第十一章　第65课时　专题强化：带电粒子在立体空间中的运动-2026版一轮复习

第65课时专题强化：带电粒子在立体空间中的运动目标要求1.会处理带电粒子在匀强磁场中的螺旋线运动和在叠加场中的旋进运动。2.掌握解决带电粒子在立体空间中的运动问题的解题思路和处理方法。考点一带电粒子的旋进运动空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况：(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。例1(1)如图甲所示，在空间中存在水平向右、沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在原点O有一个质量为m、带电荷量为q的带正电的粒子以速度v0垂直x轴射入磁场，不计粒子的重力，分析粒子的运动情况，求粒子运动轨迹距离x轴的最远距离。(2)如图乙所示，若粒子的速度方向与x轴夹角为θ。①试分析粒子的运动情况；②求粒子运动的轨迹距x轴的最远距离及轨迹与x轴相邻交点之间的距离。(3)如图丙所示，若在空间再加上沿x轴方向电场强度大小为E的匀强电场，粒子速度方向仍与x轴方向成θ角。①试分析粒子的运动情况；②求粒子离x轴的最大距离；③求粒子第三次(起始位置为第零次)与x轴相交时的位置坐标。答案见解析解析(1)粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，距x轴最远距离等于粒子轨迹圆的直径，由qv0B＝mv02R1，D1＝2R1，得D(2)①粒子速度沿x轴方向的分量v0x＝v0cosθ，在垂直于x轴方向的分量v0y＝v0sinθ，在垂直于x轴的平面内受洛伦兹力，粒子在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行于x轴方向做匀速直线运动，即做等距螺旋线运动。②由qv0yB＝mv0y2R2，得D2＝2粒子做匀速圆周运动的周期T＝2π轨迹与x轴相邻交点之间的距离Δx＝v0cosθ·T＝2πm(3)①将粒子的初速度分解为沿x轴方向的分速度v0x和垂直x轴方向的分速度v0y，v0x＝v0cosθ，v0y＝v0sinθ洛伦兹力方向与x轴垂直，粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行x轴方向由静电力作用下做匀加速直线运动，粒子做螺距逐渐增大的“旋进”运动。②由qv0yB＝mv0R3＝R2＝mv粒子离x轴的最大距离D3＝2R3＝2m③在x轴方向，qE＝ma，第三次与x轴相交时的位置坐标x＝v0xt＋12at2从射出至第三次到x轴时间t＝3T＝6πR故x＝6πmqB(v0cosθ＋3π拓展若电、磁场方向均沿x轴正方向，粒子射入磁场的方向与x轴垂直，如图所示，粒子与x轴的交点坐标x1、x2、x3…满足什么关系？答案见解析解析粒子做“旋进”运动，且到达x轴的时间间隔相等，在x轴方向做初速度为0的匀加速直线运动，故x1∶x2∶x3…＝1∶4∶9…。考点二带电粒子在立体空间中的偏转分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。我用夸克网盘分享了「与您分享-国家、地方、行业、团体标准」，点击链接即可保存。打开「夸克APP」，无需下载在线播放视频，畅享原画5倍速，支持电视投屏。链接：/s/45a9f612fe59提取码：t9EX联系qq:1328313560我的道客巴巴：/634cd7bd0a3f5a7311db139533c20794

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例2现代科学研究中，经常用磁场和电场约束带电粒子的运动轨迹，如图所示，有一棱长为L的正方体电磁区域abcd－efgh，其中M、N分别为棱ab、棱gh的中点，以棱ef中点O为坐标原点、以ON为x轴正方向、OM为y轴正方向、Oe为z轴正方向建立三维坐标系O－xyz，正方体区域内可能单独或同时存在沿z轴负方向的匀强电场E及匀强磁场B，在O点有一粒子源，沿x轴正方向发射不同速率的带电粒子，粒子质量均为m，电荷量均为＋q，且粒子入射速度在0.9v0≤v≤3.3v0范围内均匀分布，已知磁感应强度大小为B＝3mv02qL，电场强度大小为E＝81mv02(1)若正方体区域内只存在磁场，求入射速度大小为v0的粒子在该区域中运动的时间；(2)若正方体区域内同时存在电场和磁场，求入射速度大小为v0的粒子从该区域射出的位置的坐标；(3)若正方体区域内同时存在电场和磁场，求从正方体上表面abcd射出的粒子数占粒子总数的百分比。答案(1)4πL9v0(2)(3L3，L，－8解析(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qv0B＝mv解得r1＝2粒子轨迹如图甲所示根据几何关系可知cosθ＝L则θ＝60°设带电粒子做圆周运动的周期为T，则有T＝2π解得T＝4π粒子轨迹对应的圆心角为120°，所以运动时间t＝13T＝(2)若正方体区域内同时存在电场和磁场，粒子在做圆周运动的同时，沿z轴负方向在静电力作用下加速运动，加速度a＝qE沿着电场方向的位移z＝12at2＝8L故粒子从上表面abcd射出，由图甲可知x＝r1sinθ＝3则入射速度大小为v0的粒子从正方体电磁区域射出的位置的坐标为(3L3，L，－8(3)由上述分析可知，粒子从正方体上表面abcd射出时，粒子速率越大，粒子做匀速圆周运动的半径越大，图甲中的p点越靠近d，轨迹圆心角越小，粒子在电磁区域中的运动时间越短，粒子沿z轴负方向的位移越小。当粒子速率最大为vmax时从cd边射出，对应的圆周运动轨迹为14圆周，其半径等于LqvmaxB＝mv解得vmax＝1.5v0假设粒子沿z轴负方向的分运动匀加速运动到f点时(其位移大小等于L2)，粒子能够从bc边射出，设粒子在电场中运动时间为t2则有L2＝解得t2＝5π设此情况粒子匀速圆周运动轨迹的圆心角为β，则有t2＝β360°联立解得β＝150°此情况粒子的运动轨迹在正方体前表面adhe内的投影如图乙所示可知假设成立，此时粒子的速率是从正方体上表面abcd射出的粒子速率的最小值vmin，设此时圆周运动半径为r2，由几何关系可得r2＋r2cos30°＝L解得r2＝2L2＋3＝2(2同理有qvminB＝mv解得vmin＝3(2－3)v0从正方体上表面abcd射出的粒子速率范围应为3(2－3)v0≤v≤32v粒子入射速度在0.9v0≤v≤3.3v0范围内均匀分布，则从正方体上表面abcd射出的粒子速率范围为0.9v0≤v≤32v所以从正方体上表面abcd射出的粒子数占粒子总数的百分比η＝1.5v0-0.9课时精练(分值：60分)1、2题每小题7分，3、4题每小题15分，5题16分，共60分1.