2026年高考数学第一轮复习-二项式定理

第3讲二项式定理

自既知识，®。回顾理教材•夯实必备知惧.

一、知识梳理

1.二项式定理

⑴定理：

(a+b)"=CW"+…+C〃"+•••+(?；"〃eN").

(2)通项:

第k+1项为，+|=翳汇变.

(3)二项式系数：

二项展开式中各项的二项式系数为：◎(攵=0,1,2,…，〃).

2.二项式系数的性质

常用结论

1.两个常用公式

(1)&+C[+G+…+c；=2〃.

⑵G+G+C；+・・・=C1+G+C+・・=2〃T.

2.二项展开式的三个重要特征

(1)字母a的指数按降嘉排列由〃到0.

(2)字母b的指数按升第排列由0到九

(3)每一项字母。的指数与字母〃的指数的和等于几

二、教材衍化

1.(1+2x)5的展开式中，f的系数为.

解析：7；.+i=C^(2x/=CW，当k=2时，f的系数为cl-22=40.

答案：40

2.若(x+3”展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为

解析：二项式系数之和2〃=64,所以〃=6,・(9=C*f,当6—

2k=0,即当k=3时为常数项，A=C=20.

答案：20

3.若(x—anao+aix+sf+aM+oix4，则雨+公+出的值为.

解析：令x=1,则ao+m+02+43+44=0，令x=-1,则如一0+42—的+。4=16,

两式相加得a()+s+a4=8.

答案：8

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)(〃+〃)”的展开式中的第，•项是)

(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()

(3)在(〃+〃)”的展开式中，每一项的二项式系数与m%无关.()

(4)通项小尸C"一"中的。和6不能互换.()

(5)(〃+力”展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同.()

答案：(I)X(2)X(3)J(4)V(5)X

二、易错纠偏

常见误区|(1)混淆“二项式系数”与“系数”致误；

(2)配凑不当致误.

1.在二项式(9—《]，的展开式中，所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系

数的和为.

解析：由题意得2〃=32,所以〃=5.令x=l,得各项系数的和为(1-2)5=-1.

答案：一1

2.已知(1+1严=俏+的(1一%)+。2(1一工＞+…+。10(1一1严，则。8=.

解析：因为(1+"°=[2—(1一幻严，所以其展开式的通项为j|=(-1)"°一,・Cio(l

—x)r»令r=8,得〃8=4C?o=180.

答案：180

3.。+1)5。-2)的展开式中/的系数为.

解析：(x+1)'(x—2)=R(X+1)‘一2(x+l)’展开式中含有x2的项为一20『+5f=-15』.

故％2的系数为-15.

答案：一15

明考向•直击考例考法.

考点一二项展开式的特定项(系数)(基底型)

复习指导|能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解

决与二项展开式有关的简单问题.

核心素养：数学抽象、数学运算

角度一求解形如(a+3”(〃£N*)的展开式中与

特定项相关的量

甑⑴在卜一田5的展开式中，f的系数为.

(2)在二项式(，4+七)’的展开式中，若常数项为一10,则。=.

【解析】⑴卜一立)的展开式的通项TrU=C^~(—加'=(4)&5V，令

5—zr=2,得r=2,所以*的系数为

的展开式的通项77+i=CW(aF)5rx（打=csFio等令10-y=

0,得r=4,所以U/-4=—](),解得。=—2.

5

-z22

(-

2\

求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤

(1)利用通项将2+1项写出并化简.

(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，

解出

(3)代回通项得所求.

角度二求解形如(4+与依+")"(〃?，〃£箱的

展开式中与特定项相关的量

题力(1)(2019•布考全国卷［11)(1+2r)(l+x)4的展开式中丁的系数为()

A.12B.16

C.20D.24

(2)(2020・南昌模拟)已知1)(*+的展开式中含f项的系数为0,则正实数。=

【解析】(1)展开式中含丁的项可以由“1与V”和“浮与X”的乘积组成，则

d的系数为C?+2C1=4+8=12.

(2)(a「H)6的展开式中x2项的系数为C^2,x项的系数为Cla,由(1一1)(ar+的

展开式中含f项的系数为0,可得一C勿2+cQ=0,因为。为正实数，所以15a=6,所

以a=1.

【答案】(i)A(2)|

圃窗窗

求解形如m+〃v(c+m〃的展开式问题的思路

(1)若〃?，〃中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a+b)2・(c+")"=(a2+2他+〃)(c

+〃)〃，然后分别求解.

(2)观察(a+b)(c+J)是否可以合并，如(l+x)5•(l-x)7=[(14-x)(l-x)]5(l-x)2=(l

-?)5(l-x)2.

