第5次课-应力状态说课材料

第5次课-应力状态三、主平面主应力1、主平面——切应力等于零的平面。一点处一般有三个主平面，互相垂直。2、主应力——主平面上的正应力。一点处一般有三个主应力，按代数值大小排列分别记为s1，

s2，

s3，且xysxztxytxzsytyxsztyztzxtzy旋转s1y'x'z's2s3材料力学2中南大学土木工程学院1、单向应力状态——只有一个主应力不为零。单元体四、一点应力状态的分类s简化表示s2、二向（平面）应力状态——有两个主应力不为零。s1s2s1s2纯剪应力状态tt材料力学3中南大学土木工程学院3、三向（空间）应力状态——三个主应力都不为零。s2s3s1三向应力状态特例二向应力状态特例单向应力状态纯剪应力状态材料力学4中南大学土木工程学院§7.2平面应力状态分析——解析法一、平面应力状态的一般情形sxsytxytyxxysysxtxytyx简化表示特别注意：由x轴正向到y轴正向必须是逆时针转向。材料力学5中南大学土木工程学院二、任意斜截面上的应力任意斜截面是指法线位于xy面内的斜截面只要知道单元体六个面上的应力，任意斜截面上的应力便可通过切开单元体后局部平衡求出。1、任意斜截面的表示方法sxsytxytyxtasanaxsxtxytyxsysata局部平衡材料力学6中南大学土木工程学院a面——斜截面

自x轴正向逆时针转到a

面外法线时a

角定义为正。2、应力的正负号规定正应力以拉应力为正，压应力为负。

xsxtxytyxsyaatasanaxsxtxytyxsysata简化表示切应力以绕单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。txytyxta应力的正负号规定是为画出应力的指向及画应力圆用，不表示应力的指向与图示相反。材料力学7中南大学土木工程学院3、任意斜截面上的应力平衡对象——用

斜截面截取的局部单元。参加平衡的量——应力乘以其作用的面积。平衡方程——

xsxtxytyxsyaatasant图示单元各截面面积如图所示。dAdAcosadAsinasadA-sx(dAcosa)cosa+txy(dAcosa)sina+tyx(dAsina)cosa-sy(dAsina)sina=0这里要特别指出，式中tyx要按其大小计算，不考虑负号。材料力学8中南大学土木工程学院

tadA-sx(dAcosa)sina-txy(dAcosa)cosa+tyx(dAsina)sina+sy(dAsina)cosa=0

xsxtxytyxsyaatasantdAdAcosadAsina根据切应力互等定理tyx=txy，及三角函数关系整理后得到（7-1）（7-2）材料力学9中南大学土木工程学院由式（7-1）、（7-2）可得，某点处互相垂直的两个截面上的正应力之和为常数。

某点处互相垂直的两个截面上的切应力大小相等，(负号表示)方向相反。（切应力互等定理）材料力学10中南大学土木工程学院式（7－1）对a求导，得当时，必有正应力取极值的截面上其切应力为零，即为主平面。主平面上的正应力为主应力，为最大值或最小值。三、主平面及位置由得（7-3）材料力学11中南大学土木工程学院式（7-3）可求出相差900的两个角a0，对应两个互相垂直的截面上，一个是最大正应力所在截面，另一个是最小正应力所在截面。（7-4）四、面内最大切应力及位置式（7-2）对a求导，得由可确定面内切应力取极值的截面。（7-5）面内是指截面法线是位于xy平面内的。材料力学12中南大学土木工程学院式（7-5）可求出相差900的两个角a1，对应两个互相垂直的截面上，作用着大小相等，同时指向或背离交线的切应力所在截面。（7-6）式（7-3）和式（7-5）有：所以有材料力学13中南大学土木工程学院一、应力圆方程sa，ta为变量a

为参数§7.2平面应力状态分析——图解法材料力学14中南大学土木工程学院二、应力圆的作法ROstsxtxyAA(sx,txy)BsytyxB(sy,tyx)CA1B1材料力学15中南大学土木工程学院三、应力圆的应用

点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力值；

转向对应——半径旋转方向与单元体斜截面法线旋转方向一致；

二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。1、单元体与应力圆的对应关系ABsOtCA(sx,txy)B(sy,tyx)转向对应nx

2

二倍角对应点面对应D(sa,ta)sataDsxtxysytyxtxy材料力学16中南大学土木工程学院2、单元体斜截面上的应力ABsOtCA(sx,txy)B(sy,tyx)nx

2

D(sa,ta)sataDsxtxysytyxtxy2a0D1材料力学17中南大学土木工程学院3、主应力值及主平面方位主应力值平均应力值主平面方位COstABA1B1FsmaxEsmin2

