高三二轮高效复习主题巩固卷数学解三角形

[课下巩固检测练(十四)]解三角形(单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题10分)一、单选题1.(2025·陕西渭南二模)在△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠ACB＝2π3，则△ABC的面积为(A.1534 BC.152 D.解析：选A.AB＝7，BC＝3，∠ACB＝2π由余弦定理得cos∠ACB＝BC2+AC解得AC＝5，AC＝－8舍去，则△ABC的面积为12AC×BCsin∠ACB＝12×5×3×322.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosA＋bcosA＋C＝0，则△ABC为(A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析：选D.由acosA＋bcosA＋C＝0，得acosA－bcosB＝由正弦定理得sinAcosA－sinBcosB＝0，所以sin2A＝sin2B，因为0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B或A＋B＝π2.即△ABC是等腰或直角三角形3.(2025·河南鹤壁二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB＋btanA＝－2ctanB，则A＝()A.π3 B.C.π6 D.解析：选B.根据正弦定理，原等式可化为sinB×sinBcosB＋sinB×sinAcosA＝－进一步化为cosAsinB＋sinAcosB＝－2sinCcosA，则sinA＋B＝－2sinCcos所以sinC＝－2sinCcosA，又0＜C＜π，所以sinC≠0，所以cosA＝－12又因为0＜A＜π，A＝2π4.(2025·河北秦皇岛三模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9sin2B＝4sin2A，cosC＝－14，则ca＝(A.324 BC.233 D解析：选D.因为9sin2B＝4sin2A，所以sin2Asin2B＝94，根据正弦定理可得a因为cosC＝－14，所以根据余弦定理cosC＝a2+b2-化简可得c2＝16a29，所以c因为a，c为△ABC的边，a＞0，c＞0，所以ca＝45.(2025·江西景德镇三模)如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角.圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线.日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线.已知景德镇冬至正午太阳高度角为36.9°tan36.9°≈34，夏至正午太阳高度角为θ，表高42cm，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50cm，则sinθ－36.A.12 B.C.22 D.解析：选C.如图，tan∠ABC＝tan36.9°≈34，AC＝42，所以BC＝56又BD＝50，所以CD＝6，根据勾股定理AD＝302.在△ABD中，根据正弦定理可知BDsin∠BAD即50sinθ-解得sinθ－36.二、多选题6.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知BA·BC＝2，cosB＝13，b＝3，则(A.a＝3 B.c＝2C.cosC＝429 D.cosB解析：选ABD.由BA·BC＝2得c·acosB＝2，又cosB＝13，所以ac＝6由余弦定理得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.由ac=6，a因为a＞c，所以a＝3，c＝2，故A、B正确.在△ABC中，sinB＝1－cos2B由正弦定理，得sinC＝cbsinB＝23×22因为a＝b＞c，所以C是锐角，因此cosC＝1－sin2C＝1－4易知cosB－C＝cosBcosC＋sinBsinC＝13×79＋223×427.(2025·山西临汾三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C成等差数列，则()A.A＝π6，B＝π3，CB.当b＝2时，△ABC周长的最大值为6C.当b＝2时，△ABC面积的最大值为3D.当cosA＋2cosBcosC＝1时，△ABC为等边三角形解析：选BCD.