(3)分别得到(a+b)7(c+d)〃的通项，综合考虑.

角度三求解形如(a+/)+c)"(〃金N")的展开式

中与特定项相关的量

侧叵(1)(/一工+1严的展开式中丁项的系数为()

A.-2i0B.21()

C.30D.-30

(2)(f+x+)，)5的展开式中2)，2的系数为()

A.10B.20

C.30D.60

【解析】(l)(x2-A4-l),o=[x2-U-l)ro=C?o(x2),o-Clo(x2)9(x-l)+--C?ar(x-

1)9+C|8(.r-1)10,

所以含V项的系数为：-C?od+C留一C；o)=-210.

(2)(d+x+)，)5的展开式的通项为「+产Q(d+x)5ry,令r=2,则八=或^+4)?，

又(W+x)3的展开式的通项为「+尸^。2)3f・，=©/一"，令6—k=5,则左=1,所以(f

+x+y)5的展开式中，的系数为cgcJ=30,故选C.

【答案】(l)A(2)C

圆弱更

三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法

(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项

(系数)问题的处理方法求解.

(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用一项式定理展开，然后再分类考虑特定项

产生的所有可能情形.

励

1.己知(1+x)+(l+x)?H--F(1+x)"=〃o+aix+〃2X2d----若雨+小

H---1■斯=62,则log“25等于.

1?(1?”—1)

解析：令x=1可得出+苗+a2H---F以=2+2?+2,H----F2"=二^一:—=2/,+'—2=

2~1

62,解得〃=5,所以1。即25=2.

答案：2

2.在(工一；)(筋一的展开式中，V的系数是.(用数字作答)

解析：由题意得，卜一0(2%—1)6的展开式中含V的项为.rC^(2A-)2(-l)4+(-£)

Cl•(2X)4(-1)2=-180X\所以展开式中d的系数为-180.

答案：-180

的展开式中所有的有理项为

I0-2A:

解析：二项展开式的通项为，+i=cM—］户3，由题意一个二6,且0440,

IQ—243

kSN.令——=r(r£Z),则10-2k=3八卜=5一习,因为AWN,所以「应为偶数.所

以，•可取2,0,-2,即k可取2,5,8,所以第3项，第6项与第9项为有理项，它

们分另“为争九一矍，券

M安45j_63_45__2

考点二二项展开式中的系数和问题(综合型)

复习指导|求二项展开式的所有项的系数和(或差)问题，常用赋值法.赋值法是解

决二项展开式的系数和的有效方法.

题［4］(1)在6+君的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64:1,则x3

的系数为()

A.15B.45

C.135D.405

(2)若(I—工)9=金+。成+42炉"1---F。/,则Iml+lsl+lslH----Had=()

A.1B.513

C.512D.511

【解析】(1)由题意知*=64,得〃=6,展开式的通项为=3rCf>r6

3r

3；*

令6—亍=3,得r=2,

则x3的系数为32a=135.故选C.

(2)令x=0,得如=1,令x=-1,

得Isl+Isl+MIH-----F|(79|=[l—(―I)]9-1=29—1=511.

【答案】(I)C(2)D

固信题

赋值法求系数和的应用技巧

(1)“赋值法”对形如(如+3"，(ad+/>+c)，m儿c£R)的式子求其展开式的各项

系数之和，常用赋值法，只需令x=l即可；对形如(或+外)"(小〃仁R)的式子求其展开

式各项系数之和，只需令x=y=l即可.

(2)若---Faji",则人工)展开式中各项系数之和为/U)，偶次项

系数之和为flo+«2+4=")+?~~,奇次项系数之和为m+s+asH—=

火"Q-2令x=O,可得加=/（0）.

励考法全练;

1.若（l+#（l-2A，）8=ao+a]jvd——ha^9,A€R,贝ij可•2+s•------F㈤•29的

值为()

A.29B.29-1

C.39D.39-1

解析：选D.(1+x)(l—2r)8=«o4-f/|A：+fl2A2+*,,+w9,令x=O,得。o=l;令x=2,

得的)+〃]・2+。2・22+…+©・29=31所以ax・2+9・2?+…+，・29=39一1.故选D.

2.(〃+幻(1+幻4的展开式中x的奇数次幕项的系数之和为32,则。=.

解析：设(a+x)(l+1)4=。0+。|工+。42+。候+。回4+。5^，令x=l,得16(a+l)=〃o

+0+。2+〃3+。4+。5，①

令X=—1,得0=的-0+。2—④+由一。5.②

①一②，得16(。+1)=2(。1+。3+。5)，

即展开式中x的奇数次球的系数之和为s+s+"5=8m+l),所以8(a+1)=32,解

得a=3.

