《增长速度的比较》课件

第四章

指数函数、对数函数与幂函数4.5

增长速度的比较丨必备知识解读知识点1

平均变化率图4.5-2

B

.

.知识点2

增长速度的比较

DA.一次函数模型

B.二次函数模型

C.指数函数模型

D.对数函数模型【解析】一次函数模型增长均匀，不符合题意；二次函数模型在对称轴的两侧有增也有降，不符合题意；指数函数模型是“爆炸式”增长，不符合题意.只有对数函数模型最符合题意，先快速增长，后来增长越来越慢.

1234524816321491625911131517011.58522.322678910641282565121

0243649648110019212325272.5852.80733.1703.322试问:

（2）各函数增长速度的快慢有什么不同?

例2-4

下列四种说法中，正确的是(

)

D

方法帮丨关键能力构建题型1

平均变化率

题型2

函数增长速度的比较

BCD

图4.5-4

【学会了吗丨变式题】图4.5-5

DA.投资3天以内（含3天），采用方案一B.投资4天，不采用方案三C.投资6天，采用方案一D.投资12天，采用方案二

练习帮丨学业质量测评1.下列函数增长速度最快的是(

)

A

2.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：1.99345.16.121.54.047.51218.01对于表中数据，以下函数关系最符合的是(

)

D

可以采用特殊值代入法，比较四个函数值与实验数据的接近程度，易知选D.

A

图4.5-1

BD

4

-2

图D

4.5-1

问题1在同一个坐标轴画出幂函数、对数函数、指数函数的图象,对比图象,思考三类函数的增长速度快慢问题.遇到实际问题,如何选用适合的函数来拟合,以减少误差?探究点一几种函数模型增长的差异问题2一次函数、指数函数、对数函数的增长速度如何?代数方式如何发现其增长特征?【例1】

(1)下列函数中,当x→+∞时,增长速度最快的是(

)A.y=2021x B.y=x2021C.y=log2021x D.y=2021xA解析

比较指数函数、幂函数、对数函数和一次函数的图象,指数函数增长最快.(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109Y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是

.

y2解析以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.规律方法

常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定.探究点二指数函数、对数函数与幂函数模型比较问题3能否根据指数函数、对数函数与幂函数的增长速度的差异,通过图象判断函数类型呢?【例2】

已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图,设两个函数的图象相交于点A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并说明理由.解(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知:C1对应函数g(x)=x3,C2对应函数f(x)=2x.(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.当x<x1时,2x>x3,即f(x)>g(x);当x1<x<x2时,f(x)<g(x);当x>x2时,f(x)>g(x).因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以x1∈[1,2],即a=1.又因为f(8)=28=256,g(8)=83=512,f(8)<g(8),f(9)=29=512,g(9)=93=729,f(9)<g(9),f(10)=210=1

024,g(10)=103=1

000,f(10)>g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.综上可知,a=1,b=9.规律方法

比较函数增长快慢的方法:(1)利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较函数增长的快慢;(2)借助函数图象,通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢;(3)通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢.探究点三不同函数模型的实际应用问题4现实情境增长的快慢,如何匹配合适的函数图象加以研究?1.增长曲线的选择【例3】

高为H、满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示.现其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时鱼缸内水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象是(

)B解析

本题考查指对幂增长差异的实际应用.当h=H时,体积是V0,故排除A,C项.h由0到H变化的过程中,V的变化刚开始时增长速度越来越快,类似于指数型函数的图象,后来增长速度越来越慢,类似于对数型函数的图象,综合分析可知选B项.规律方法

函数增长快慢对函数曲线的影响随着自变量的增大,如果函数值增长得越来越快,则函数的图象越“陡”,类似于指数函数的图象;如果函数值增长得越来越慢,则函数的图象越“缓”,类似于对数函数的图象.2.函数模型的选择与应用【例4】

某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N*)或指数型函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系数,x∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好?解根据题意可列方程组所以y=f(x)=-5x2+35x+70.①同理y=g(x)=-80×0.5x+140.②再将x=4分别代入①式与②式得f(4)=-5×42+35×4+70=130(t),g(4)=-80×0.54+140=135(t)