初中数学专题《相似求长度》含答案

初中专题09相似求长度【小题热身】1．如图，有一高度为8m的灯塔AB，在灯光下，身高为1.6m的小亮从距离灯塔底端4.8m的点C处，沿BC方向前进3.2m到达点D处，那么他的影长（）A．变长了0.8m B．变长了1.2m C．变短了0.8m D．变短了1.2m2．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1m，继续往前走3m到达E处时，测得影子的长为2m，已知王华的身高是1.5m，那么路灯A的高度等于（）A．4.5m B．6m C．7.5m D．8m3．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（）A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m4．如图，一束光线从y轴的点A（0，2）出发，经过x轴上的点C反射后经过点B（6，6），则光线从点A到点B所经过的路程是（）A．10 B．8 C．6 D．45．如图是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后，此时液面AB＝___．6．晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为_米．7．如图，从点A（0，2）发出一束光，经x轴反射，过点B（3，），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为____________．8．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．（1）ED的长为____________．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．【磨刀霍霍】9．如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是多大？10．如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影长为，同一时刻，小明又测得竖立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度．11．如图，在台球赛中，一球在A点处，要从A射出，经球台边挡板CD反射，击中球B，已知厘米，厘米，厘米，问：反射点E在距点C多远时才能击中球B？12．傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，小华激动地说：妈妈，我可以通过测量您的影长，测得妈妈的影长DF＝1.6m．妈妈沿BD的方向到达点F处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高为1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG，求这棵大树的高度．13．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡P在线段DE上．（1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.5m，且他到路灯的距离AD＝2m，求灯泡P距地面的高度．14．八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明身高为米．（1）求风筝的高度；（2）若小亮让风筝沿方向下降了米到点（即米），则他往回收线多少米？15．青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离米.已知米，米，米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在上，，，，．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树的高度．16．如图是一个小商场的纵截面图（矩形），是商场的顶部，是商场的地面，地面由边长为的正方形瓷砖铺成，从到共有块瓷砖，和是商场的两面墙壁，是顶部正中央的一个长方形的灯饰（）．小张同学想通过学过的几何知识来测量该商场的高度（）和灯饰的长度（），于是去商场时带了一块镜子和一根激光笔，他先把激光笔挂在墙壁距地面两块砖高度（的长）的处，镜子水平放在地面距离两块砖的处，发现激光笔的反射光照到了处；再把激光笔挂在墙壁距地面两块砖高度（的长）的处，镜子水平放在地面距离三块砖的处，发现激光笔的反射光恰好又照到了处，请你帮忙计算的高度和的长度．17．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．18．实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球队、田径队日夜奋战、不断训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱AB的高度，设计了以下三个方案；方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m(即FC=4m)放在F处．从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度ED、GH为1.5m、已知点B，C、D，F、H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．(平面镜的大小忽略不计)方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆CD高1.5m，测得DE=2m，CE=2.5m．方案三：利用三角板的斜边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两条边CE=0.4m，EF=0.2m，测得边CE离地面距离DC=1.5m．三种方案中，方案_________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．初中专题09相似求长度【小题热身】1．如图，有一高度为8m的灯塔AB，在灯光下，身高为1.6m的小亮从距离灯塔底端4.8m的点C处，沿BC方向前进3.2m到达点D处，那么他的影长（）A．变长了0.8m B．变长了1.2m C．变短了0.8m D．变短了1.2m【答案】A【分析】根据由CH∥AB∥DG可得△HCE∽△ABE、△GDF∽△ABF，所以，将数值代入求解可得CE、DF的值，可得答案．【详解】解：如图由CH∥AB∥DG可得△HCE∽△ABE、△GDF∽△ABF，∴，即解得：CE=1.2,DF=2∴DF-CE=2-1.2=0.8故选A【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．2．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1m，继续往前走3m到达E处时，测得影子的长为2m，已知王华的身高是1.5m，那么路灯A的高度等于（）A．