2025年安徽合肥高三数学二模试卷（含答案）

数学(考试时间:120分钟满分:150分)注意事项:1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z∣A.{−1,0,1,2.在复平面内,复数z对应的点的坐标是−1,2,则复数5A.-1B.1C.-2D.23.若空间中三条不同的直线a,b,c满足a⊥c,b⊥cA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量e1=1,0，e2=1,3，设a=4e1+A.π6B.π4C.π5.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，过顶点A作C的一条渐近线的垂线，交A.3B.2C.3D.26.已知tanθtan2θtanθA.925B.35C.177.已知AB为圆锥PO的底面直径，O为底面圆心，正三角形ACD内接于⊙O，若PA=6，圆锥的侧面积为122π，则PA与A.26B.34C.58.已知点A−23,0,C,D是⊙O:x2+y2=16与x轴的交点.点A.43二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分(满分100分)绘制如图所示的频率分布直方图,根据频率分布直方图,并用频率估计概率.记高一年级学生得分平均数的估计值为x,高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为y,z.从高一和高二年级各随机抽取一名学生,记事件M=“高一年级学生得分不低于60分,高二年级学生得分不低于80分”,事件N=“高一年级学生得分不低于80分,高二年级学生得分不低于60高一年级学生得分高二年级学生得分A.x<zB.y>zC.事件M10.将函数fx=sin2x−π6的图象向左平移π6A.fx与gx的图象关于直线xB.fx与gx的图象关于点4πC.当x∈7π3,D.当x∈2π,4π时,fx与11.已知函数fx的定义域为R,且fxfA.f2=C.fx的图象关于点0,1对称D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知△ABC为锐角三角形，且AB=5,AC=6，△ABC13.已知函数fx=x−a−a14.如图，在4×4四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知an是等差数列，bn是等比数列，且(1)求an和bn(2)求数列anbn的前16.(15分)如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为2,∠A1AC(1)证明:平面ACC1A1⊥(2)求CB1与平面AB17.(15分)已知函数fx=x−1ex−ax−b(1)求a,b(2)讨论fx的零点个数，并证明所有零点之和为18.(17分)已知抛物线Γ:x2=43y,⊙E:x(1)求PE的最小值；(2)设点P的横坐标为2，过P作⊙E的两条切线，分别交Γ于B，C(i)求直线BC斜率的取值范围；(ii)证明直线BC过定点.19.(17分)当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中,发挥着重要作用.例如,当新闻中分别出现“7点钟,一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注.假设通常情况下，它们发生的概率分别是p=0.0001和p=0.9999,用ln1p这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0.现在,假设离散型随机变量X的分布列为PX=xi=pi,(1)若X的分布列为PX=x1=p，PX=x2(2)证明:eHX(3)若X∼Bn,p，且n为定值，设H2025年合肥市高三第二次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C2.A3.B4.C5.D6.C7.A8.B二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.AB10.ACD11.ACD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.7四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)(1)设数列an的公差为d,bn的公比为q,则2a1+4d=2b1qa1a1+2d=(2)由(1)知，cn=令Sn=1两式相减得2所以Sn=16.(15分)(1)设AC的中点为O，连接OB,因为M是AA1的中点，所以OM因为三棱柱ABC−A1所以四边形ACC1A1所以AC又AC所以AC1⊥平面BOM,所以又BO⊥AC,且AC∩AC1=A所以BO⊥平面AC因为BO⊂平面ABC,所以平面ACC1A1⊥(2)连接A1O，由题意知A1O⊥AC，所以OB，OC，OA1两两垂直，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴,y轴,所以AB=设平面ABB1A1则n⋅AB=0取x=1,则所以,n=1,−3,1又CB设CB1与平面ABB1A1所成角为即CB1与平面BDE所成角的正弦值为1017.(15分)(1)因为f′x由题意得f′0=−1f0(2)由(1)知，fx=x−1e令gx=f′x所以当x∈−∞,−1时,g′x<0,即当x∈−1,+∞时,g′x>0,即又g1>0,g0<0所以存在唯一x0,使得g当x∈−∞,x0时,gx<0,即f′x<当x∈x0,+∞时,gx>0,即f′x>所以fx因为gx0=0，即x0ex0=所以fx又f−根据函数零点存在定理,fx在区间−2,x0所以fx仅有两个零点.11设x1是函数fx的零点,则又f−所以−x1也是函数f所以fx的所有零点之和为0.1518.(17分)(1)设点Px0,y0又E0,1,所以所以当y0=13时,PE的最小值为(2)记直线PB,PC,BC设过P2,3的圆E的切线方程为:y−即4因为k1,k2是所以k1又y−3=kx即2xB=8k1(i)因为BC的斜率为k3,所以k又因为0<r≤22即直线BC斜率的取值范围为−1,−(ii)因为yB=43k12−4即y−也即y=k1+令x=−2,则所以直线BC过