各种演变的相图如下图所示。蔡氏电路相图中看到的混沌演变(v1-v2相图)

电路理论与设计8.8混沌电路的设计下面以一个洛伦兹（Lorenz）混沌电路的设计为例，说明一般混沌电路的设计方法。8.8.1数学模型混沌的应用实例最早是由美国气象学家Lorenz在1963年研究大气运动时提出的。描述大气运动的方程是著名的Lorenz方程组：电路理论与设计8.8混沌电路的设计这是一个三阶常微分方程组。由于方程中不显含时间t，为三阶自治方程。该方程以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，方程式中x表示对流强度，y表示向上的流体和向下的流体的温度差，z表示垂直方向温度分布的非线性强度。电路理论与设计8.8混沌电路的设计对于大气的对流运动取a=10，b=28，c=8/3，则方程组为：

取系统的初始状态为x(0)=y(0)=z(0)=10，此时，系统为一混沌系统。电路理论与设计8.8混沌电路的设计8.8.2信号框图与方程对应的信号框图如下图所示。

Lorenz方程的信号框图电路理论与设计8.8混沌电路的设计得到电路的信号框图以后，还需要对下图所示的框图进行仿真。可以使用计算机仿真软件EWB或PSPICE进行仿真。在仿真中如果发现电路输出不符合设计要求，则可以对已设计好的信号框图进行修改，然后再进行仿真，直到满足设计要求为止。电路理论与设计8.8混沌电路的设计8.8.3电路组成由框图可以看出，实现方程的电路应包括3个放大器、3个相加器、2个积分器和2个乘法器。放大器、相加器、积分器可利用前面学过的单元电路实现。乘法器则可以选择集成乘法器实现。

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