∵角A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，即A＋B＋C＝3B＝π，∴B＝π3，A，C不确定，故A错当b＝2时，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝a＋c2－即4＝a＋c2－3ac≥a＋c2＜a＋c≤4，即△ABC周长的最大值为6，故B正确；当b＝2时，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，∴ac≤4，∴S△ABC＝12acsinB＝34ac≤3，即△ABC面积的最大值为3，故C当cosA＋2cosBcosC＝1，cosA＋2cosBcosC＝－cos(B＋C)＋2cosBcosC＝－cosBcosC＋sinBsinC＋2cosBcosC＝cosBcosC＋sinBsinC＝cosB－C＝∴B－C＝2kπ，k∈Z，即B＝2kπ＋C，k∈Z，∵B，C∈0，π，∴B＝C＝π3，A＝π3，即△ABC为等边三角形，三、填空题8.(2025·浙江绍兴二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinB＋csinC－asinA＝2bsinC，则A＝.解析：∵bsinB＋csinC－asinA＝2bsinC，由正弦定理可得，b2＋c2－a2＝2bc，又由余弦定理可得，cosA＝b2+c2-a22bc＝2答案：π9.为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为103km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B两个基站的距离为.解析：∠CAD＝180°－120°－30°＝30°，所以∠CAD＝∠CDA，CA＝CD＝103，∠BCD＝120°－75°＝45°，在△ACD中，AD＝2AC·cos30°＝30，在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理得BDsin∠BCD＝CDsin∠CBD，即BDsin45°＝在△ABD中，AB＝AD2＋BD2答案：105四、解答题10.(2025·浙江温州三模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosC(acosB＋bcosA)＝32c(1)求角C的大小；(2)点D在边BC上，且CD＝2，BD＝AD＝1，求△ABC的周长.解：(1)由cosCacosB＋bcosA＝32c及正弦定理得cosC所以cosCsinA＋B＝32sinC，所以cosCsinC＝32因为sinC＞0，所以cosC＝32，C∈0，π，所以C(2)在△ADC中，32＝cosC＝b2+4-12在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋3－2×3×3cosπ6＝3，所以c＝3所以周长为a＋b＋c＝3＋3＋3＝3＋23.11.(2025·湖北宜昌二模)如图所示，在△ABC中，sinC＝3sinB，AD平分∠BAC，且AD＝kAC.(1)若DC＝2，求BC的长度；(2)求k的取值范围；(3)若S△ABC＝32，求k为何值时，BC最短解：(1)因为sinC＝3sinB，由正弦定理得c＝3b，在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB在△ACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD，因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以sin∠ADB＝sin∠ADC，所以ABAC＝BD因为c＝3b，DC＝2，所以BD2＝3，得BD＝6，所以BC＝8(2)因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，设∠BAD＝∠CAD＝θ，所以12AB·ACsin2θ＝12AB·ADsinθ＋12AC·ADsin因为c＝3b，AD＝kAC，所以3AC·AC·2sinθcosθ＝3AC·kACsinθ＋AC·kACsinθ，因为sinθ≠0，所以6cosθ＝4k，所以k＝32cosθ因为θ∈0，π2，所以cosθ∈0，1，(3)由余弦定理得BC2＝c2＋b2－2c·bcos∠BAC＝2b2(5－3cos∠BAC)，因为S△ABC＝32，所以12bcsin2θ＝32，因为c＝3b，所以b2所以BC2＝2sin∠BAC(5－3cos∠BAC)＝2方法一：令y＝5-3cos∠BACsin∠BAC，则ysin∠BAC所以y2+9sin(∠BAC＋φ)＝5(其中tanφ＝3所以当sin(∠BAC＋φ)＝1时，y取得最小值4，即当∠BAC＋φ＝π2时，y取得最小值4，此时tanφ＝3所以cos∠BAC＝cosπ2－φ＝sinφ因为cos∠BAC＝2cos2θ－1，所以2cos2θ－1＝35，所以cosθ＝2由(2)知k＝32cosθ，所以k＝32×255＝355，即当k＝方法二：BC2＝2·5-3cos2θsin2θ＝5-3(2cos2θ-1)sin当且仅当8tanθ＝2tanθ，即tanθ＝12时，故此时cosθ＝25，即[创新题]12.“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点A，B，C都在圆周上，角A，B，C分别对应a，b，c，满足c＝45cm.若S△ABC＝8cm2，且a＞c，则()A.sinC＝3B.△ABC周长为12＋45cmC.△ABC周长为15＋45cmD.圆形木板