2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷01（上海专用）【测试范围：沪教版必修第三册+选择性必修第一册第1-2章】（全解全析）

高二数学下学期第一次月考卷01(上海专用)

全解全析

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

I.答卷前.考牛务必将自己的好名、准考讦号填写在答题卡卜.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：沪教版必修第三册+选择性必修第一册第1章

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7・12题每题5分)

1.若P(A)=W，P(B)=；,且事件4与事件8相互独立，则尸(48)=___________.

34

【提示】根据独立事件的概率公式求出；

【答案】

0

711

【解析】由题意可得，P(")=P(4)P(8)=[x：=：.

346

故答案为：7:

6

【说明】本题考查了独立事件的乘法公式；

2.已知10名同学的跳远成绩(单位:m)排序后如下：4.5,4.6,4.7,4.8,4.9,5.0,5.1,5.2,5.3,

5.4,则这组数据的60百分位数是

【提示】根据百分位数的定义和公式计算即可；

【答案】5.05；

【解析】因为10x60%=6,所以这组数据的60百分位数是第6项和第7项的平均值，

故答案为：5.05；

【说明】本题考查了总体百分位数的估计；

3.若直线4：6》+勺+3=0与/2：松一2尸1=0垂直，则实数加二

【提示】根据直线垂直的条件求解即可;

【答案】I4；

【解析】因为直线4：6x+4y+3=0与/2：〃氏-2丁+1=0垂直，

所以6/〃+4x(—2)=(),即，”=g；

【说明】本题考查了已知直线方程根据垂直求参数；

4.若直线3xI4yI机一。与圆。+1)2+＞，2_［相离，则实数〃？的取值范围是

【提示】根据点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，再根据相离的性质解不等式即可得到答案;

【答案】(-OO,-2)U(8,+CO).

【解析】由圆(工+1尸+/=］的标准方程可知圆的圆心坐标为(fo),半径为厂=1,

根据点到直线的距离公式“=叱+劭+。,

＞JA2+B2

根据已知条件代入可得d="(］)：4：0+可=也/,

32+不5

直线和圆相离则有d〉＞即与3＞1,

解含绝对值不等式可得加＞8或巾＜-2,

即mG(-oo,-2)u(8,+8)；

【说明】本题考查了由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离；

5.若双曲线》2一二=1的虚轴长为正,则该双曲线的渐近线方程为

【提示】根据题意可得。=1,b=也,进而可求渐近线方程，注意焦点所在位置；

2

【答案】±^-x-y=0；

【解析】因为双曲线的虚轴长为％=&,即6=立，

2

由双曲线方程/-3=1可知。=1,且焦点在X轴上，

所以该双曲线的渐近线方程为歹=±［工=±孝X.

【说明】本题考查了求双曲线的实轴、虚轴、已知方程求双曲线的渐近线；

6.如图，尸是抛物线炉=4x上一点，尸是抛物线的焦点，NOFP=60。，则归户|=

【提示】根据/。匹尸=60。求出直线P/方程，与抛物线联立求出点，横坐标，再根据抛物线定义求解即可;

4

【答案】p

【解析】抛物线V=4x的焦点尸工0）.

设户（为,”），

因为NO叩二60。，所以/^=-仆，直线尸产方程为歹二-6（工-1）,

与，=4x联立整理得，3，—10工+3=0,

即（3x-l）（x-3）=0,解得x=；或x=3,

所以点尸横坐标=；或%=3,

当％=3时，ZOFP=120°,不符合题意，舍去.

所以.=1,

14

所以四|=§+1=鼠

【说明】本题考查了抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式；

7.水平放置的△/&?,用斜二测画法得到直观图"EC',如图所示，若A'B'=A'C'=2,则△力8c的面积

等于

【提示】由直观图，还原出原图，即可求得答案;

【答案】4；

【解析】将直观图还原出原图，可得力8=2,/C=4,NZMC=90c,

所以△48。的面积等于;x2x4=4.

