一次函数与实际问题 培优练习-2025-2026学年人教版数学八年级下册

第25讲一次函数与实际问题

板块一选择方案（一）费用最少

典例精讲

【例】某公司分别在A,B两城生产同样的产品共10（）件，A城生产的产品总成本y（万元）与产品数量x（件）之

间具有函数关系y=kx+b.当x=IO时,y=130:当x=20时,y=230;B城生产的产品每件成本60万元，已知B城生产的产

品数量至少比A城生产的产品多40件。

⑴求k,b的值;

（2）当A,B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A,B两城各生产多少件？

（3）从A城把产品运往C,D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把产品运往C,D两地的费用

分别为1万元/件和2万元/件，C地需要90件，D地需要10件，在⑵的条件下,直接写出A,B两城总运费和的

最小值用含有m的式子表示）.

实战演练

现从A,B两个蔬菜市场向甲，乙两地运送蔬菜，A,B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15

吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费为50元/吨，到乙地运费为30元/吨；从B到甲地运费为60元/吨，到乙

地运费为45元/吨.

⑴设从A到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：

运往甲地（吨）运往乙地（吨）

AX

B15-x

⑵怎样调运蔬菜才能使总运费最少?

板块二选择方案（二）利润最大

典例精讲

【例】某商场计划购进甲、乙两种空调共50台，这两种空调的进价、售价如下表所示：

（1）若该商场此次进货共用去13万元，则这两种空调各购进多少台？

（2）若商场规定每种空调至少购进10台，并且在当月全部销售完，应怎样进货才能使商场在销售完这批空调时

获利最大?并求出最大利润.

类型进价（元/台）售价（元/台）

甲23002800

乙33004000

实战演练

某家具商场计划购进某种餐京、餐椅进行销售，有关信息如下表：

进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）

餐桌a270

500

餐椅a-11070

已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同.

⑴求表中a的值；

（2诺该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张,且餐桌和餐椅的总数量不超过200张，该商场计划

将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售.请问怎样进货，才能获得

最大利润?最大利润是多少?

板块三选择方案（三）方案最佳

典例精讲

【例】某果品基地组织20辆汽车装运完A,B,C三种不同品牌的水果共110吨到外地销售,按廿划20辆汽

车都要装满，且每辆;气车只能装同一种水果，根据表中提供的信息，解答以下问题：

水果品牌ABC

每辆汽车载重量（吨）654

每吨水果可获利润（万元）0.50.60.4

⑴设用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，求y与x之间的函数关系；

⑵若要使此次销售获利最大，应采取怎样的装运方案？并求出最大利润。

今年我市水果大丰收，A,B两个水果基地分别收获水果380件,320件，现需把这些水果全部运往甲，乙两

销售点，从A基地运往甲，乙两销售点的费用分别为每件40元和20元，从B基地运往甲，乙两哨售点的费用分

别为每件15元和3（）元，现甲销售点需要水果400件，乙销售点需要水果300件。

（1股从A基地运往甲销售点水果x件，总运费为w元，请用含x的代数式表示w,并写出x的取值范围；

（2诺总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求

出最低运费.

板块四选择方案（四）含参讨论

典例精讲

题型①根据参数的取值分类讨论

【例1］某服装店准备购进甲、乙两种服装出售，甲种每件售价120元，乙种每件售价90元。每件甲种服装的

进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装

共100件，其中甲种服装不少于65件.

（1澳空：甲种服装进价为元/件,乙种服装进价为元/件；

⑵若购进这100件服装的费用不得超过7500元.

①求甲种服装最多购进多少件？

②该服装店对甲种服装每件降价a（0va〈20）元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么该服装

店如何进货才能获得最大利润？

题型②求参数值

【例2】某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球个数不少于排球个数，付款总额

不得超过11200元，已知两种球的批发价和商场的零售价如下表。设该商场采购x个篮球.

球厂家批发价元/个商场零售价元/个

篮球120150

排球100120

（1求该商场采购费用y（单位：元）与x（单位：个）的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；

（2该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；

（3）受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了3m（m>0）元/个，同时排球批发

价下调了2m元/个.该体育用品商场决定不调整商场零售价发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，

求m的值.

实战演练

某大型超市从水果批发市场购进哈密瓜和苹果进行销售，两种水果的进价和售价如表所示：

水果名称进价（元/千克）售价（元/千克）

哈密瓜710

销量不超过100千克的部分销量超过100千克的部分

苹果12

1614

若超市每天购进两种水果共150千克，并在当天都销售完，其中销售哈密瓜不少于40千克巨不超过60千克,

设每大销售哈密瓜x千克（损耗忽略不计）.

（1分别求出每天销售哈密瓜的利润力（单位：元），销售苹果的利润丫2（单位：元）与x（单位：千克）的函数关系

式，并写出x的取值范围；

（2广端午节“当天超市让利销售，将哈密瓜的售价每千克降低m元，苹果售价全部定为14元，为了保证当天销

售这两种水果总利润w（元）的最小值不少于320元，求m的最大值.

