2026年九年级中考数学二轮专项复习：几何中的旋转问题（综合训练）

2025-2026学年九年级中考数学二轮专题复:习十四：几何中的旋转问题综合训练

一、选择题

1.如图，在VA8C中，Z4CB=9O°,AC=8C=4,点D是边8C的中点，点P是AC边上

一个动点，连接PO,以PD为边在PD的下方作等边dDQ,连接CQ,则CQ的最小值为

（）

A.5/3B.>/3—1C.5/2D.1

2.如图,在VA8C中，AB=8,将VA8C绕点8按逆时针方向旋转30。后得到VA^G,则

C.166D.16

3.如图，点E是正方形ABC。的边CO上一动点（点E不与点C,。重合），连接BE,以B为

旋转中心，将跳:顺时针旋转90。后，点E与点/X寸应，连接小，FC,若AB=3,则△£：（7

面积的最大值为（）

4.在V人中，ZACB=9()°,CA=CB,点、E，F在AB边上,/反尸=45。.若A£=10,EA=15,

则M的长为()

A.9B.5N/5C.10D.10上

5.如图，O是等边VABC内•点，0A=3,08=4,OC=5.将线段BO以点8为旋转中

心按逆时针方向旋转60。得到线段BOZ则的度数为（）

A

A.120°B.130°C.135°D.150°

二、填空题

6.如图，在RtZXABC中，ZACB=9O°,将VA3C绕点4逆时针旋转90。得到V4OE,延长

DE交BC于点F.

⑴则4也＞=°；

⑵若AB=I0,DF=14,求和8厂的长.

7.在正方形A8CO中，点E是边AB上的一个动点，点厂是AE的中点，点G在边AO上且

DG=EF,GF,CE的延长线交于点M.

⑴如图1,当点E与点8重合时，求的度数；

⑵如图2,当点E与点8K重合时，（1）中NM的度数是否发生变化？若有改变；请求出NA/

的度数，若不变，请说明理由；

（3）如图3,在（2）的条件下，作CN_LGM于点M连接BN,AM,取AM的中点P,连接

PN,试猜想PN与3N之间的数量关系，并说明理由.

8.R&8C中，ZACB=90°,将VA8C绕点C顺时针旋转得到△A8'C,点A的对应点为

A'.

图①图②图③

(1)如图①，当NACE=20。时，VA8C绕点C顺时针旋转了一

(2)如图②，当点?在A3上时,若A9〃8C,求NA的度数;

(3)如图③，当点尸为八5的中点时，连接BP,若BC=2,AC=4,在VA8C绕点C顺时针

旋转一周的过程中，直接写出线段8P的最大值和最小值.

9.如图1,在VA3c中，NA=90。,人C=3,八3=4,点D,E分别是边A3、AC的中点，连

接DE.现将VAO£绕点A顺时针方向旋转，旋转角为a(00<a<180。)，如图2,连接CE,

BD.

c

⑴探究会的值；

(2)如图3,当仪=90。时，延长CE交BD于点F,求CF的长;

(3)在旋转过程中，求△8C。面积的最大值.

10.学习了《数学实验手册》七(上)钟面上的数学后，小明制作了一个如图所示的模拟钟

面，点。为模拟钟面的圆心，钟面上有一条水平线MON,指针每秒钟转动24。，指针08

每秒钟转动6。.设转动的时间为/秒(/>0),ZAOB=rf(0v〃<180),请试着解决下列

NM

(1)若指针。人、同时从开始顺时针旋转.

①当，=2秒时，〃=；

②当指针Q4从OM旋转到ON的过程中，/=,时，指针04与QA互相垂直;

⑵若指针。4从。W开始顺时针转动，同时指针08从QN开始逆时针转动.在0A与第二

次重合前，求，为何值时〃=60；

11.已知，RtZXABC中，?B90?,AB=\2,BC=6,点。为射线A8上一点，—

AB

过点。作交射线AC于点£.将VADE绕点A顺时针旋转得到AFG,其中旋转

角NFAB=a(0<a<360°).

q

⑴求产的值.

JABF

2

⑵当上=5，且0<。<180。时，当△Cf'G的面积为8,求△ACE的面积.

(3)若点N为直线A8上一点，且在VAOE旋转过程中，FN+GN的最小值为3.求&的值,

并求当3、F、G三点共线时△Ab的面积.

12.如图，已知4403=150。，射线OC从。4开始，绕点。逆时针旋转，旋转的速度为每

秒10。，射线。。从OB开始，绕点0顺时针旋转，旋转的速度为每秒6。，OC和O。同时开

始旋转，当射线OC第一次与射线08重合时，射线OC和OO同时停止旋转，设旋转的时间

为f秒.

(1)射线OC和08重合时，求/的值.

(2)射线OC与重合时，求f的值.

(3)求f为何值时，OCA.OD,

13.已知:如图1,四边形A4c。中,AD=CD,48(7=120。，ZADC=600.

(I)如图2,连接A。，由于AZ)=CD,所以可将△8CO绕点。顺时针方向旋转60。，得到

DAB则的形状是_______.

⑵若人8=3,BC=\,在(1)的基础上，求四边形496的面积.

(3)如图3,四边形A3CO中，AD=CD,ZABC=75°,ZADC=60°,AB=\,8c=3尤，

则四边形ABCD的面积为.

14.综合与探究

问题情境：将矩形ABC。绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形

AES,点A,B,力的对应点分别为点A,B',设直线A。与直线AD交于点E.

猜想证明：

(1)猜想OE与。石的数量关系，并证明；

(2)如图②，在旋转的过程中，当点8’恰好落在矩形A8CO的对角线8。上时，点N恰好

落在AO的延长线上(即点A与点E重合)，连接AC,求证：四边形AO8C是平行四边形；

问题解决：

(3)在矩形A3c。绕点C顺时针旋转的过程中，设直线CE与直线AE相交F点/，若

AB=5,8c=3,当A,方，。三点在同一条直线上时，请直接写出会的值.

BF

15.综合与实践

如图，正方形人BC。和正方形AEAG有公共顶点A,将正方形A"G绕点A按顺时针方向旋

转，记旋转角ND4G=a,其中0。＜。＜360。，连接。尸，BF.

ffil僧2

(1)如图I,当。=00时，求证：DF=BF；

⑵请你画出除图1外，满足OF=M的其它图形，并写出〃的度数；

(3)旋转过程中，a=时，。产最大，a=时，BF最小;

⑷旋转过程中，判断。歹与8尸的大小关系，并写出对应的。的范围.

参考答案

一、选择题

1.D

2.D

3.A

4.B

5.D

二、填空题

6.【详解】（1）解：:•将绕点4逆时针旋转90。得到VADE,且N4CV=90。,

/.ZCAE=90。,ZAED=Z4CB=90°,

・•・ZC4E+Z4CB=180°

・••AE|8C,

••・ZCFD=ZAED=90°,

JZBFD=180°-ZCFD=90°,

（2）解：•・•将VA8c绕点A逆时针旋转90。得到VAOE，且A8=10,

JAD=AB=10,ABAD=90°,

J在心48。中，BD2=AD-+AB2=2（K）,

•*-BD=\（点，

VZBFD=90°,DF=14,

:.在RiaBDF中，BF=^BDL-DF2=>/200-142=2-

7.【详解】（1）解：•・•点尸是AE的中点，

・•・AF=EF=-AB,

2

又•；DG=EF,

：.AF=DG=EF=AG=^AD,

•・•正方形48C。中，AB=AD,ZA=90°,

AF=AG,

，ZAFG=Z4GF=45°,

,/AD//BC,

:.ZAG”=ZM=450.

（2）解：不变，

理由：如图，连接AC,取AC中点O,连接OG,OB,OF,

在正方形ABC。中，OA=OB,NAO8=90。，ZOBF=ZOAG=45°,

又•・•点尸是4E的中点，

/.AF=FE,

;DG=EF,

：.EF+EB=AF+EB=AG,

即M=AG,

在和BOF中,

AG=BF

<NQ4G=/08〃=45。，

OA=OB

AAOG^809(SAS),

：.OG=OF,/BOF=ZAOG,

：.NGOF=ZAO3=90°,

:.AGO/是等腰直角三角形，

又・・・0，/分别是4C，4E的中点，

，OFCM,

，ZJW=ZOFG=45°.