故答案为：4；

【说明】本题考查了由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关■的计算;

8.已知正方体ABC。-的棱长为4,则直线44到平面力4G2的距离为.

【提示】利用线面垂直的判定定理得4。，平面44G4,进而利用线面距离转化为点面距离求解即可;

【答案】2&；

【解析】连接4c,4。与8c交点为。，因为8CC内是正方形，则80_L8C1,

又力81平面8CC4，BQu平面BCQB],则48180,

又ABClBC、=B,AB,gu平面ABCR,则BQ1平面ABCXD{,

因为48〃/£,44a平面43G48u平面48GA，所以4。//平面46G呼,

所以直线4修到平面4ECR的距离为点修到平面4BCR的距离,

所以直线44到平面4BCR的距离为BQ=；BC=；xV42+42=2后.

乙乙

故答案为：2拉.

【说明】本题考查了求直线与平面的距离;

9.如图，在正方体/BCD-48GA中，则异面直线48与力。所成角的大小为

【提示】构造异面直线所成的角，再利用解三角形求解;

【答案】p

【解析】如图：

连接。。，D}A.

因为力6C。-48c2为正方体，所以2C//46,

所以4C0即为异面直线4B与月C所成的角或其补角，

在△/CQ中，因为/C=/R=CA，所以乙4cA=60。.

故答案为：60°

【说明】本题考查了求异面直线所成的角；

10.我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木

齐，问葛长儿何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，

刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长尺''（注：1丈等于10尺）

【答案】26；

【解析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5x2=10

（尺），因此葛藤长后1币=26（尺）

【说明】本题主要考查了圆柱的展开图及最短距离问题；

11.正四棱锥P-48CQ的底面边长为4,且所有顶点都在半径为3的同一球面上，则异面直线尸C与44所

成角的余弦值为

【提示】设外接球球心为O,底面中心为。|,外接球半径/?,利用(尸。-彦)+℃2=方求出PQ进而得到

侧棱长，根据异面直线的概念可知NPCQ即为异面直线尸C与48所成角的平面角，在△产口)中利用余弦

定理求解即可；

【答案】正或逅；

36

【解析】设外接球球心为。，底面中心为。一外接球半径H=3,

P

因为底面边长为4,所以QC=2&,

易知球心。在线段尸《上，则=解得pq=2或4,

当P«=2时，又PC=PD="O；+C\C2,解得PC=PD=26

因为AB//CD,所以/PCD即为异面直线PC与AB所成角的平面角，

在△PC。中，由余弦定理可得cosNPCD=0°+CD、Ph,解得3/P四二立，

2PCCD3

当P«=4时，又pc=PD=dPO；+O£2,解得PC=PD=26

因为AB"CD,所以NPCD即为异面直线PC与AB所成角的平面角，

在△PCO中，由余弦定理可得cos/PCQ=±*^^,解得cosNPCD=显,

2PCCD6

【说明】本题考查了余弦定理解三角形、多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角；

12.在三棱锥尸-48C中，尸4PB、PC两两垂直，且4=3,P8=2,尸C=l,设历为底面48。内一点，

/(M)=(〃N,p),其中加分别表示三棱锥"-/MB,三棱锥M-P8C,三棱锥M-PC4的体积.若

/(/)=(：/,)，)，且@212恒成立，则正实数。的最小值为____________.

3xy

【提示】根据给定的信息求出三棱锥尸-48。的体积，进而求出x+y,再利用基本不等式“1”的妙用求出最

小值，并建立不等式求解；

【答案】1；

【解析】在三棱锥中，PA、PB、尸C两两垂直，且尸力=3,尸4=2,尸C=l,

2I1

则1+），+彳=%,.=221,小小=1,解得x+y=-,

363

又x>0,y>0,a>0,

因此@+'=3（3+3（^+夕）=3（。+1+竺+±）23（。+1+2」竺乂£）=35+1+26），

xyxyxyyxy

当且仅当丝=色时取等号，由色+,212恒成立，得3（a+l+24）N12,

xyxy

于是（G+1）P4,解得〃之1,所以正实数。的最小值为1.