一次函数与实际问题板块一选择方案（一）

费用最少

典例精讲

【例】解:⑴由题意得

J0什6=130睡但,^=10,

”0什4230，解付5=30;

(2)A,B两城生产这批产品的总成本的和为10x+30+60(100-x)=-50x+6030,由题意，得100-x>x+40,

二•、330,根据实际情况，

・・・0日$30,且x为整数,

・••当x=30时.A.B两城生产这批产品的总成本的和最少，

・・・A城生产了30件产品,B城生产了100-30=70(件)；

⑶当m>2时,A,B两城总运费的和的最小值为20m+100;

当m=2时，A,B两城总运费的和的最小值为140；

当m<2时，A,B两城总运费的和的最小值为30m+80.

实战演练

解⑴如表；

运往甲地(吨)运往乙地(吨)

AX14-x

B15-xX-1

(2)设调运蔬菜的总运费为W元，则W=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-l),

整理彳导W=5x+1275,

x>0,

•・•A,B到两地运送的蔬菜为非负数二氏解得•在W=5x+I275中,W随x增大而增大，，当x

x-l>0,

最小为I时，W有最小值1280元.

，从A运1吨蔬菜到甲地，13吨蔬菜到乙地，从B运14吨蔬菜到甲地，费用最小为1280元.

板块二选择方案(二)

利润最大

【例】解：⑴设购进甲空调X台，购进乙空调y台.根据题意，得

2=50,

3(X)y=13()(X)(),

230().r+3

.v=35,

解得｛

y=15.

答：购进甲空调35台,购进乙空调15台:

(2破购进甲空调m台，则购进乙空调(50-m)台.根据题意彳导

《5储0解得

设获得的总利润为W元，

贝!JW=(2800-2300)m+(4OOO-33OO)(5O-m)=-2OOm+35000,

V-200<0,

・・・W随m的减小而增大，

V10<m<40,

.•.当m=10时.W的值最大,W最大=200x10+35000=33000,50-10=40(台).

答：购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最大.最大利润为33000元.

实战演练

解：⑴由题意，得缈=爷,解得2=150,经检验声=150是方程的解.且符合题意、・言=150;

aa-l10

(2)设购进餐桌x张，销售利润为w元，由题意得x+5x+2OS2OO解得小30.1)(500-150-40：<4)+9(270-150)

+(5x+20-*4)x(70-40)=245x+600,V245>0,

・・・w随x的增大而增大，

，当x=30时，w取最大值，最大值为7950,故购进餐桌30强，餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利

润是7950元.

板块三选择方案(三)方案最佳

典例精讲

【例】解:⑴♦・•用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，，有(20-x-y)辆汽车装运C种水果,

由题意彳导6x+5y+4(20-x-y)=110,Ay=-2x+3().

答：y与x之间的函数关系式为广-2x+30;

(2)设总利润为w元，由题意，得w=0.5x6x+0.6x5(-2x+30)+0.4x4(20-x+2x-30)=3x-6x+90+1.6xJ6=L4x+74.

x>0,

E{-2x+30>0,

x-10>0,

.•.10<x<15,Vk=-L4<0,

・•・W随X的增大而减小，又X为整数，

・••当X=11时,w最大=58.6.

・•.用11辆汽车装运A种水果，用8辆汽车装运B种水果，用1辆汽车装运C种水果的利润最大为58.6

万元.

实战演练

解：(1)设从A基地运往甲销售点水果x件，则从A基地运往乙销售点的水果(380-x)件，从B基地运往甲销

售点水果(400-x)件，运往乙基地(x-80i件.由题意彳导w=40x+20(380-x)+15(400-x)+30(x-80)=35x+ll200.即(o=35x+ll

200.Vx>0,38()-x>0,4()0-x>(),x-80>0,/.80<\<380,^x的取彳直范围是80<x<38();

(2)VA地运往甲销售点的水果不低于200件，

.,.200<x<380,V35>0,

・•・运费w随着x的增大而增大，

・•・当x=200时运费最低为35x200+ll200=18200(元)/8200<18300,符合题意，此时.从A基地运往甲销售点

水果200件，从A基地运往乙销售点的水果180件，从B基地运往甲销售点水果200件，运往乙基地120件.

板块四选择方案(四)含参讨论

典例精讲

【例I】解：⑴设乙种服装的进价x元/件,则甲种服装进价为(x+20)元件根据题意得3(x+20)=4x,解得x=6

0,即甲种服装进价为8()元彳牛，乙种服装进价为60元/件；(2)①设计划购买x件甲种服装，则购买(I00-X)件乙种

服装,根据题意,得180/60(16()-；乃7500,解得65-x-75>

・•.甲种服装最多购进75件；

②设总利润为w元，购进甲种服装x件则co=(12O-8O-a)x+(9O~6O)(lOO-x)=(lO-a)x+3OOO.

且65WxW75.当0<a<10时,10-a>0,w随x的增大而增大,故当x=75时,

W有最大值，即购进甲种服装75件，乙种服装25件；

当a=10时，所有进货方案获利相同；当10<a<20时［0-a<0,3随x的增大而减少，故当x=65时，

w有最大值，即购进甲种服装65件，乙种服装35件.

【例2】解:(1)根据题意彳导y=120x+100(100-x)=20x+10000;

x>100-v,

M20x+100(10-r)<11200,

解得50<x