2026年高考数学第一轮复习：函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值

一、知识梳理

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数7U)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两

个自变量的值莺，X2

定义

当汨42时，都有.Ka止空力那么就说当即<%2时，都有血「)>©2)，那么就说

函数«x)在区间。上是增函数函数/U)在区间。上是减函数

月㈤

网）:AJ

图象描述

()“1X，X

-o\xt~~~X

自左向右看图象是上升的自左向主，看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数)，=/⑴在区间。上是增函数或减函数,那么就说函数产危)在这一区间具有

(严格的)单调性，区间。叫做函数y=/U)的单调区间.

［注意］有多个单调区间应分开写，不能用符号“U”联结，也不能用“或”联结，只

能用“逗号”或“和”联结.

2.函数的最值

前提设函数)，=/(幻的定义域为/，如果存在实数M满足

(1)对于任意入£/，都有/U)WM；(1)对于任意工£/，都有/U)mM：

条件

(2)存在xo£/,使得/UQ)=M(2)存在抽£/,使得/UQ)=M

结论M为最大值M为最小值

常用结论

I.函数单调性的两个等价结论

设DM,刈£。(为中应)，则

（1/>0（或3—X2）［/UI）—/U2）］>0）=AI）在D上单调递增.

X|—X2

（2”为）

-<0(或(XI—也)伏川)一/(12)］<0)经/(1)在D上单调递减.

X]—X2

2.函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定

在端点取到.

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

二、教材衍化

1.函数次4)二/一2》的单调递增区间是.

答案：[1,+8)(或(1,+8))

2.若函数)，=(22+1：戊+力在R上是减函数，则％的取值范围是.

解析：因为函数,=(2&+1)大十〃在R上是减函数，所以2&+1C0,即&V-].

答案：(一8,

2

3.已知函数_/U)==Y，x£[2,6],则_/U)的最大值为_______,最小值为__________.

XI

2

解析：可判断函数大外=口在[2,6]上为减函数，所以yu)gx=A2)=2,yu)min=A6)

=2

=5,

2

答案：25

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)若定义在R上的函数_/U)，有五-1)勺(3),则函数7U)在R上为增函数.()

(2)函数y=yH)在[1,+8)上是增函数，则函数大刈的单调递增区间是[1,+8).()

(3)函数)，=：的单调递减区间是(一8,())u(o,H-oo).()

(4)所有的单调函数都有最值.()

(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是

增函数.()

(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到.()

答案：⑴X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)V

二、易错纠偏

常见误区I(I)求单调区间忘记定义域导致出错；

⑵混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错.

1.已知函数2K—3,则该函数的单调递增区间为()

A.(一8,|]B.[3,+8)

C.(—8,—1]D.[L+0°)

解析：选B.设丁=炉一3,由re0,即9一zt—3N0,解得xW—1或x23.所以函

数的定义域为（一8,—1］U［3,+°°）,因为函数f=F—2x—3的图象的对称轴为x=1,所

以函数，在（一8,一］］上单调递减，在口，+8）上单调递增.所以函数几r）的单调递增区间

为［3,+8）.

2.若函数代r）=f-2〃a+1在［2,+8）上是增函数：则实数〃?的取值范围是.

解析：由题意知，［2,+8）Q［〃］，4-oo）,

所以机W2.

答案:(—8,2]

明考向•直击考例考法.

考点一确定函数的单调性（区间）（基础型）

复习

$一，|通过已学过的函数特别是二次函数，理解函教的单调性及其几何意义.

指导

核心素养：数学抽象

角度一判断或证明函数的单调性

屈口］（一题多明试讨论函数危）=£（,层。）在（-1,I）上的单调性.

【解】法一：设一

危)=〃(*+(+土,

人川）一/（及）=《1+曲）-1I+言）

a(12~~xi)

由于一1＜A1＜A2＜1，

(X1—I)(X2—I)

所以应一11＞0，X|—1＜0»X2—1＜0»

故当a＞（）时，儿vi）-/U2）＞0，即人为）次X2），函数在（一1，1）上单调递减;

当。＜0时，儿⑴一/2）＜0,即yu）勺（%2）,函数_/u）在（一1,1）上单调递增.