故答案为：1;

【说明】本题综合考查了锥体体积的有关计算、基本不等式“1”的妙用求最值；

二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个

正确选项）

13.已知。，b,。是空间中的三条直线，且〃_L/）,则“8_Lc”是“Q"C”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【提示】根据空间中垂直和平行的性质及充分条件、必要条件、充要条件的定义分析判断即可：

【答案】B；

【解析】若。blcf则〃，c可以异面、平行或相交，故由8_Lc推不出o〃c,

若Hie,根据平行线的性质，则匕_Lc,

所以“力•！c”是“a/Ie”的必要不充分条件.

故选：B.

【说明】本题考查了判断命题的必要不充分条件；

14.下面关于空间几何体的表述，正确的是（）

A.棱柱的侧面都是矩形

B.直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所闱成的几何体是圆锥

C.正四棱柱一定是长方体

D.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台

【提示】用简单几何体的定义及特征夫逐个判断即可：

【答案】C；

【解析】对于A:棱柱的所有侧面都是平行四边形，并不一定是矩形，故A错误.

对于B:只有以直角边为旋转轴旋转才能得到圆锥，以斜边为旋转轴旋转得到的是两个圆锥的组合体.故B错

误.

对于C:正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱，所以必然是长方体，故C正确.

对于D:只有截面与底面平行时，截面与底面之间的部分才是棱台，故D错误.

故选:C

【说明】本题考查了棱台的结构特征和分类、由平面图形旋转得旋转体、棱柱的结构特征和分类；

15.现有5瓶溶液标签缺失,已知其分别为HC1,H2so4,HNO,,NaOH,KOH,若从中任取2瓶混合,则会

发生复分解反应的概率为（）

2132

A.彳B.5C.-D.§

【提示】先确定组合数，找出发生复分解反应的组合，最后计算概率；

【答案】C；

5x4

【解析】从5瓶溶液中任取2瓶，共有或='=10,

2x1

溶液中酸性为HC1,H2sO^HNOj,碱性为NaOH,KOH,

酸碱中和反应生成水属于复分解反应，所以发生复分解反应的组合有3x2=6,

因此会发生复分解反应的概率为=

故选：C.

【说明】本题考查了实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率；

16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖腌.如图所示，某同学利用两个完全一

样的半圆柱，得到了一个三棱锥W-8C。，该三棱锥为鳖嚅，。，。2为半圆柱的圆心，半径为2,BD=4,

ZAO2C=60°,动点。在“CO内运动（含边界），且满足80=M，则点。的轨迹长度为（)

A.y/2nB.兀2小

【提示】根据鳖廉的特点及已知边长得出BT=2五,进而得出点。的轨迹为以丁为圆心以7。=0为半径的

半圆即可求出轨迹长度；

【答案】A；

【解析】因为三棱锥力-8。。为鳖腌，平面48C,

在中，DBA.AB,AB=4,BD=4,AD=>j42+42=472,

过8做471/0垂足为7,则Lx8rx/fO=—xQ8x18,

22

即987^4上=94、4,所以BT=2必M，

因为031AC,ZAO2C=60°,ac=4,

JC=4xsinZJO2C=25BC=JAB，+AC。=277,

在&/CO中，AC=2VJ,AD=472,DC=^BD2+BC2=742+28=744,

所以力。2+/。2=。。3则/Cl4。，

又8。工平面力8C,/Cu平面/BC,所以4O_L4C,

又8。门力。二。,8。,力。匚平面/13。，所以4CJ■平面48。，

又BTu平面力BD,所以87_L/C,

又BT上AD,ADoAC=A,AD,ACu平面ACDf所以ST_L平面ACD,

因为TQu平面NC。，所以BTLTQ,

所以△87。中，BQ=M,BT=26,QT=yjBQ2-BT2=日

过N作力E_LQC,AExDC=ACxADt

即<ExA=2jix4上,可得⑷？=呼5,

则过了作因为丁是力。中点，所以TFHAE,TF=^^~>五,

11

所以动点。在△月C。内（含边界）的轨迹为以7为圆心以70=也为半径的半圆，

则点0的轨迹长度为正兀.

故选：A.

【说明】本题考查了线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直；

三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分）

17.（本题14分）

在平面直角坐标系X。）,中，已知圆。|："+3）2+（^-1）2=4和圆。2："-4）2+（丁一5『=4.

（1）若直线/过点力（-2,-2）,且被圆£截得的弦长为2石，求直线/的方程：

（2）若直线/'过点8（2,0）且与圆G相切，求直线T的方程:

【提示】（1）分类讨论，斜率不存在时的直线，求其弦长满足题意，斜率存在时，设出其方程，由圆心到

直线的距离，由勾股定理求得弦长，从而求得参数值，得直线方程；

（2）分类讨论，斜率不存在时的直线检验其为切线，斜率存在时，设出其方程，由圆心到直线的距离等于

半径求得参数值，得直线方程；

【答案】（1）4x+3y+14=0或­2：（2）x=2或：21A-20F-42=0

【解析】（1）当直线/的斜率不存在时，其方程为X=-2,圆心（-3,1）到直线工=-2的距离为1.又圆的半

径为2,

所以，直线/被圆G截得的弦长为2万1=26,符合题意.

当直线/的斜率存在时，设其方程为j，+2=A（x+2）,即丘-y+2〃-2=O,

由题意有（卜331+2"2|]+3=4,解得

[止+1）3

所以，，的方程为4x+3y+14=0.

综上，直线/的方程为x=-2或4工+3y+14=0.

（2）当直线/'的斜率不存在时，其方程为x=2,符合题意.

当直线/'的斜率存在时，设其方程为2）,即by21=0,

由题意有阳;“第=2,解得k=巳此时直线/'的方程为25-20.），-42=0.

W+120

综上，直线r的方程为X=2或2noy-42=（）.

【说明】本题考查了过圆外一点的圆的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数；

18.（本题14分）

从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200km,遇到红灯个数的概率如下表所示:

遇到红灯个数0123456个及6个以上

概率0.02().1a0.350.2().10.03

（1）求表中字母。的值；

（2）求至少遇到4个红灯的概率.

【提示】（D根据分布列的性质，列出方程，即可求解：

（2）结合表格中的数据，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解；

【答案】⑴0.2；（2）0.33；

【解析】（1）解：由表格中的数据，结合分布列的性质，可得：

0.02+0.I+W+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.

（2）解：事件力为遇到红灯的个数为4,事件4为遇到红灯的个数为5,事件。为遇到红灯的个数为6个

及以上，

则事件“至少遇到4个红灯”为力U3UC,因为事件4反。互斥，

所以尸（NUBUC）=7（4）+/（3）+P（C0=0.2+0.1+0.03=0.33,

所以至少遇到4个红灯的概率为0.33.

【说明】本题考查了利用随机变■分布列的性质解题、利用互斥事件的概率公式求概率；

19.（本题14分）

中国新能源汽车产业发展势头迅猛，社会关注度持续增长.大数据显示，不同品牌的新能源汽车，其关

注群体有不同的年龄分布.某网站面向关注新能源汽车的站内用户群体做了一个问卷调查，从关注品牌力的

网友中随机抽取300人,并将他们按年龄分成了2,25）,[25,35）,[35,45）,[45,55）,[55,65]（单位:岁）

这五组，并画出频率分布直方图如图所示.

（1）求图中a的值和80%分位数（精确到小数点后一位）：

（2）根据以上数据，估计该网站用户中关注新能源品牌4的网友的平均年龄.