答案：3

考点三二项展开式中的系数最值问题（综合型）

复习指导I求解此类题的关键：一是方程引入，利用已知二项式系数的最大值，

求出参数的值；二是公式应用，即利用二项展开式的通项公式，即可求出指定项或指定

项的系数.

m（y-4）6的展开式中二项式系数最大的项为第项，系数最大的项为

7

【解析】因为（），一台）6的展开式中二项式系数的最大值为CW，所以二项式系数最

22

6-rr=r

大的项为第4项.因为（），一二）6的展开式的通项公式为Tr+1=Q,y（~Z2）C6,（—2）x

~2ry6~r,所以展开式中系数最大的项为奇数项.

法一：设第r+1项的系数最大，则

［以・（-2）,2或+2・（一2厂+2,

IG-（-2）r^cr2•（一2）r,

因为r£Z,0W-W6,且广为偶数，所以r=4,

-

贝Ir5=ci•（-2）vy=240xy,

所以展开式中系数最大的项为24a/V，

法二：展开式中第1,3,5,7项的系数分别为Ch（—2）°,以・（一2产，索・（-2）4,

以・（-2）6,即1,60,240,64,所以展开式中系数最大的项为240父8广

【答案】4240A-V

管信更

求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤

第一步，求系数的最大值问题，要先弄清所求问题是“展开式中项的系数最

大”“二项式系数最大”以及“最大项”三者中的哪一个；

第二步，若是求二项式系数最大值，则依据（〃+用”中〃的奇偶及二项式系数的性质

求解.若是求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数的是离散型变量，设

展开式各项的系数分别为4,八2，…，A〃“，且第&项系数最大，因此在系数均为正值

的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组V,即得结果.

Ak^Ak+\

励考法全练;的展开式中,只有第5项的二项式系数最大，则展开式

的常数项是（)

A.-7B.7

C.-28D.28

解析：选B.因为只有第5项的二项式系数CW最大，所以看=4,即〃=8.5

1、V(―1YQ44

展开式的通项公式为。+|=羽=*8-驴令8-17•=(),解得/*=6,

故常数项为0=仁昔5=7.故选B.

后磅演练▼③僖突破练好题•突肢高分瓶颈.

［基础题组练］

1.修一fJ的展开式中的常数项为（）

A.-3^/2B.3^2

C.6D.-6

解析：选D.通项TH■尸Q圈37-f>=Q（也）3-,

(一1)3-6+6。当-6+6/=(),

即r=1时为常数项，72=-6,故选D.

2.（l+x）5+（H-x）64-（l+x）7的展开式中x4的系数为（）

A.50B.55

C.45D.60

解析：选B.（l+4+（l+x）6+（l+x）7的展开式中f的系数是CW+C+G=55.故

选B.

3.（多选）在二项式（3/一（J的展开式中，有（）

A.含x的项B.含+的项

人

C.含f的项D.含2的项

人

解析：选ABC.二我式（3寸一（J的展开式的通项公式为5+产心・3s-'•（-2）'・”

r=0,1,2,3,4,5,故展开式中含x的项为,结合所给的选项，知ABC

的项都含有.

4.在1十为”的展开式中’各项系数和与二项式系数和之比为32：1,则*的系数

为（）

A.5（）B.70

C.90D.120

解析：选C.令x=l,=4",所以的展开式中，各项系数和为

4"

4〃，又二项式系数和为2",所以吩=2"=32,解得〃=5.二项展开式的通项7；+|=3?.侏)

=Q335—/,令5—多=2,得尸2,所以％2的系数为Cg32=90,故选C.

5.l+(l+x)+(l+x)2"l-----k(l+幻”的展开式的各项系数之和为()

A.2/1-1B.2”一1

C.2/,+1-1D.2”

解析：选C.令x=l,得1+2+2?+…+2〃=1X：1=2”+1—1.

2—1

6.爪+灯的展开式中各项系数之和大于8,但小于32,则展开式中系数最大的

项是（)

强4

A.6B.口

C.4匹D.

解析：选A.令x=l,可得或"

的展开式申各项系数之和为2〃，即8V2"V

32,解得〃=4,故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是（3（5）2

7.($+2)©

1展开式中的常数项是（）

A.12B.-12

C.8D.-8

解析：选B.已一1,展开式的通项公式为77+产墨。'（一1片（一1心广5,当广

-5=-2或r-5=0,即r=3或r=5时，展开式的常数项是（一1）3奠+2（-1）5&=一12.

故选B.

8.1+：+1）展开式中的常数项为（）

A.1B.21

C.31D.51

解析：选D.因为Q+5+l)=[(x+l)+：

=C?(x+l)5+C!(x+l)4•：+CWa+l)3•(£f+C版+1尸*(J+C*x+『・(£f+

©5

5

c5

所以Qd+l）展开式中的常数项为C?・C?・广+&・仁・13+cg・c；・12=51.故

选D.

9.己知（21—DSnal+aix'+ax^+a*+aix+oo，则laol+knlH-----Has|=（）

A.1B.243

C.121D.122

解析：选B.令X=l,得的+〃4+。3+。2+。1+。（，=1，①

令x=-1,得一的+出一。3+。2一。|+。（）=-243,②

①I②，得23IsI劭）=一242,

即出+〃2+的=—121.

①一②，得2（的+依+4）=244,

即。5+〃3+。［=122.

所以|为|+同+…+闷=122+121=243.故选B.

10.（2020・海口调研）若（f—mG+g的展开式中产的系数为30,则。等于（）

A.1B.

C.1D.2

解析：选D.由题意得（X+5）"的展开式的通项公式是n+,=cto・小尸"0=&。3°

/n'o

f,（j+J的展开式中含/（当k=3时），,d（当z=2时）项的系数分别为c；o,C?（J,因

此由题意得C；o—aC：o=12O—45a=3O,由此解得a=2,故选D.

11.若（1+x+.d）"=ao+aix+a2fH------则QO+G+SH------------^侬等于（）

3"-1

A.2"B.-^―

解析：选D.设yu）=（i+犬+/）"，

则/U）=3"=ao+ai+sH-----Fs”，①

1)=1=4。—ai+的-GH---FG”，②

由①+②得2(a()+a：+a4H------)+八一1)，

—、/....川)+D3〃+1

月片"人CIQI~。2十Cl4~*十。2n22.

12.已知(x+2)9=ao+a]x+a2『H-----贝1」(。1+3。3+5。5+7田+9。9)2—(2。2+4。4

+6恁+848)2的值为()

A.39B.3'°

C.3"D.3,2

解析：选D.对(X+2)9=ao+a\x+a2^-\------Fa9d两边同时求导，得9(x+2)：'=ai

4-2t/2A-4-3t/3X2H------F8a&『+9a%/,令x=1,得。|+2a2+3。3~1------F8«x+9«9=3l0»令x

=—1,得由一2。2+3。3--------8劣+949=3?.所以(。1+3。3+5。5+747+9。9)2—(2。2+4。4

+6a6+8a8/=(ai+2a2+3aaHF8。?+9a())(a।—29+3内------8a*+9内)=3%故选

D.

13.(人S一y\&)4的展开式中，x3)*3项的系数为.

解析：二项展开式的通项是「+产小•严•(一)5)«=(-1»64一，，2+争令4

一寺=2+亨=3,解得k=2,故展开式中xY的系数为（-12=6.

答案：6

14.（2019・高考浙江卷）在二项式（也+幻9的展开式4I,常数项是,系数为

有理数的项的个数是________.

解析:二项式（也+KP展开式的通项为7Hd=C4（$）9r/令r=0,得常数项为。啦）9

=16/1当r=1,3,5,7,9时，系数为有理数，共5项.

答案：16明5

15.设，〃为正整数，（x+y）2M'展开式的二项式系数的最大值为。，。+），）2"旧展开式

的二项式系数的最大值为〃若13a=7b,则〃?=.

解析：。+），产展开式中二项式系数的最大值为C%,所以。=C“

同理，力=013.

因为13。=74所以13・C%=7・C据为.

所以13•华”_(2/n+1)!

=7

m!m(/w+l)!m\

所以722=6.

答案：6

［综合题组练］

1.己知C!I-4Ci-I-42d-43C^+•••+(-1r4nC=729,则弓+或+…+仁的值等于

()

A.64B.32

C.63D.31

解析：选C.因为0—4己+42仁一43c+…+(-l)"4"C；=729,所以(1一4)"=36,

所以〃=6,因此C[+G+…+C：=2"—1=26—1=63,故选C.

2.设々WZ,且0＜々＜13,若512018%.能被13整除，则〃=()

A.0B.1

C.11D.12

解析：选D.512O,84-a=(52—1)20,84-«=

©01852238—Goi8522°l7+・・・+C蝴X52X(-1)237+G服X(—1)238+〃.因为52能

被13整除，所以只需C』服X(-1)238+。能被13整除，即。+1能被13整除，所以4

=12.

3.已知(x+1严=。1+田+。*+…若数列,“2,。3，…，adlWZWlLk.

£N")是一个单调递增数列，则后的最大值是.

解析：由二项式定理知，a”=C1『(〃=l,2,3,II).又(x+1严展开式中二项

式系数最大项是第6项，所以拆=C%，则4的最大值为6.

答案：6

4.已知(2—^