4.5m B．6m C．7.5m D．8m【答案】B【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．【详解】解：如图，，，∴，∴（两个角对应相等的两个三角形相似），∴，设，则，同理，得，∴，∴∴，∴，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．3．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（）A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m【答案】A【分析】先根据△BFC∽BED，得，求出BC的长，从而得到AB的长，再根据△BGA∽△BFC，得，求出AG的长．【详解】解：由题意可得：FC∥DE，∴△BFC∽BED，∴，即，解得：BC＝3m，则AB＝5.4-3＝2.4m，∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴，即，解得AG＝1.2m．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例的性质列式求解．4．如图，一束光线从y轴的点A（0，2）出发，经过x轴上的点C反射后经过点B（6，6），则光线从点A到点B所经过的路程是（）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】A【分析】过B点作x轴的垂线与X轴相交于点D，由已知条件可以得到△OAC∽△DBC，从而得到OA与BD、OC与CD、AC与BC的关系，然后求的A点到B点所经过的路程为AC+BC【详解】过B点作x轴的垂线与x轴相交于点D，则BD⊥CD，∵A点经过点C反射后经过B点，∴∠OCA=∠DCB，又∵BD⊥CD，AO⊥OC，∴△OAC∽△DBC，∴=，∵OA=2，BD=6，=∵OD=OC+CD=6∴OC=6×=1.5．根据勾股定理得：AC==2.5，BC=2.5×3=7.5，AC+BC=2.5+7.5=10.故选A．5．如图是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后，此时液面AB＝___．【答案】3cm【分析】利用相似三角形对应边的比高的比即可求得结果．【详解】如图，过点E作EF⊥CE于F，过点M作MN⊥AB于N

则EF=15-7=8(cm)，MN=11-7=4(cm)∵△MAB∽△ECD∴∴即液面AB的宽度为3cm．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，实际问题转化为数学问题并利用相似三角形的判定与性质解决是关键．6．晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为_米．【答案】6.6【详解】设路灯的高为，∵GH⊥BD，AB⊥BD，∴GH∥AB．∴△EGH∽△EAB．∴①．同理△FGH∽△FCD.②．∴．∴．解得EB=11，代入①得，解得x=6.6（米）．7．如图，从点A（0，2）发出一束光，经x轴反射，过点B（3，），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为____________．【答案】【分析】过点B作BD⊥x轴于D，由题意得出OA=2，BD=4，OD=3，∠ACO=∠BCD，证明△AOC∽△BDC，得出，求出OC=DC=OD=1，得出CD=OD-OC=2，由勾股定理得出AC=，BC=，即可得出答案．【详解】解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，∵A（0，2），B（3，4），∴OA=2，BD=4，OD=3，根据题意得：∠ACO=∠BCD，∵∠AOC=∠BDC=90°，∴△AOC∽△BDC，∴，∴OC=DC=OD=1，∴CD=OD-OC=2，∴AC=，BC=，∴AC+BC=，故答案为：．【点睛】本题考查了轨迹、坐标与图形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．8．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．（1）ED的长为____________．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．【答案】13【分析】（1）由题意，证明△ABP∽△EDP，根据相似三角形的性质，即可求出ED的长度；（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，由勾股定理D′B，可证△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．△AHP′∽△E′FP′，，解得x=1.5．【详解】解：（1）由题意，∵，∴，∵从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．∴，∴△ABP∽△EDP，∴，即，∴；故答案为：13．（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，∵BD=12，DD′=5，由勾股定理D′B=，∵∠AHB=∠ABD=∠E′FN=∠BDD′=90°，∴∠ABH+∠DBD′=∠DBD′+∠DD′B=+∠E′D′F,∴∠ABH=∠BD′D=∠E′D′F,∴△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,∴，，∴,，∴，∵从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．∴，∴△AHP′∽△E′FP′，HP′=HB+BP=2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，P′F=P′D′-FD′=9-，∴即，解得x=1.5，经检验x=1.5是方程的解，EE′=DE-DE′=13-1.5=11.5=．故答案为．【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，掌握相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，利用相似三角形的性质构造方程是解题关键．【磨刀霍霍】9．如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是多大？【答案】10.5m【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．【详解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴BE：CD=AB：AC，∵BE=1.2，AB=1.6，BC=12.4，∴AC=14，∴1.2：CD=1.6：14，∴CD=10.5．答：楼高CD是10.5m．