(3)解：PN=—BN,

2

理由：如图，取MC中点Q,连接NQ,AC,PQ,

由题意得，.CNM是等腰直角三角形，

・••Q为MC中点,

:.NQ工CM,

设N8CM=a,则NBOV=45o+a,ZAGW=45°-«,

VP,Q分别是AM,CM的中点，

・•・PQ//AC,

/.ZMQP=ZMCA=45°-a,

••・Z/V0P=9Oo-(45o-a)=45°+a,

4NQP=/BCN,

f..PQ1BC五

又.就=5'就=亍'

,PQ_五

•.,

BC2

乂・・•・・NQC是等腰直角三角形，

.NQa

••,

NC2

・NQPQV2

••==，

NCBC2

ANQPs^NCB,

,PNNQ夜

•*'-=―_=一

BNNC2

即PN=®BN.

8.【详解】（1）解：由旋转的性质可得，/ACA为旋转角，

贝ljNAC4，=90o+NAC斤=]IO。，

故答案为：110:

（2）解：根据旋转的性质可得，=BC=函,

:•/B=/CB'B,

V//BC,

；・ZA8A'=NB，

由题意可得，/。87?+/。乂4'+/4'*4=180°,即3/2=180°,

解得N8=60。，

・・・/4=90。-60。=30°；

（3）解；连接C/，如图；

BC

由旋转的性质可得，BC=B（=2,AC=AfC=4,

由勾股定理可得，A9=拉?+42=2石，

丁点P为A8'的中点，

：.CP=-A!B'=4s,

•••点尸在以C为圆心，以石为半径的圆上运动，

从而得到BP的最大值为BC+CP=K+2,BP的最小值为CP-BCf-2.

9.【详解】（I）解：=。，E是边AB,AC的中点，

।q

AAE=-AC=-t4。=*8=2,

222

,AEAC3

••---=---=-9

ADAB4

将VAOE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为。（0。＜。＜180°）,

工ZCAE=ZBAD=a,

ACE^.ABD,

.CEAC3

・•—=—=—；

BI）AB4

（2）解:当。=90。时，延长CE交8。于点尸,

:.NC4E=90。，

由（1）得：^ACE^tABD,

/.ZACE=ZABD,

•IZAEC=/FEB,

,NCAE=NBFE

...NEFB=NCAE=9QP,

ACF±BD,

士依Km'4-r，曰cCD-ABBDCF

由善面积法可得：S:\8CD=~~，

,BD=VAEr+AB2—J16+4=2>/5»CD=3+2=5♦AB—4»

(3)解：过A作AG_L8C于点G,

△OS中，边"C的长足定值，则"C边上的高取最大值时△〃CZ)的面积有最大值,

・•・当点。在△C48的高AG所在的直线时，△88的面积取得最大值，如图：

D

：A6=4,AC=3,NC48=90°,

•**BC=ylAB2+AC2=5»

S=-ABxAC=-BCxAG,

“Aon1c22

.」x4x3」x5xAG,

22

19

••・AG=—

5

/.DG=AG+AD=2-1—=—,

55

・•・△88面积的最大值为：

i«CDG=-x5x—=11.

225

10.【详解】（1）解：①当7=2时，ZAQM=2x24o=48。，NAQM=2x6。=12。,

/.ZAOB=ZAOM-/BOM=36°,

即：〃=36,

②如图I,由题意可知，乙4OM=24。/,NBOM=6°t,

A

B,

M\------&-------\N

图1

-OALOB,

...403=90°,

ZAOB=ZAOM-ZBOM=90°,即24f—6f=90,

解得：t=5.

故答案为：36；5.

(2)由题意可知，NAOM=24。/,NB0N=6。1,

第一种情况：

第一次重合前，如图2,可得，ZA+60°+Z8ON=180°,

图2

即24/+60+6/=180,解得f=4；

第二种情况：

第一次重合后，且Q4与。B的右恻时，如图3,可得，ZAOM-600+ZBO7V=180°,

图3

即24—60+6,=180,解得，=8；

第三种情况：

第一次重合后，第二次重合前，且。4与08的左侧时，如图4,可得,

ZAOM+600+/BON=180°,

B

M

图4

即241—360+60+6/=180,解得/=16：

综上，在OA与08第二次重合前，〃=60时，f的值为4或8或16.

II.【详解】(1)解：在RlZ\A8C中，AC=dAB?+BC：=6后，

*/EDIAB,

/.NAOE=90°,

?B90?,

：・ZB=ZADE,

又］ZEAD=ZCAB,

・•・/\ADE^/\ABC,

AEAD

~AC~~AB"

YADE级点A旋转至,,AFG,

AG=AE,AF=AJ）,?GAF?EAD,

A/■"*Ar*

—=—,?GAC2GAF?C4F?CAB?C4F?FAB,

ACAB

ACG^ABF,

(6石丫

JACGAC5

SABF~AB124

(2)解：过。作。“G/延长线于/；过C作C”||GF,交"'延长线于”,

由（1）可知“1目3.474,

.DEAD,2

,•------=--------=K=—

BCAB3t

22

ADE=-BC=4人。=一八8=8,

33f

•：7ADE旋转至AFG,

；・FG=DE=4,AF=AD=S,

SCFG=gxFGxCI=8,

.・・。=二4,

4

,/?HFl2AFG90?,CHIFH,C/l/7,

，四边形CH7为矩形，

JHF=C7=4,

在Rt»〃C中，AH=AF+FH=12,

』・CH=^AC--AH-=6»

，SACF=—XAFXCH=24；

2

(3)解：•・・当尸、G两点分别在直线AB两侧，且方\N、G共线时，RV+GN的值最小,

此时尸G=3,

JDE=FG=3,

AABCs八ADE,

ADAEDE\

..k=-----===—,

ABACBC2

AAD=-AB=6tAE=-AC=3y/5,

22

①当4、F、G共线，尸居中时，

过C作CM垂直8G于M,

G

BDA

22

在RtABE4中,BF=JAB-AF=6x/3，

••・ZABF+4cBM=90°,ZABF+NBA*=90°,

・••/BAF=NCBM,

又,：？AFB?BMC90?,

，BFWMB,

.BM_BC_\

''AFAB2'

・•・BM=-xAF=3,

2

MF=BF-BM=66-3,

，S=gxA〃x正M=18百一9,

②当B、F、G共线，G居中时，

%

7

同①，SACF=gxA/?xM/=18>/5+9,

综上所述，k=）,当8、尸、G三点共线时尸的面积为18百-9或18百+9.

乙

12.【详解】（I）解：r=150°-10°=15（秒）；

75

（2）解：150°-（10°+6°）=—（秒）；

8

（3）解：由题意可知，Z4OC=l0°r,ZBOD=6°t,04/415,

YOCLOD,

：.ZCOD=90°,

①如图，射线OC与O。重合前，

・・•ZAOC+ZCOD+ZBOD=ZAOB,

.•.10。，十90。+64=150。，

解得：/=与；

4

②如图，射线OC与。。重合后，

ZAOC+ZBOD-ZCOD=ZAOB,

.­.10or+6°r-90o=150°,

解得：f=15,此时射线OC和OB重合，

综上可知，当OC_LO。时，/的值为丝或15.