0BsytyxsxtxyAFEsmaxsmina0材料力学18中南大学土木工程学院COstABA1B1FsmaxEsmin2

0BsytyxsxtxyA4、面内最大切应力值及其作用面方位应力圆上的最高点的切应力最大，即为面内最大切应力，其作用面与主平面的夹角为450。C2C1(sm,tmax)a0FEsmaxsminsmtmax材料力学19中南大学土木工程学院纯剪切tsOttABA(0,t)B(0,－t)CDEDEs1=ts3=－t单向拉伸ssABEDtsOBCA(s,0

)DEsm=s/2tmax=s/2sm=s

/2材料力学20中南大学土木工程学院求：1、指定斜截面上的应力；2、主平面；3、主应力；4、面内最大切应力；5、画出主应力单元体。

x=－20MPa；

y=

40MPa；

xy=10MPa；

=300

解析法:（1）建立坐标系已知单元体如图，图中应力单位为MPa。401020300（2）求sa

，ta=－13.7MPasa

，ta

算好后按实际方向画在原图上300nyxx轴正向到y轴正向是逆时针的tasa材料力学21中南大学土木工程学院（3）求主平面a0=9.220，99.220（4）求主应力401020300tasa∴s1=41.6MPa，s2=0，s3=－21.6MPa（5）画主应力单元体注：主应力smax

的方向是sx与sy中的较大者，顺单元体切应力t

的指向偏转a0角中绝对值较小角而得。s1s39.2209.220（6）求面内最大切应力材料力学22中南大学土木工程学院图解法:（1）画应力圆401020300sOtA(-20,10)A(-20,10)B(40,-10)C（2）求应力圆上的几何数据应力圆半径B截面与最大正应力所在主平面夹角a02

0B(40,-10)B1a0=9.220FEs1s39.2209.220材料力学23中南大学土木工程学院（3）求sa，ta401020300A(-20,10)B(40,-10)sOtA(-20,10)C2

0B(40,-10)B1FE300n2

0a0=9.220D(sa,ta)600（4）求面内最大切应力材料力学24中南大学土木工程学院各向同性材料，应力不超过材料的比例极限。胡克定律成立

§7.4应力与应变的关系一、广义胡克定律yxn--泊松比sxsx材料力学25中南大学土木工程学院三向应力状态的广义胡克定律——叠加法叠加s2s3s1同理。其它方向的应变为材料力学26中南大学土木工程学院xzyOsxsysztxytyxtzytyztzxtxz三向应力状态的广义胡克定律——叠加法（1）线应变只与正应力有关，与切应力无关；切应变只与切应力有关，与正应力无关。（2）一个方向的线应变不仅与该方向的正应力有关，而且与两个垂直方向的正应力有关。因此，考察一个方向的线应变时，需要考虑三个互相垂直方向的正应力。材料力学27中南大学土木工程学院2、求t3、求Me

解：1、应力状态分析画单元体已知轴扭转时的d，E，v，e45o，求Me。450MeKMettK450s1=tKs3=－t材料力学28中南大学土木工程学院解：k点的应力状态为图示纯剪应力状态。图示简支梁k点450方向的线应变为

450，材料的弹性模量为E，泊松比为n，求作用的荷载F。450Fl/32l/3hbttK450s1=tKs3=－t求得材料力学29中南大学土木工程学院轴向拉伸ss§7.6强度理论及相当应力一、建立强度条件的复杂性单向应力状态强度条件横力弯曲st轴向拉伸横截面上任一点和横力弯曲边缘上的点均处于单向应力状态。材料力学30中南大学土木工程学院t扭转t纯剪切强度条件横力弯曲st扭转横截面上边缘上的点和横力弯曲中性轴上的点均处于纯剪切应力状态。st平面应力状态强度条件？×材料力学31中南大学土木工程学院复杂应力状态的形式是无穷无尽的，建立复杂应力状态下的强度条件，采用模拟的方法几乎是不可能的，即逐一用试验的方法建立强度条件是行不通的，需要从理论上找出路。二、利用强度理论建立强度条件（1）对破坏形式分类；（2）同一种形式的破坏，可以认为是相同的原因造成的；（3）至于破坏的原因是什么，可由观察提出假说，这些假说称为强度理论;（4）利用简单拉伸实验建立强度条件。三常用四种强度理论脆性断裂塑性屈服破坏形式分类强度理论也可分为两类，分别对不同的破坏形式提出强度条件。材料力学32中南大学土木工程学院四、相当应力强度条件中直接与许用应力[s]比较的量，称为相当应力sr(形状改变能理论)(最大切应力理论)(最大拉应力理论)(最大伸长线应变理论)强度条件的一般形式sr≤

[s

]材料力学33中南大学土木工程学院常见的平面应力状态如右图所示。已知s和t，写出最大切应力理论和形状改变能理论相当应力的表达式。st解：首先确定主应力st无论正应力s是拉应力还是压应力，