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，正确地把实际问题转化为相似三角形问题，利用相似三角形的判定与性质解决是解题的关键．10．如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影长为，同一时刻，小明又测得竖立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度．【答案】旗杆的高度为．【分析】作DE⊥AB于E，可得矩形BCDE，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AE的长度，加上BE的长度即为旗杆的高度．【详解】解：过点作，垂足为，又∵，，∴四边形为矩形，∴，，∵在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例，∴，解得，∴．答：旗杆的高度为．【点睛】本题考查了相似三角形的应用；构造出直角三角形进行求解是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比一定．11．如图，在台球赛中，一球在A点处，要从A射出，经球台边挡板CD反射，击中球B，已知厘米，厘米，厘米，问：反射点E在距点C多远时才能击中球B？【答案】反射点E在距点C20厘米处才能击中球B.【解析】【分析】易得∠ACE=∠BDE=90°，利用入射角等于反射角可得∠BED=∠AEC，那么可得△ACE∽△BDE．利用相似三角形的对应边成比例可得CE的长．【详解】解：由题知，，∴，∴，即，∴，答：反射点E在距点C20厘米处才能击中球B.【点睛】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．12．傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，小华激动地说：妈妈，我可以通过测量您的影长，测得妈妈的影长DF＝1.6m．妈妈沿BD的方向到达点F处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高为1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG，求这棵大树的高度．【答案】8米【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】解：∵CD∥EF∥AB，∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，∴，，又∵CD＝EF，CD=DF∴∵DF＝1.6m，FG＝2m，∴解得，AB＝8．答：这棵大树的高度是8m．【点睛】本题考查了相似三角形的有关知识，能够借助两组三角形相似求解是解决问题的关键．13．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡P在线段DE上．（1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.5m，且他到路灯的距离AD＝2m，求灯泡P距地面的高度．【答案】（1）见解析；（2）4.2米【分析】（1）连接CB，延长CB交DE于点P，连接PG，延长PG交CF于H，点P，线段FH即为所求作图．

（2）利用相似三角形的性质根据方程求解即可．【详解】解：（1）如图，点P为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．（2），，∴，∴PD＝4.2（m）．∴灯泡的高为4.2m．【点睛】本题考查作图−应用与设计，相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明身高为米．（1）求风筝的高度；（2）若小亮让风筝沿方向下降了米到点（即米），则他往回收线多少米？【答案】（1）19.68米，（2）4米．【分析】（1）在中，利用勾股定理可求得，根据，可求得风筝的高度；（2）连接，根据，，可得，利用勾股定理可求得，再根据可求得往回收线的长度．【详解】解：（1）在中，由勾股定理得，，∴（取正），∴（米，∴风筝的高度为19.68米．（2）如图示，连接∵，∴，在中，由勾股定理得，，∴（取正），∴往回收线的长度是：（米）【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．15．青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离米.已知米，米，米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在上，，，，．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树的高度．【答案】8.8米【分析】过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，构造相似三角形：△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度即可．【详解】解：过点D作于点P，交于点N，过点M作于点Q，交于点K，由题意可得：，米，，米，米．，，，，，，，．，．（米）．答：这棵樱花树的高度是8.8米．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．16．如图是一个小商场的纵截面图（矩形），是商场的顶部，是商场的地面，地面由边长为的正方形瓷砖铺成，从到共有块瓷砖，和是商场的两面墙壁，是顶部正中央的一个长方形的灯饰（）．小张同学想通过学过的几何知识来测量该商场的高度（）和灯饰的长度（），于是去商场时带了一块镜子和一根激光笔，他先把激光笔挂在墙壁距地面两块砖高度（的长）的处，镜子水平放在地面距离两块砖的处，发现激光笔的反射光照到了处；再把激光笔挂在墙壁距地面两块砖高度（的长）的处，镜子水平放在地面距离三块砖的处，发现激光笔的反射光恰好又照到了处，请你帮忙计算的高度和的长度．【答案】，．【分析】过点P作PE⊥AD于点E，过点N作NO⊥BC于点O，由反射的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，求出NO的长度，即可得到答案．【详解】解：过点P作PE⊥AD于点E，过点N作NO⊥BC于点O，如图，根据题意，设，，∵LB为两块砖高度，BP为三块砖的长度，∴，由反射的性质，AB∥EP∥NO，∴∠BLP=∠LPE=∠EPN=∠PNO，∵∠B=∠PON=90°，∴△BPL∽△OPN，∴，∴，同理可证△ONF∽△CGF，∴，∴，∵，，∴，解得；∴AB的高度为640厘米；∵，又，∴；∴的长度为400厘米；【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，矩形的性质，平行线的性质，正确的做出辅助线，正确的求出NO的长度是解题的关键．17．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF