小学数学五年级下册《因数与倍数》核心概念建构教案

小学数学五年级下册《因数与倍数》核心概念建构教案

一、教学内容分析

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，“数与代数”领域在小学第二学段强调对整数认识的整体把握与深度理解。本课“因数与倍数”的学习，是学生从学习整数的“四则运算”关系，迈向探索整数内部“整除”关系的关键一步，属于“数与运算”主题下的重要内容。从知识图谱看，它上承整数乘除法的意义，下启最大公因数、最小公倍数、分数的基本性质及约分通分等核心知识，是构建完整数论认知体系的基石。其认知要求不仅在于识记概念定义，更在于理解因数与倍数相互依存的辩证关系，掌握有序、不重不漏地寻找一个数的因数与倍数的方法，并初步感受数学中“一一对应”与“分类讨论”的思想。在核心素养层面，本节课是培育学生“数感”与“推理意识”的绝佳载体。通过操作、观察、归纳、概括等活动，学生能增强对数字之间内在联系的敏感度，发展从特殊到一般的合情推理能力，并在探索规律的过程中体验数学思考的条理性和严谨性，为形成模型意识和应用意识打下基础。

学生已熟练掌握了乘除法运算，具备利用乘法口诀进行快速计算的基础，这为从乘法算式角度理解因数与倍数关系提供了有力支撑。然而，学生的认知难点可能在于：其一，对“因数与倍数”这一对概念所描述的“关系”而非“孤立个体”的特性理解不深，容易割裂看待；其二，在寻找一个数的全部因数时，思维的无序性易导致遗漏或重复，缺乏有效的策略支撑；其三，对于“一个数的倍数有无限个”、“一个数的因数个数有限”等结论，仅停留在记忆层面，缺乏基于算理的理解。因此，教学需创设大量基于乘法意义的直观操作与辨析活动，将抽象概念具象化，引导学生亲历概念的形成过程。同时，通过设计阶梯式任务和差异化支持策略，如提供“乘法算式脚手架”或“有序寻找提示卡”，帮助不同思维水平的学生跨越认知障碍，实现从“学会”到“会学”的跃升。

二、教学目标

知识目标：学生能结合具体乘法算式，理解因数与倍数的意义，清晰表述两者之间相互依存的关系；掌握寻找一个数的因数和倍数的基本方法，并能有序、完整地找出一个非零自然数的全部因数和指定范围内的倍数，初步感知其个数特点。

能力目标：学生经历从具体例子中观察、比较、归纳、概括出数学概念的过程，发展抽象概括能力和初步的推理能力；在探索如何“找全”因数与倍数的活动中，形成有序思考的策略，提升思维的条理性和全面性。

情感态度与价值观目标：在探索数学规律的活动中，学生能体验到解决问题的乐趣，感受数学知识之间的内在联系，增强学好数学的自信心；在小组合作交流中，养成乐于分享、认真倾听、敢于质疑的学习习惯。

科学（数学）思维目标：本节课重点发展学生的“关系性思维”与“分类思想”。引导他们不是孤立地看待数字，而是在乘法等式的框架下，辨析因数与倍数的关联；通过系统性地寻找所有因数，体验“不重不漏”的分类讨论方法，为后续学习公因数、公倍数奠定思维基础。

评价与元认知目标：学生能运用“相互依存”、“有序寻找”等标准，对自己或同伴列举的因数、倍数进行判断和评价；在课堂小结时，能回顾学习路径，反思“我是通过什么方法理解概念的？”“寻找因数的好策略是什么？”，初步形成对学习过程和方法的监控意识。

三、教学重点与难点

教学重点：理解因数与倍数的意义及其相互依存的关系。确立此为重点，源于它在整个数论知识体系中的枢纽地位。课标明确要求“了解倍数和因数”，这不仅是后续学习约分、通分、分数运算的直接基础，更是理解整数性质、培养数感的核心“大概念”。从认知层面看，准确把握这一关系，是学生能否顺利进入数论领域的关键门槛。