(ax)'(x—1)—ax(x—1)'

法二：/（x）=

(x-1)

a（工一1）—ara

（.x—1）2-（x—I）2"

当〃＞（）时，/（x）＜o,函数yu）在（一i,1）上单调递减;

当avo时，/a）＞0,函数凡丫）在（一1,1）上单调递增.

侬窗窗

利用定义法证明或判断函数单调性的步骤

画层H根据定义作出结论

［注意］判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等.

角度二利用函数图象求函数的单调区间

屈1②求函数«丫）=一f+2|x|+l的单调区间.

—f+Zr+l,x20,

【解】fix）=

—A2—2x+1»x<0

-G-l)2+2,GO,

一(x+I)2+2,x<0.

画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为（一8,一1］和（0,i］,单调递减区间为（一

I,0］和（I,+8）.

【迁移探究】（变条件）若本例函数变为火幻=|一『+2x+1|,如何求解？

解：函数y=|一9十右十1|的图象如图所示.由图象可知，函数了=|一;^+2；1+1］的单■调

递增区间为（1一啦，1］和（1+6，+8）；单调递减区间为（-8,］一啦］和（］,1+g.

确定函数的单调区间的方法

定义法）一（先求定义城，再利用单调性定义来求

濡亩*不至而薪函率词法而i五餐词坂1二•莫

图象法—；单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象

［不连续的单洞区间要分开写，用“和”或“，”

（俄结，不能用“U”联结

导数法—：布瓦孥密最根而a笼言底而东鬲应有一

［注意］（1）函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函

数在(一8，0)和(0，+8)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性.

(2)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然NU

M.

考法全练;

1.函数y=H(l-x)在区间A上是增函数，那么区间人可能是()

A.(-8,0)B,[。，J

C.[0,+8)D.&+8)

解析：选B.y=凶(1一%)=

X(1—X),x20J—.F+x,GO

—x(1—x),x<0lx2—x,x<0

-1-；)+9,x20,

{(L£)V，x<0.

画出函数的草图，如图.

「ll

由图易知原函数在[o.上单调递增.

2.下列函数中，满足“Vxi,工2上(0，十8)且WX2，(X|—X2)-[AR)—/Im]VO”的是()

A.J(x)=2xB.y[x)=Lr-||

C.fix)=~xD.7U)=ln(x+l)

解析：选C.由(即一为>[/(即)一/8)]<0可知，_/(.6在(0，+8)上是减函数，A、D选项

中，./U)为增函数：B中，/)=仅一1|在(0,+8)上不单调，对于人劝=：一%,因为),=：与),

人人

=­X在(0,+8)上单调递减，因此凡。在(0,+8)上是减函数.

3.判断函数了=三二的单调性.

人

解：因为j(x)=生m3

—2A--,且函数的定义域为(-8,0)U(0,+8),而函数)，=2x

和3，=—"在区间(一8,0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得yu)=2x-1在区

间(一8,0)上为增函数.

同理，可得，於在区间(0,+8)上也是增函数.

人

2JC-3

故函数人r）=一尸在区间（一8,0）和（0,+8）上均为增函数.

人

考点二函数的最值i值域）（基础型）

复习I乂

+匕（J理解函数的最大（小）值，并能利用函数的单调性求最值.

指J

核心素养：逻辑推理

ffl-31（1）（一题多解）函数y=x+d^I的最小值为.

2'+。，xWO,

（2）（2020・福建漳州质检）已知函数_/（%）=",4有最小值，则实数。的取值范围

x+-,x>0

是,

【解析】⑴法一（换元法）：令/=由一（且120,则工=尸+1,

所以原函数变为jup+l+i,，20.

3

+-

配方得v4

3

-

又因为4

故函数的最小值为1.

法二：因为函数）=/和y=五二T在定义域内均为增函数，故函法1y=x+«r—1在［1,

+8）内为增函数，所以）%析=1.

