第二章-点、直线、平面的投影

第二章点、直线、平面的投影2-1投影的基本知识2-2点的投影2-3直线的投影

2-4平面的投影一．投影的概念与投影法PABCabcPABCabc(b)．斜投影（c）正投影投影中心P(a)．中心投影SABCabc投射线物体投影投影面2.1投影的基本知识

中心投影法平行投影法一．点在三投影面体系中的投影1．三投影面体系的建立XHWVOZYYWVHWXYHOZ（a）三投影面的展开（b）三投影面体系的建立2.2点的投影ZXVWHYAa′aa〞axayazVHWXYHYWOaxazayhaywZa′aa〞YW2.点的三面投影从前向后投影—Ｖ（正面）—正面投影图—主视图从上向下投影—Ｈ（水平面）—水平面投影图—俯视图从左向右投影—Ｗ（侧面）—侧面投影图—左视图XYHOaxazayhZaywa′aa〞WHVZAa′a〞axayazaXYVHWXYHYWOaxazayhaywZa′aa〞XYHYWOaxazayhZaywa′aa〞3．点的直角坐标和投影规律Ａa′=aax=a〞az=oyAa=a′ax=a〞ay=ozAa〞=a′az=aay=ox1．点到投影面的距离等于相邻投影的投影到相对应的投影轴上的距离。a′a⊥oxa′a〞⊥ozaax=a〞az=oy2．点的投影连线垂直于所对应的轴线。二．两点的相对位置HVWXZYAa′a〞axayazaＢbb〞（b′）Ccc′c〞XYHYWOaxazayhZaywa′aa〞b（b′

）b〞cc′c〞△X=Xa-Xc△Y=Ya-Yb△Z=Za-Zc三．重影点当Xa=Xb、Ｚa=Zb、Ya≠Yb时，点在Ｖ面重影。

当Xa=Xb、Ya=Yb

、Za≠Zb时，点在Ｈ面重影。当Ya=Yb、Za=Zb

、Xa≠Ｘb时，点在Ｗ面重影。HVWXZYXAa′a〞axayazaＢbb〞（b′）Ccc′c〞YHYWOaxazayhZaywa′aa〞b（b′

）b〞cc′c〞Ｐ直线的投影特征ＡＡＡＡＢＢＢＢＣaaaabb(b)bc1．AB∥P

直线实形性2．AB∠P

直线类似性3．AB⊥P

直线重影性或积聚性4．点在直线上，其投影必在该直线的同面投影上。直线上的点分割直线之比，在其投影后保持不变。１２１２2.3直线的投影１．直线的三面投影HVWXZYABβγαXYHYWOZaba′b′b〞a〞a′b′abb〞a〞２．直线在三投影面体系中的投影特征⑴．一般位置直线∠Ｖ、Ｈ、Ｗ直线类似性

α、β、γ在三投影面上都不反映真实大小一．直线的三面投影及投影特征HVWXZYABa′b′abb〞a〞aba′b′a〞b〞βγβγABaba′b′b〞a〞a′b′abb〞a〞αγαγXYHYWOZ⑵．投影面的平行线：１）．正平线２）．水平线３）．侧平线∥Ｖ面直线实形性∠Ｈ、Ｗ面直线类似性ab∥OXa〞b〞∥OZ

β＝０°

α、γ在正面上反映真实大小。∥Ｈ面直线实形性∠Ｖ、Ｗ面直线类似性a′b′∥OXa〞b〞∥OYα=0°β、γ在水平面上反映真实大小。∥Ｗ直线实形性∠Ｖ、Ｈ面直线

类似性ab∥OZa〞b〞∥OYγ=0°α、β在Ｗ面上反映真实大小。Baba′b′a〞b〞Aβαaba′b′b〞a〞βαHVWXZYXYHYWOZ（3）．投影面的垂直线１）．正垂线２）．铅垂线3）．侧垂线⊥Ｖ点积聚性∥Ｈ、Ｗ直线实形性β=90°α、γ=0°ab∥OYa′b′∥OY