教学难点：有序、不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数。其成因在于：学生思维正从具体形象向抽象逻辑过渡，系统性、有序性的思考策略尚在形成中。寻找因数过程涉及对数字整除性的判断和配对，思维链条较长，容易出现跳跃和遗漏。突破难点需借助直观操作（如拼摆图形）、算式桥梁和“从1开始，成对寻找”的方法指引，让学生在动手、动脑的协同中内化有序策略。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（含动态演示因数配对过程）、实物投影仪。

1.2学具与材料：为每个学习小组准备足够数量的正方形卡片或棋子（用于拼摆长方形）、课堂学习任务单（含分层探究任务）。

2.学生准备：复习乘法口诀，预习教材相关内容。

3.环境布置：学生按4-6人异质小组就座，便于合作探究与交流。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境激趣，提出问题：“同学们，我们都玩过拼图。今天，我们用数学的眼光来玩一个‘拼长方形’的游戏。”课件出示：有12个大小完全一样的小正方形。提问：“看，这12个棋子，你能把它们全部用完，摆成一个整齐的长方形吗？可以有多少种不同的摆法？动手试试，并把每种摆法用一道乘法算式表示出来。”

1.1学生小组合作，动手操作，记录算式。

1.2教师巡视，收集典型摆法及算式（如：1×12=12，2×6=12，3×4=12）。请学生上台展示。

2.聚焦算式，引出课题：引导学生观察这些乘法算式。“大家看，在这些算式里，乘数和积之间有着特别的关系。比如在3×4=12中，我们可以说3和4是12的‘因数’，12是3和4的‘倍数’。这就是我们今天要深入研究的《因数与倍数》（板书课题）。你们还想研究关于它们的哪些问题呢？”（预设：什么是因数倍数？怎么找？它们有什么特点？）

第二、新授环节

本环节通过搭建层层递进的认知脚手架，引导学生在探究中主动建构知识体系。

任务一：依托算式，初建概念

教师活动：首先，锁定算式3×4=12。清晰示范表述：“在3×4=12中，3和4都叫作12的因数，反过来，12是3的倍数，也是4的倍数。”接着，请学生模仿着说一说在2×6=12，1×12=12中，谁是谁的因数，谁是谁的倍数。然后，抛出关键问题：“那我们能单独说‘3是因数’、‘12是倍数’吗？为什么？”引导学生讨论，强调“因数与倍数表示的是一种关系，必须说清楚谁是谁的”。再出示算式2.5×4=10，追问：“在这个算式中，能说2.5和4是10的因数吗？”引出概念适用范围：“我们研究的因数和倍数，所指的数一般都是非零自然数。”

学生活动：认真聆听教师示范，模仿进行规范表述。针对教师提出的辨析性问题，展开小组讨论，尝试用自己的语言说明“不能单独说”的理由。理解并明确因数与倍数研究范围的限定。

即时评价标准：1.表述概念关系时是否完整、准确（“X是Y的因数/倍数”）。2.能否在辨析中说出“关系是相互的，不能孤立存在”这一核心理解。3.能否举出正例或反例说明范围的限定。

形成知识、思维、方法清单：★核心概念：因数和倍数是描述两个非零自然数之间乘积关系的一对概念，它们相互依存。★易错警示：不能脱离具体对象单独说某个数是因数或倍数。▲学科方法：从具体的、公认的乘法算式出发定义数学概念，是数学中常见的方法。

任务二：深化理解，举一反三

教师活动：出示一组乘法算式：18÷3=6，5×9=45，20÷7=2……6，1×15=15。组织讨论：“根据因数和倍数的意义，判断哪些算式中存在因数与倍数的关系？请你说出具体的关系。”重点引导学生利用乘除法互逆关系，从除法算式（18÷3=6）中也能看出因数倍数关系（18是3和6的倍数）。同时，通过20÷7不是整除，强化“在整数除法中，商是整数且无余数”才是判断依据。

