广东省中山市2026届高三下学期模拟测试（二）数学试卷（含答案）

广东中山市2026届高三模拟测试（二）数学试卷一、单选题1．若集合，则（

）A． B． C． D．2．若复数，则（）A． B． C． D．3．已知，，若，则（

）A． B． C． D．34．已知函数且，若，则（

）A．3 B．2 C．4 D．5．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（

）A．48个 B．52个 C．60个 D．120个6．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为（）A． B． C．2 D．7．抽样得一组数据如下表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为（

）245682045607580A．100 B．106 C．110 D．1168．设，为异面直线，为平面，已知，，，动点.若到直线，的距离相等，则的轨迹为（

）A．直线 B．圆C．双曲线 D．抛物线二、多选题9．已知直线l与平面相交于点P，则（

）A．内不存在直线与l平行B．内有无数条直线与l垂直C．内所有直线与l是异面直线D．至少存在一个过l且与垂直的平面10．已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．11．已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（

）A． B．C．是奇函数 D．三、填空题12．函数是奇函数，则实数_______________.13．已知角终边经过点，则__________．14．已知抛物线：，按如下方法依次构造点列：设点，过抛物线上点作斜率为4的直线与抛物线交于另一点，为关于轴的对称点.记的坐标为，数列的前项和为，则______.四、解答题15．已知函数．(1)若，求的极小值；(2)讨论导函数的单调性．16．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.(1)求证：；(2)若，的面积为，求.17．如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）.(1)证明：平面；(2)求异面直线与的夹角；(3)求三棱锥的体积.18．已知双曲线：的离心率为，左右焦点分别为，，，为双曲线左支上的两点，直线交轴于点.(1)求双曲线的方程；(2)若，求直线的方程；(3)设线段的中点为，直线交轴于点，点为关于原点的对称点，以为圆心作与轴相切的圆，过作该圆的两条切线，切点分别为，，求的取值范围.19．袋中共装有个小球，分别标有编号1，2，3，…，.现采用“先试验后锁定”的策略进行次操作：前次（试验期）每次从袋中无放回地随机摸一个球，并记录摸到球的编号；之后的次（锁定期）操作，不再继续摸球，而是每次都记录试验期摸到球的最大编号.记为这次操作中记录的全部编号之和，为的数学期望.(1)当，，时，求在试验期至少摸到一个编号不小于8的球的概率；(2)若，，…，是定义在同一个随机试验样本空间上的任意个离散型随机变量，则.基于此，求解下列问题：①求试验期所摸小球编号之和的数学期望；②当时，求的最大值以及此时的值.参考答案1．D2．B3．D4．C5．B6．D7．B8．C9．ABD10．AC11．ABD12．113．214．15．（1）当时，，的定义域为，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值．（2）的定义域为，，令，则，当时，恒成立，所以即在上单调递增．当时，由，得，由，得，所以即在上单调递减，在上单调递增.16．（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以，即；（2）因为，，所以，，，，所以，又，所以，又，所以，所以，.17．（1）由底面，底面，得；又，，故，，因此平面.平面，故.在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即.又，平面，因此平面，得证.（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，由题意得各点坐标.由（1）可知，所以.因为所以为的中点，得.，则，，所以，解得，即.得，.，故，因此异面直线与的夹角为.（3）由（2）可知，，设平面的法向量为，则，化简得令，得，因此平面的一个法向量为.，点到平面的距离，​又，，​，.故，三棱锥体积.18（1）由双曲线，得，即.已知离心率，得.由双曲线关系，得.因此双曲线的方程为.（2）由得，设，.向量，，由得，解得，代入双曲线方程得，或，故直线的斜率，所以直线PQ方程为或.（3）设直线，，则，圆与轴相切，故半径.联立直线与双曲线方程，整理得，由在左支，得，设，中点，由韦达定理得，则，即.故，，，设，由切线性质，令，代入得，由，所以，设，代入上式得，可知二次函数在内单调递增，所以，因此，由切线性质可知是直角三角形，所以是锐角，即.则，即的取值范围.19．（1）设事件＂试验期至少摸到一个编号不小于8的球＂，则.（2）①方法1：设试验期第次摸到的球的编号为，记这个编号的和为，则，先求第次摸到的球的编号为的数学期望，的所有可能的取值为：，根据无放回随机抽样的特点，，所以，所以，方法2：从1，2，中选个数共有种组合，考虑所有元子集，它们的和的平均值即为试验期所摸小球编号之和的数学期望，对每个数，它在所