【提示】（1）利用各个小矩形的面积和等于1可得根据百分位数定义求解即可；

（2）每个矩形的底边中点横坐标与该矩形的面积相乘后求和可得平均值；

【答案】（1）67=0.035,48.3；（2）38.5；

【说明】（1）m+0.03+0.015+0.01x2）xl0=l,得〃=0.035

设80%分位数为x,则0.1+0.3+0.35+（x-45）x0.015=0.8

解得X=48.3.所以80%分位数为x=48.3.

（2）估计该网站内关注品牌力的用户平均年龄为

15+25_25+3535+4545+55,55+65）_

0.0lx-----+0n.0n3x-------+0.035x------+0.015x------+00lx------x1i0n=38.5c

I22222）

【说明】本题考查了补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计；

20.（本题18分）

已知/是圆锥的顶点，是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，AC=BD=2,8c=1,点M在线

段8。上，且平面力8C和平面4。将圆锥截去部分后的几何体如图所示.

A

（1）求证：CM1力。；

（2）求AC与底面所成的角；

（3）求该儿何体的体积.

【提示】（1）在妨C。中通过解三角形得CM力，从而可证CM与平面力B力垂直（取4。中点。，AO

是圆锥的高），得线线垂直；

（2）由（1）乙4co是直线/IC与底面所成的角，在三角形中求解即可；

（3）该几何体是半个圆锥和一个三棱锥的组合体，由锥体体积公式计算.

【答案】（1）证明见解析（2）60。（3）三叵

6

【解析】（1）证明：因为，C是底面圆周上一点，

所以，BClBDt

又因为，BC=；BD,

所以，MDC=30。，

所以，ZC5Z）=60°,

3

在三角形4cM中，由余弦定理得：CM2=BC1+BM1-2BC-BM-cosZCBM=-,

4

222

所以，BC=BM+CMt

所以，

设。为40的中点，连接40,则401平面8C0,

因为，CM在平面8C0内，

所以，CMLAO.

又AOCBD=O,

所以，CMJL平面84。,

又，。在平面BAD内,

所以，CM1AD；

（2）设。为8C的中点，连接CO,AO,则々CO为/1C与底面所成的角,

由已知可得4B=/1O=/1C=8O=2,所以ZUAO为正三角形，.40=6,

而CO=L所以切〃/彳。0二百，

所以，ZC与底面所成的角为60。；

（3）由题设知，ZC5D=60°,

故△BCD的面积S.BCD=-BC-BDsin60°=—,

底面半圆的面积S半冏=；公（加2=],

所以该几何体的体积p=Lg6+'工•石=土生.

32326

【说明】本题考查了线面垂直证明线线垂直、求线面角、锥体体积的有关计算।解答本题的关键是垂直的

证明；

21.（本题18分）

已知椭圆uW+£=im>/>>o）的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其

a~b~

方程为「：/+产=。2+〃.已知椭圆c的两个焦点分别为小_"o）,q"o）,。为坐标原点，点项-J5,；）

在椭圆。上.

（1）求C的标准方程；

（2）已知直线/与C交于48两点，且O/IJ.O8,求△048面积的取值范围；

（3）过。的蒙口圆上一点历，作C的一条切线，与蒙口圆交于另一点N,若直线。M，ON的斜率存

在，设。V/与。N的斜率分别为心,kON,证明：自”•七v为定值.

【提示】（1）根据给定条件，列出方程组求出即可.

(2)按力*是否为顶点分类，当直线04斜率存在且不为0时，求出0408长，并求出三角形面积的函数

关系，进而求出范围.

(3)按直线的斜率存在与否分类，把直线MN的方程与圆、椭圆方程联立求出勺“•七,、,即可.

【答案】⑴②⑶证明见解析;

a12-*4b~=3

【解析】(D依题意，31,，解得J=4,〃=i,

b+^=1

所以°的标准方程是

(2)当点力不是椭圆。的顶点时，由得