4

13.【详解】（1）解：•・・将△88绕点。顺时针方向旋转60。得到DAB,

:-BCDMLBAD，

:・DB=DB',/BDC=/BDA,

•；NA0C=60。，

工ZBDZT=ZADB+ZB'DA=ZADB4-ABDC=/ADC=60°,

:.BOB'是等边三角形，

即BOB'的形状是等边三侑形，故答案为：等边三角形；

(2)如图，过点。作力G_L89于点G,

'：AB=3tBC=\,

AZ^AD=ZBCD,B'A=BC=1,S^B.AD=S^BCD,

•••四边形48co中，ZABC=120°,NA0C=6O°,

•••/BAD+/BCD=360°-(ZABC+ZADC)=360°-(120°+60°)=180°,

，/BAD+/BAD=ZBAD+/BCD=180。,

，点5、A、B'共线，

・•・86'=A8+A8'=3+1=4,

•・•BOB'是等边三角形，

/.DB=DH=BB=4,

'：DG工BB',

：.B,G=-BB,=-x4=2,

22

**-DG=ylB'D2-B'G1=V42-22=2x/3，

:.S/、B，DB=；BBLDG=4x2后=4后,

Spq边形ABCO=SBCD+SABD

=S△B&D+S八ABD

=S&BDB

=4\/3»

，四边形人BCO的面积为4G；

(3)连接4。，由于a力=6,所以可将△BC。绕点。顺时针方向旋转60。，得到一D48,

连接BB'，过点8'作#EJ.8E1交84的延长线于点E,过点、D作DF上BB'交BB'于点F，

•・•将△88绕点。顺时针方向旋转60。得到，DAB，

，B'AD^BCD,AB=1,BC=3丘，

••SAB，AD=S^BCD»ZJSAD=/BCDrB'A=BC=3>/2，

SB出形ABCD=S^&'D+S&BCD=S&B,\D+S^F&D=Sg世那皿犯.人,

VZABC=75°,ZADC=a）°,

・•・/£^+/38=360。-（//^。+/4叱）=360°-（75。+60。）=225。,

・••ABAD+ZB'AD=ABAD+/BCD=225°，

NBAB=360°-（ABAD+NB'AD）=360°-225°=135°,

/.N&AE=180°-N8A8=180°-135。=45°,

VFE工BE,

・•・△A£&是等腰直角三角形，

，AE=ffEt

•*-3>/2=B'A=yjAE2+B'Er=yjlAE1=近AE，

，B'E=AE=3,

，BE=AI3+AE=\+3=4,

BB'==V32+42=5»

由(1)知I：.3。8是等边三角形，

・•・DB=DB'=BB'=5,

*/DFLBB,,

113

S,=-ABEB'=-X\X3=-,

HDBAADB222

•«s_25x/33_25石-6

••3目边形a/TA——J△g8一~2一

・025x/3-6

,•3臼边形AHC。一Z'

故答案为：25&-6

4

14.【详解】解：(1)如图，连接CE,

•/四边形A4c。与四边形ATTCQ'都是矩形,

，ZADC=NCDE=90°,

・••ZCDE=180°-ZADC=90°,

即NCDE=NCDE,

根据旋转的性质可得：CD=CD\

*：CD=CD',CE=CE,

：.Rt_CD£^Rt_CD'E(HL),

••・DE=D>E•

(2)如图:连接AC,

根据旋转的性质可得：AC=AC,

二•四边形是矩形，

AAD//BC,AD=BC,ZADC=90°,

即CO_L/M',

又「AC=A'C,

••・AD=AfD,

/.AfD=BC,

VAD//BC,AfD=BC,

・•・四边形AO3C是平行四边形.

(3)如图,当点A,£在CD的同一侧时,

根据旋转的性质可得：BC=B'C=3,AB=4'8'=5,Z/T〃'C=ZABC=90。，

NDB'C=9。。,

在RlbC。9中，*1犷一研7=6-32=4,

，4。=49+8'。=5+4=9,

*/ZEDA+ZCDB'=90°,ZDCB'+NCDB'=90°,

，/EDA!=NDCB,

*/ZEArD=ZDB'C=90°,ZEDA=ZDCB',

/.EA!D^DEC,

.AfEA!D

・•丽一行’

A'E9

即Hn

解得：A£=12,

•・•四边形A'8'8'是矩形，

EC〃0E,

:.AEFjBCF,

.A!FA'E

B'FB'C

即”」:4；

B'F3

如图:当点4,为在CD的异侧时,

根据旋转的性质可得：BC=B，C=3,/IB=A'B'=5，乙V"。ZA«C=90°