学生活动：独立观察、思考，判断并书写关系。小组内交流判断依据和表述。全班分享，重点说明从除法角度如何理解，以及为什么有的算式不符合条件。

即时评价标准：1.能否正确识别存在因数倍数关系的算式。2.能否从乘、除两个角度清晰解释这种关系。3.对于不符合条件的算式，能否准确指出原因（不是整数除尽）。

形成知识、思维、方法清单：★核心原理：如果a×b=c（a、b、c都是非零自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。★关联理解：因数和倍数的关系也可以理解为“c能被a、b整除”。★思维拓展：除法是乘法的逆运算，因此整除的除法算式也能揭示因数倍数关系。

任务三：策略探究——如何找一个数的因数

教师活动：承接导入，聚焦数字12。“刚才我们通过摆长方形，找到了12的所有因数：1，2，3，4，6，12。如果不摆，你能想出好办法，有序地找出24的所有因数吗？先独立思考，再小组商量，看哪个组的方法既快又全。”巡视中，关注学生的思维过程，对无序尝试的小组提示“能不能从最小的因数1开始想？”收集不同的策略（如：想乘法口诀一对对找；用24依次除以1，2，3……）。

学生活动：尝试独立寻找24的因数。小组内交流各自的方法，比较优劣，共同优化出一套有序的方案。推荐代表汇报，展示“从1开始，一对一对地找”的过程（1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24），并强调找到“中间”（如找到4和6）可能预示接近找全。

即时评价标准：1.寻找过程是否体现出有序性（从小到大或配对寻找）。2.结果是否完整，无遗漏和重复。3.能否清晰阐述自己使用的策略及其优点。

形成知识、思维、方法清单：★核心技能：找一个数的因数，可以用这个数依次除以非零自然数1,2,3…，看商是否是整数且无余数，除数和商都是这个数的因数。★最优策略：成对地找，从1开始，按顺序试除，直到两个因数接近或重复。★思维方法：有序思考是解决“找全”问题的关键，能确保不重复、不遗漏。▲初步结论：一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。

任务四：策略探究——如何找一个数的倍数

教师活动：提出问题：“我们已经会找一个数的‘因数’了，那怎么找一个数的‘倍数’呢？比如，请找出3的几个倍数。”让学生自由发言（如3，6，9…）。追问：“3的倍数有多少个？最大的倍数能找到吗？最小的呢？”引导学生发现倍数的无限性。然后布置挑战：“你能有序地找出3在100以内的所有倍数吗？有什么好方法？”引导学生总结：用这个数依次乘非零自然数1,2,3…。

学生活动：根据乘法的意义，列举3的倍数。在回答教师追问中，感受倍数的个数是无限的。探索找出100以内3的倍数的方法，总结出“用3依次乘1，2，3…，直到乘积超过100为止”。

即时评价标准：1.能否正确、快速地写出一个数的几个倍数。2.是否理解并表达出“一个数的倍数的个数是无限的”。3.能否总结出找一个数的倍数的通用方法。

形成知识、思维、方法清单：★核心技能：找一个数的倍数，可以用这个数依次乘非零自然数1,2,3…。★重要特性：一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。★思维对比：找因数要“除”，找倍数要“乘”，方法是互逆的。寻找因数有“找全”要求，需有序；寻找倍数通常有“范围”限制。

任务五：辨析特例，深化认知

教师活动：提出两个深度思考题，组织辩论式讨论：1.“讨论一下，一个数本身，既是它的因数，又是它的倍数。这句话对吗？举例说明。”2.“1是所有非零自然数的因数吗？1是哪些数的倍数？”引导学生紧扣定义进行论证。

学生活动：围绕问题进行激烈讨论。对于问题1，通过举例（如6的最大因数是6，最小倍数也是6），得出结论。对于问题2，理解1的特殊性：因为任何数除以1都得原数，所以1是所有数的因数；1的倍数只有1本身。

即时评价标准：1.论证观点时是否能回到因数和倍数的定义。2.举例是否恰当、有说服力。3.能否准确概括出“一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；最小倍数是它本身”等规律。

