2026年冀教版暑假新四年级奥数讲义第三讲和差倍中的分组比较

第三讲和差倍中的分组比较同学们，我们已经学习了和差问题、和倍问题与差倍问题的基本解法。这些问题的核心在于抓住题目中数量之间的和、差、倍关系，通过画线段图等方法找到解题的突破口。然而，当题目中的数量关系变得复杂，涉及到多个对象，或者条件不是直接给出时，我们就需要更巧妙的方法来梳理这些关系。今天我们要学习的“分组比较法”就是解决这类复杂和差倍问题的一把金钥匙。它能帮助我们将看似混乱的条件进行合理分组，通过比较各组之间的异同，消去一些未知量，从而找到问题的答案。知识导航在解决含有多个未知量的和差倍问题时，我们常常会发现直接套用公式比较困难。这时，如果我们能根据题目中隐含的倍数关系或其他数量联系，将几个对象“打包”分成一组，然后通过比较不同组之间的总和、差等关系，就能化繁为简，逐步求出每个对象的数量。这种方法的关键在于“分组”和“比较”：1.分组：根据题目中给出的倍数关系或比例关系，将不同的量按照一定的数量比组合成一组。分组的目的是为了让每组中的量之间具有某种可比性。2.比较：将分组后得到的若干组进行比较，通常是比较它们的总和、总差，或者通过加减消去其中某些相同的部分，从而突出我们需要求的未知量。例题精讲例1：水果店里的奥秘水果店里有苹果和梨两种水果，苹果的数量是梨的3倍。如果每天卖出5个苹果和2个梨，卖了几天后，梨全部卖完了，苹果还剩下20个。请问水果店原来有苹果和梨各多少个？分析与解答：这道题告诉我们苹果数量是梨的3倍，以及每天卖出的苹果和梨的数量，最后梨卖完时苹果还剩20个。我们怎么把这些信息联系起来呢？题目中说“苹果的数量是梨的3倍”，如果我们能让每天卖出的苹果数量也正好是梨的3倍，那么当梨卖完的时候，苹果也应该正好卖完，不会有剩余。这就是一个很好的分组思路！我们把“2个梨和6个苹果”看作一组（因为苹果数量是梨的3倍，2个梨就对应6个苹果）。如果每天按照这样的一组来卖，那么梨和苹果会同时卖完。但实际情况是，每天只卖出5个苹果，比我们设想的每组少卖了6-5=1个苹果。正是因为每天少卖了1个苹果，最后才会剩下20个苹果。那么，卖了多少天呢？每天少卖1个，总共少卖了20个，所以卖的天数就是：20÷1=20（天）。梨的数量就是每天卖的2个乘以天数：2×20=40（个）。苹果的数量是梨的3倍，所以苹果有：40×3=120（个）。我们也可以用每天卖的5个苹果乘以天数再加上剩下的20个来验证：5×20+20=120（个），结果一致。答：水果店原来有苹果120个，梨40个。例2：书架上的书一个书架有上、下两层，上层书的本数是下层的2倍。如果从上层拿10本放到下层，这时两层书的本数就一样多了。原来上、下层各有多少本书？分析与解答：这道题说上层书是下层的2倍，然后移动10本后两层一样多。我们先通过“移动后一样多”这个条件，找出上层和下层原来相差多少本。从上层拿10本放到下层，两层一样多，这说明上层原来比下层多了2个10本，也就是10×2=20（本）。这个差是怎么来的呢？因为上层书是下层的2倍，把下层的书看作1份，上层就是2份，上层比下层多了2-1=1份。这1份对应的数量就是我们刚刚求出的20本。所以，下层书的本数（1份）就是20本。上层书的本数是下层的2倍，就是20×2=40（本）。我们来检验一下：上层40本，下层20本。从上层拿10本到下层，上层变成30本，下层变成30本，确实一样多。答：原来上层有40本书，下层有20本书。例3：复杂的分配学校买来一些足球和篮球，足球的个数比篮球的3倍多2个，足球比篮球多24个。学校买来足球和篮球各多少个？分析与解答：这道题比前面的例子稍复杂一点，足球的个数不是篮球的整数倍，而是“3倍多2个”。我们还是通过画线段图来帮助理解（此处可引导学生想象或简单画出）。把篮球的个数看作1份，那么足球的个数就是3份还多2个。已知足球比篮球多24个，这24个对应的是多少份呢？从足球的3份多2个中减去篮球的1份，剩下的就是2份多2个，这正好是24个。所以，2份就是24-2=22（个）。那么1份（也就是篮球的个数）就是22÷2=11（个）。足球的个数就是篮球的3倍多2个：11×3+2=35（个）。或者，因为足球比篮球多24个，所以足球个数也可以是11+24=35（个）。答：学校买来足球35个，篮球11个。方法点睛通过上面的例题，我们可以总结出运用“分组比较法”解决和差倍问题的一些关键步骤：1.明确倍数关系：仔细审题，找出题目中各个量之间的倍数关系，这是进行合理分组的基础。2.巧妙分组：根据倍数关系，将几个量组合成一组，使得组与组之间具有可比性，或者能通过分组消除一些多余的条件。例如，例1中我们将“2个梨和6个苹果”看作一组，就是为了与实际每天卖出的“2个梨和5个苹果”进行比较。3.比较差异：将分组后的理想情况与题目中的实际情况进行比较，找出差异（如例1中每天少卖的苹果数）。这个差异往往与题目中的另一个已知条件（如例1中剩余的苹果数）直接相关。4.求出一份量：通过差异和对应的数量，求出我们分组时所设定的“一份”是多少，进而求出其他未知量。在遇到较复杂的问题时，画线段图是帮助我们理解数量关系、进行合理分组的有效辅助手段。同学们要勤动手，多思考，善于从不同角度分析问题，找到最佳的分组方式。巩固练习1.小明和小红一起集邮，小明的邮票张数是小红的4倍。如果小明给小红15张邮票，那么两人的邮票张数就相等了。小明和小红原来各有多少张邮票？2.食堂买来一些大米和面粉，大米的重量是面粉的5倍。如果每天吃30千克大米和5千克面粉，几天后面粉全部吃完，大米还剩下100千克。食堂买来大米和面粉各多少千克？3.甲、乙两筐苹果，甲筐苹果的个数是乙筐的2倍。如果从甲筐取出