⊥Ｈ点积聚性∥Ｖ、Ｗ直线实形性α＝90°β、γ=0°a′b′∥OZa″b″∥OZ⊥Ｗ点积聚性∥Ｖ、Ｈ直线实形性γ＝90°α、β=0°ab∥OXa′b′∥OXabABa″(b″)a′b′a′b′aba″(b″)ABa′b′a(b)a″b″a(b)a′b′a″b″ABa′(b′)bab″a″a′(b′)bab″a″二．两直线的相对位置ZHVWXYXYHYWOZkk′k″k1(k2)k1′k2′１．两直线平行如果空间两直线相互平行，则它们的同面投影必定相互平行；反之，如果两直线的各同面投影相互平行，则两直线在空间一定相互平行。２．相交两直线如果空间两直线相交，则它们的同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律；反之，如果空间两直线的同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则这两直线在空间一定相交平行。３．交叉两直线既不平行又不相交的两直线。例２－１判断下列两直线的相对位置。XOXOa′a′b′b′baabc′c′d′d′dccd交叉两直线k′KDk交叉两直线cD=c′d′cK=c′k′Kk∥Dd例２－２已知正平线AB＝30mm、β＝30°、AB距Ｖ面20mm、A点在B点的左上方，试作该直线的两面投影。XO30°b′a′3020baＶＨ三．垂直相交两直线的投影垂直相交两直线，其中有一条直线平行于某一投影面时，则两直线在所平行的投影面上的投影反映直角。反之，若相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中有一条直线为该投影面的平行线，则此两直线在空间必定相互平行。ABCabcb′a′c′XOabcb′a′c′ＶＨABaba′b′B0B01Zb-ZaYb-Yaαβ四．用直角三角形法求线段的实长XOaba′b′b0b01Yb-YaZb-ZaZb-ZaαβAB实长AB实长Yb-YaXOaba′b′abAB实长α

XOabb′a′cc′kk′△Y△YCK实长k0例２－４已知菱形CD的对角线BD的两面投影和另一对角线AC的一个端点Ａ的水平投影a，试完成菱形的两面投影。

XOabcda′b′c′d′o′oＰ一．平面的表示法１．几何要素表示法２．迹线表示法HWVXOZYＰＺＰＶＰＸＰＨＰＹＰＷXYHYWOZＰＺＰＶＰＸＰＨＰＹＰＹＰＷ2.4平面的投影XYHYWOZXYHYWOZPVPHPWa′b′aba″b″PVPW铅垂面及平面内的直线水平面的迹线表示法P二．平面的投影特征QQQ平面的投影特征１．Ｑ∥Ｐ平面实形性２．Ｑ⊥Ｐ直线积聚性３．Ｑ∠Ｐ平面类似性三．平面的三面投影及投影特征HVWXXYHYWOZ１．平面的面投影ABCa′b′c′a″b″c″abca′b′c′a″b″c″abc一般位置平面的投影及投影特征平面的投影图(1)一般位置平面２．平面在三投影面体系中的投影特征∠Ｖ、Ｈ、Ｗ面平面类似性

α、β、γ角不反映真实大小。(2)投影面的垂直面(3)投影面的平行面例２－５．已知△ABC为一正垂面，其水平投影△abc和a′已知，△ABC对Ｈ面的倾角α＝45°，试作出△ABC的正面投影和侧面投影。XYHYWOZabca′b′c′a″b″c″45°ＺＸＹＶＨＷＸＺＹＨＹＷＯＸＺＹＨＹＷＯＸＺＹＨＹＷＯＺＸＹＶＨＷＺＸＹＶＨＷ名称立体图投影图投影特征正垂面铅垂面侧垂面⊥V直线积聚性

β＝90°αγβγαβ∠H、W平面类似性α、γ在V面上反映真实大小。⊥H

直线积聚性α＝90°∠V、W平面类似性

β、γ在H面上反映真实大小。⊥W直线积聚性γ＝90°∠V、H平面类似性α、β在W面上反映真实大小。ＺＸＹＶＨＷＸＺＹＨＹＷＯＸＺＹＨＹＷＯＸＺＹＨＹＷＯＺＸＹＶＨＷＺＸＹＶＨＷ名称立体图投影图投影特征正平面水平面侧平面∥V平面实形性β＝0°⊥H、W面直线积聚性α、γ＝90°。水平投影平行于ＯＸ轴，侧面投影平行于ＯＺ轴。∥H平面实形性α＝0°⊥V、W面直线积聚性β、γ＝90°。正面投影平行于OX轴，侧面投影平行于OY轴。∥W平面实形性γ＝0°⊥V、H

直线积聚性α、β＝90°。正面投影平行于OZ轴，水平投影平行于OY轴。3．平面上的直线和点⑴．平面上取直线几何条件：a)．一直线通过平面上两点，则此直线必在该平面上。b)．一直线通过平面上一点，且平