41~4

（2）（基本不等式法）由题意知，当心>0时，函数,"）=x+;：22、/x：=4,当且仅当X=2

时取等号：当xWO时，、"）=2'+〃£（〃，14-6/］,因此要使有最小值，则必须有a24.

【答案】（1）1(2)14,+8)

求函数最值的五种常月方法

单调性法一：先确定函数的单调性，再由单调性求最值

:先作出函数的图象，再观察其最高点、最低

:点，求出最值

%一一

:先对解析式变形，便之具备“一正二定三

;相等”的条件后用基本不等式求出效值

;先求导，然后求出在给定区间上的极值，最

:后结合端点值，求出最值

、1.

♦对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉

:的函数，再用相应的方法求政值

Q

国I考法全练】

1.函数於）=±在区间［。，加上的最大值是1,最小值是1则〃+/?=

X1J

解析：易知J*）在［a,加上为减国数,

/(〃)=1，ij

67=2,

所以]即所以，所以a+Z?=6.

f(/?)=yJ__1_b=4.

、西=1

答案：6

a,aWb,

2.(一题多解)对于任意实数a,b,定义min{a,b}=-设函数/U)=-x+3,

b,ci>b.

以x)=1og2J，则函数力(x)=min{f(x),q。)}的最大值是,

解析：法一：在同一直角坐标系中，

作出函数次x),g(x)的图象,

依题意，力。)的图象如图所示.

易知点A(2,1)为图象的最高点,

因此〃(工)的最大值为〃⑵=1.

y

:3

^\v=h(x)

o25\

log2.r,0V.MW2,

法二：依题意，h(x)=

—x+3,x>2.

当0V,tW2时，力(x)=logK是增函数，

当x>2时，/心・)=3一%是减函数，

所以力(%)在x=2处取得最大值h(2)=I.

答案：I

考点三函数单调性的应用(综合型)

复习，

_I利用函数单调性求解，要明确函数的所给区间，不同区间有不同的单调性.

指导

角度一比较两个函数值

侧14］已知函数府)的图象关于直线X=1对称，当X2>才1>1时，1/U2)-A.盯)1(X2—X1)<()

恒成立，设a=(-J)，b=J(2)tc=/(e),则a,b,。的大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

【解析】因为,/U)的图象关于直线X=1对称.由此可得，一当X2>X1>1时,

1/(^2)—y(Al)1(-^2—Al)<0恒成立，

知7U)在(1,+8)上单调递减.

因为l<2<|ve,所以人2）习g）/e）,

所以b>a>c.

【答案】D

陶信明

比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若刍变量的值不在同一个单调区间内，

要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的

尽量用图象法求解.

角度二解函数不等式

Ks\已知函数/U）=-Hr|，xW（—1,1）,则不等式yn—M勺2—1）的解集为.

【解析】由已知得人。=（

［―K,0<v<l,

则府）在（一1,1）上单调递减，

-1<1—m<\,

-l</n2-l<l,解得

{/7r—1<1—in,

所以所求解集为（0,1）.

【答案】（0,1）

侬窗窗

在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“广符号脱掉，使其转

化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域.

角度三求参数的值或取值范围

例161⑴（2020•南京调研）已知函数段）=X—在U，+8）上是增函数，则实数a的

取值范围是.

一『+4彳，xW4,

（2）设函数府）=,,若函数产危）在区间3,〃+1）上单调递增，则实数a

log2J>x>4.

的取值范围是.

【解析】（1）设17l|<A2，所以人］人2>1.

因为函数/（X）在（1，+8）上是增函数，

所以以1）一於2）=汨_彳+/_12一片+9=（足―工2）（1+^）<0.

因为X］一也<0，所以1即4>一曾孙

因为1al<X2，X1X2>1»所以一X|X2<—1，所以a2一1.

所以4的取值范围是［―1,+°°）.

（2）作出函数人幻的图象如图所示，由图象可知人幻在（小。+1）上单调递增，需满足

或。+1W2,即aW1或。24.

【答案】（1）［-1,+8）

（2）（—8,1］U［4,+~）

伍窗明

利用单调性求参数的策略

（I）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单

调区间比较求参数：

（2）若函数在区间［小句上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.