形成知识、思维、方法清单：★深化理解：一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身。因此，一个数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。★特例认知：1是所有非零自然数的因数。★严谨态度：数学结论需要经过严格的举例和推理来验证。

任务六：整体建构，沟通联系

教师活动：引导学生回顾整个探究过程，在黑板上形成一张关于“因数与倍数”的对比性知识网络图。一边梳理，一边提问：“现在，你能说说因数有什么共同特点吗？倍数呢？找因数和找倍数的方法有什么根本不同？它们之间又有什么联系？”

学生活动：跟随教师的引导，共同梳理、提炼，完成知识网络图。尝试用自己的语言总结因数的有限性、倍数的无限性，以及两者在寻找方法上和意义上的联系与区别。

即时评价标准：1.能否从“个数”、“大小关系”、“寻找方法”等多个维度对比因数与倍数。2.能否说出“因数与倍数是乘除关系中一对相互依存的概念”这一本质联系。

形成知识、思维、方法清单：★系统对比：因数的个数有限，最小是1，最大是本身；倍数的个数无限，最小是本身，没有最大。★方法对比：找因数用除法（试除），找倍数用乘法（依次乘）。★本质关联：都源于整数乘除法的整除关系，是一体两面的概念。▲素养指向：通过对比与联系，形成知识的结构化，发展系统化思维。

第三、当堂巩固训练

本环节设计三层练习，提供差异化支持。

1.基础层（全员过关）：

1.2.“请你来说”：根据算式15÷5=3，说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

2.3.“我会找”：找出16的所有因数；写出5个7的倍数。

3.4.支持策略：提供乘法口诀表，允许使用棋子进行验证。

5.综合层（灵活应用）：

1.6.“判断小能手”：判断题，如“因为4×6=24，所以24是倍数，4和6是因数。”（）；“一个数的倍数一定比它的因数大。”（）

2.7.“生活中的数学”：老师要将24本练习本平均分给小朋友，每人分得的本数要一样多且多于1本。可以分给几个人？有几种分法？

3.8.支持策略：组织同桌讨论，鼓励用画图或列举法分析。

9.挑战层（思维拓展）：

1.10.“数字谜题”：一个数是42的因数，同时也是7的倍数。这个数可能是多少？

2.11.支持策略：提供独立思考时间后，进行小组攻关，教师点拨“先找42的因数，再从里面筛选7的倍数”。

反馈机制：基础层练习采用全班齐答或手势判断，快速反馈。综合层与挑战层练习，选取不同解法的学生上台讲解或投影展示，进行同伴互评与教师精讲，重点分析错误原因和思维亮点。

第四、课堂小结

“同学们，这节课我们像探险家一样，在数的王国里发现了一对好朋友——因数和倍数。现在，请大家闭上眼睛回顾一下，这节课你的探索路径是怎样的？你最大的收获是什么？有没有什么疑问？”邀请几位学生分享。教师随后引导学生共同完成结构化总结：我们通过“摆长方形”引入概念，理解了它们相互依存的关系；探索了如何“有序”找因数、“依次”找倍数；还发现了它们的一些特点（因数有限，倍数无限等）。最后布置分层作业：必做（巩固概念和基本方法）；选做A（解决一个涉及因倍数知识的简单实际问题）；选做B（探究：一个数的因数个数有什么规律吗？）。

六、作业设计

基础性作业（必做）：

1.完成课本上关于因数与倍数概念判断、寻找指定数的因数及倍数的练习题。

2.任选一个你喜欢的数字（如你的学号），写出它的所有因数和它在50以内的所有倍数。

拓展性作业（推荐大多数学生完成）：

策划一次“小小分物员”活动：家里有36颗糖果，要平均分装到几个礼盒里作为礼物，每个盒子装的糖果数要一样多且不能只装1颗。你可以设计几种包装方案？（用算式表示）哪种方案看起来更合理？为什么？

探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：

数学家们发现有些数很特别，比如“完全数”——它所有的真因数（除了它本身以外的因数）之和正好等于它本身。例如6的真因数是1，2，3，而1+2+3=6。你能在20以内再找出一个这样的“完全数”吗？试着找找看。（提示：可以利用今天学习的找因数的方法）

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数（即整除），那么被除数就是除数和商的倍数，除数和商就是被除数的因数。它们都是指非零自然数。关键：二者是相互依存的关系表述。

★2.表述规范：必须说清楚“谁是谁的因数/倍数”，不能单独说。例如，在12÷3=4中，应说“3和4是12的因数”，“12是3和4的倍数”。

★3.找一个数的因数的方法：用这个数依次除以1,2,3…，看哪些数能整除它，除数和商都是它的因数。策略：成对寻找，从1开始，有序进行，可以按乘法口诀想。例如，找18的因数：1×18，2×9，3×6，所以有1,2,3,6,9,18。

★4.一个数因数的特点：个数是有限的；最小的因数是1；最大的因数是它本身。

★5.找一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非零自然数1,2,3…。例如，5的倍数有5，10，15，20…

★6.一个数倍数的特点：个数是无限的；最小的倍数是它本身；没有最大的倍数。

★7.一个数与它本身的关系：一个数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。

▲8.1的特殊性：1是所有非零自然数的因数。1只有一个倍数，就是它自己。

▲9.从除法角度理解：因数和倍数的关系本质上是一种整除关系。如果a÷b=c（a、b、c为非零自然数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。

★10.易错点辨析：“倍数”与“倍”的联系与区别：“倍”的概念适用于小数、分数等更广的范围，而“倍数”仅限于整除情境下的整数关系。

▲11.思维方法：本课核心思维方法是“有序思考”（找因数时确保不重不漏）和“关系性思维”（始终在两者或多者的关系中理解概念）。

▲12.考点前瞻：直接考查概念的判断与表述；给定一个数，找出其全部因数或指定范围内的倍数；利用因倍数的知识解决简单的实际问题（如分物、排方阵）；作为学习最大公因数、最小公倍数、质数与合数的基础，出现在综合题型中。

八、教学反思

(一)目标达成度与过程有效性分析

本课预设的各维度教学目标基本达成。通过贯穿始终的操作与探究活动，学生能准确表述因数与倍数的关系，绝大多数学生掌握了有序寻找因数的方法，并能流畅找出一个数的倍数。核心素养方面，学生在“拼长方形”和“找因数”活动中展现出的有序性、全面性，是其推理意识和数感发展的直接体现。然而，在课堂观察中发现，仍有约15%的学生在寻找较大数字（如36）的因数时，速度较慢且偶有遗漏，表明“有序思考”的策略尚未完全内化为自动化技能。新授环节的六个任务环环相扣，从具体到抽象，从理解到应用，逻辑线清晰。任务三（找因数策略）和任务五（辨析特例）是思维交锋的高潮，学生参与度高，辩论有效促进了概念的深度理解。导入环节的“拼长方形”成功地将抽象概念具象化，起到了良好的锚定作用。

(二)学生表现与差异化支持评估

课堂上，学生呈现出明显的思维分层。A层（基础扎实）学生能迅速理解概念，主动探索最优策略，并在挑战题中扮演“小老师”角色；B层（中等多数）学生能在任务单和小组讨论的支撑下，跟随节奏完成建构，但在独立应用时仍需偶尔回顾方法；C层（略有困难）学生主要依赖直观操作（摆棋子）和教师、同伴的即时提示来理解关系，在寻找因数时更需要“从1开始，成对找”的步骤化引导。预设的分层练习和学具支持发挥了作用，C层学生在基础层练习中获得了成功体验。但反思发现，对A层学生的“拔高”挑战可以更开放，例如在找倍数时，可以提前引入“集合图”表示无限集合的思想，为其提供更广阔的思维空间。

(三)教学策略得失与改进计划

得：1.坚持“概