(2024·山东枣庄市检测)用图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：在空间存在平行于x轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成α角的方向，射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为Δx，则下列说法中正确的是()A.匀强磁场的方向为沿x轴负方向B.若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距Δx不变C.若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D增大，而螺距Δx将减小D.若仅增大α角(α<90°)，则直径D增大，而螺距Δx将减小，且当α＝90°时“轨迹”为闭合的整圆答案D解析将电子的初速度沿x轴及y轴方向分解，沿x轴方向，速度与磁场方向平行，做匀速直线运动且x＝v0cosα·t，沿y轴方向，速度与磁场方向垂直，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由左手定则可知，磁场方向沿x轴正方向，故A错误；根据evyB＝mvy2R，T＝2πRvy，且vy＝v0sinα，解得D＝2R＝2mv0sinαeB，T＝2πmeB，所以Δx＝vxT＝2πmv0cosαeB，所以，若仅增大磁感应强度B，则D、Δx均减小，故B错误；若仅增大v0，则D、Δx皆按比例增大，故2.如图所示，空间存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。t＝0时刻，质子以初速度v0从坐标原点O沿y轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为e，重力不计，则()A.t＝πmeB时刻，质子的速度沿B.t＝πmeB时刻，质子的坐标为(mEπ22C.质子可多次经过x轴，且依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9…D.质子运动轨迹在yOz平面内的投影是以O点为圆心的圆答案C解析沿x轴方向，在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据左手定则，洛伦兹力初始时刻沿z轴负方向，可判断质子在yOz平面做匀速圆周运动，所以质子运动轨迹在yOz平面内的投影是经过O点的圆，且做圆周运动的周期T＝2πmeB，当t＝πmeB＝12T时刻，在yOz平面质子分速度方向沿y轴负方向，沿x轴方向分速度沿x轴正方向，所以质子的合速度方向不沿z轴的负方向，故A、D错误；当t＝πmeB＝12T时刻，沿x轴方向Ee＝ma，x＝12at2＝12·Eem·(πmeB)2＝π2mE2eB2，在yOz平面内，正好经过半个周期，则y＝0，z＝－2r＝－2mv0eB3.(15分)(2024·山东威海市检测)某质谱仪部分结构的原理图如图甲所示。在空间直角坐标系Oxyz的y>0区域有沿－z方向的匀强电场，电场强度大小为E，在y<0区域有沿－z方向的匀强磁场，在x＝－2d处有一足够大的屏，俯视图如图乙。质量为m、电荷量为q的粒子从y轴上P(0，－d，0)点以初速度v0沿＋y方向射出，粒子第一次经过x轴时速度方向与－x方向的夹角θ＝60°。不计粒子的重力，粒子打到屏上立即被吸收。求：(1)(3分)粒子的电性；(2)(5分)磁感应强度大小B；(3)(7分)粒子打到屏上位置的z轴坐标z1。答案(1)正电(2)mv02dq(解析(1)粒子在磁场中的运动轨迹如图由左手定则知粒子带正电；(2)设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系有rcosθ＝d，根据洛伦兹力提供向心力qv0B＝mv02r，解得(3)设粒子经过x轴时的坐标为－x1，则x1＋rsinθ＝2d粒子在y>0区域电场中做类平抛运动，在xOy平面内沿v0方向做匀速直线运动，设粒子碰到屏前做类平抛运动的时间为t1，则v0cosθ·t1＝2d－x1，粒子运动的加速度a＝Eq在z轴负方向运动的距离z1'＝12a解得t1＝23dv0，z所以打到屏上位置的z轴坐标z1＝－6Eq4.(15分)(2024·湖南卷·14)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。(1)(7分)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；(2)(4分)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值；(3)(4分)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。答案(1)2πmv0eL(2)2πr解析(1)电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L＝v0t在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知Bevy＝mv可得R＝mT＝2π若所有电子均能经过O进入电场，则有t＝nT(n＝1，2，3，…)联立得B＝2π当n＝1时，B有最小值，可得Bmin＝2π(2)将电子的速度分解，有tanθ＝vθ最大时，tanθ有最大值，即vy最大，此时Rmax＝mvym联立可得vym＝2πv0rL，tan(3)当vy最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym，根据匀变速直线运动规律有ym＝v由牛顿第二定律知a＝Ee联立得ym＝25.(16分)如图，有一个正方体空间Ⅰ(O1a1b1c1－O3a3b3c3)和一个长方体空间Ⅱ(O1a1b1c1－O2a2b2c2)相拼接。以O1为坐标原点，建立如图的空间直角