考法全综

1.己知函数人X）是定义在区间［0,+8）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足y（2x

一1）勺（9的1的取值范围是（）

2r1

-L-2A

A.3B.33J

D.2A

r3J

.I

cL2-

解析：选D.因为函数人¥）是定义在区间［0,+8）上的增函数，满足五21—1）勺（9.所以

112

0W2A—Ivy,解得5Wxq故选D.

2.函数），=/*）在［0,2］上单调递增，且函数/U）的图象关于直线x=2对称，则下列结

论成立的是（）

B.短勺0）＜信）

C后喷）机）

D.

解析：选B.因为凡X）的图象关于直线x=2对称，所以./U）=/（4—x）,所以（|）=.0,

.又0<!<l<1<2,

公）在［0,2］上单调递增，所以心即）〈痣），即婚勺（I）勺（I）

3.若函数_/U）=2v+a|的单调增区间是［3,+8）,则。的值为.

解析：由图象（图略）易知函数兀0=|2%+。|的单调增区间是［一会+8）,令一5=3,得

a=~6.

答案：一6

》演练▼③停突破

练好题•突破高分瓶颈.

［基础题组练］

1.下列四个函数中，在x£（0,+8）上为增函数的是（）

A.fix)=3~xB.fix)=>r—3x

・

c40=_*D./x)=-|.r|

解析：选C.当人＞0时，加1）=3一1为减函数:

当x£（0,今时，火x）=『—3x为减函数，

当X£G，+8）时，Kx）=.F—3.X为增函数：

当xe（o,+8）时，＜的=一由为增函数；

当x£（0,+8）时，入0=—w为减函数.

2.函数4工）=一工+｝在［-2,一力上的最大值是（）

38

A.2B.一§

C.-2D.2

解析:选A.函数7U）=—的导数为r（X）=—1—£则/（x）＜0,可得人外在［—2,—1

I3

上单调递减，即/（—2）为最大值，且为2—5=5.

3.已知函数人外为R上的减函数，则满足4|3）〈人1）的实数工的取值范围是（）

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-1,0)U(0,1)D.(—8,—1)U(1,+8)

lil>H

卷|）〈川），得[H<1,

解析：选C.由./U）为R上的减函数且即所以一1

Lv=#o.

//0,

VxVO或OVxVl.故选c.

4.（多选）（2021•预测）已知於）是定义在|。，+8）上的函数，根据下列条件，可以断定凡I）

是增函数的是()

A.对任意x20,都有,/U+DN")

B.对任意xi,X2仁io,+8),且xi2必都有yuiBys)

C.对任意M，x2e［0,+8),且汨一也<0,都有於|)一/(右)<0

D.对任意xi,也£［0，+«>),且X|#X2，都有二>0

-X2

解析：选CD.根据题意，依次分析选项：对于选项A,对任意％20,都有/U+l)》(x),

不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B,当久r)为常数函数时，对任意如，x2

e(o,4-~),都有几口)=婚2),不是增函数，不符合题意；对于选项C,对任意即，X2三［0,

+°°)»且即一12<0,都有/Ui)—./U2)v0，符合题意；对于选项D,对任意xi，孙£［。，+8),

设X\>X1,y(笛)_/°2)>0，必有人X。一凡切>0,则函数在［0,+8)上为增函数，符合

-Vl~X2

题意.

5.(创新型)定义新运算㊉：当时，a®b=ax当沙时，a㊉b=b?,则函数贝x)=

(1㊉x)x—(2㊉x),%e［-2.2］的最大值等于()

A.-IB.I

C.6D.12

解析：选C.由题意如当一时，氏丫)=%—2,当l<tW2时，一2,义./(x)

=.r—2,八入)=.户—2在相应的定义域内都为增函数，且/1)=-1,贝2)=6,所以人幻的最大

值为6.

6.函数AD=|x—2|x的单调减区间是.

‘炉—2x,x22,

解析：由于/(x)=|x—2仅={“结合图象可知函数的单调减区间是［1,2］.

—x~~r2x,x<2.

答案：［1，2］

7.函数y=2+N-f+4x的最大值是,单调递增区间是.

解析：函数)，=2+，一『+41=2+>\/—(X—2)2+4,可得当x=2时，函数y取得最

大值2+2=4;由4x-f20,可得0WxW4,令，=一.£+4心则/在［0,2］上为增函数，y

-2+,在［0,+8)上为增函数，可得函数)，=2+4一上+4人的单调递增区间为［0,2］.

答案：4［0,2］

8.已知函数«r)是R上的增函数，4(0,-3),8(3,1)是其图象上的两点,那么不等式

-3矶r+l)<l的解集为.

解析：由函数火工)是R上的增函数，A(0,—3),8(3,1)是其图象上的两点，知不等式

-3勺&+1)<1,即为40)勺U+1)勺⑶，所以0V+1V3,所以一14V2.

答案：(一1,2)

9.已知函数yU）=（-；（G>0,第>0）.

⑴求证:於）在（0,+8）上是增函数;

⑵若风丫）在「匕1，121上「1的1值域是匕，2J,求〃的值.

解：⑴证明：任取X|>X2>0,

则|R）_/（X2）=：_《_5+F

=/因为L0,

所以XI—%2>0，X|X2>0»

所以yUD—/（.口）>0,

即危1）412），

所以人目在（0,+8）上是增函数.

（2）由（1）可知,人幻在；，2]上为增函数,

所以局=!-2=；,

/⑵=2=2，

2

解得4=?

10.已知凡片GW4）.

（1）若。=—2,试证明人幻在（-8,—2）上单调递增；

（2）若。>0且/U）在（1,+8）上单调递减，求a的取值范围.

解：⑴证明：设工|<A2<一2,

则“⑴一火力）=%一

必+2

_____2（X|-X2）

（JI+2）（M+2）.

因为（X]+2）（右+2）>0.X\一12<。，

所以人为）。也），

所以人幻在（-8,—2）上单调递增.

⑵设1<X|<X2，

则於。—以2）=卷一瓷

_____a（42一即）

（A|—«）（X2-a）'

因为a＞0,X2_x）＞0,

所以要使於D-AM）,。，

只需（曾一〃）（X2—4）＞0恒成立，

所以"W1.

综上所述，。的取值范围为（0,1］.

［综合题组练］

3（〃-3）x+2,xWl,

1.已知函数4r）=j,,对任意的都有（川一刈）伏及）一人灯）］＞0

—4«-Inx,x＞l

成立，则实数。的取值范围是（）

A.（—8,3］B.（一8,3）

C.（3,+8）D.［1,3）

解析：选D.由（箝一⑼伏⑼-ZUl）］＞0,得（XLMMM）—/（X2）］＜O，

所以函数/U）在R上单调递减，

a—3＜0.

所以，,、

13（0-3）+22—4”，

解得1W〃V3.故选D.

2.（多选）若函数4r）满足条件：

①对于定义域内任意不相等的实数小〃恒有八"）一心）他

a-b

②对于定义域内任意总，也都有产苧2）/（乃）?（*）成立.

则称其为G函数.下列函数为G函数的是（）

A.＜x）=3x+1

B.J（x）=-2x-l

C._/U）=f—2丫+3

D.y（x）=一『+4x—3,x£（—8,1）

解析：选AD.①对于定义域内任意不相等的实数a,匕恒〃"）（工⑹则函数

Kt）在定义域为增函数；②对于定义域内任意Xi,M都有/'片"jJ成立，

则函数7U）为“凸函数”.

其中A./x）=3x+I在R上为增函数，且d"：，故满足条件①②;

B.凡丫）=一21一1在R上为减函数，不满足条件①；

C.4的二^2—2x+3在（一8,1）上为减函数，在（1,+8）为增函数，不满足条件①；

D.JCr）=一『+4］-3的对称轴为x=2,故函数yu）=—f+4x—3在（一8,I）上为增函

数，且为“凸函数”，故满足条件①②.

综上，为G函数的是AD.

(不一。)2,xW(),

3.设_11,若次0)是凡I)的最小值，则。的取值范围为_________.

x+：+a,Q0.

解析