2026年（河北专用）【中考数学】一轮复习考点探究讲义第三章 函数第六讲 二次函数的解析式 含答案

/第六讲二次函数的解析式考点一二次函数解析式的确定❶待定系数法(1)三种解析式的适用条件已知条件选用解析式的形式形式已知抛物线上三点的坐标一般选用一般式y=ax2+bx+c(a≠0)已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大(小)值一般选用顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)是抛物线的顶点坐标已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标一般选用交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标(2)用待定系数法求二次函数解析式的步骤①设出合适的二次函数解析式;②根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);③解方程(组),求出待定系数的值,从而写出二次函数解析式.❷根据图象变换求函数解析式的方法(1)将已知解析式化为顶点式.(2)根据下表求出变化后的a,h,k.y=a(x-h)2+ka顶点(h,k)平移变换左右或上下平移不变变轴对称变换x轴相反数(h,-k)y轴不变(-h,k)旋转变换绕顶点(180°)相反数(h,k)绕原点(180°)相反数(-h,-k)(3)将变化后的a,h,k代入顶点式中即可得到变化后的函数解析式.1.求下列二次函数的解析式:(1)把抛物线y=x2先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的新抛物线的解析式为.

(2)已知二次函数的图象经过点(-1,0),(3,0)和(0,-3),则这个二次函数的解析式为.

(3)顶点是点M(-2,1),且图象经过原点的二次函数的解析式是.

(4)已知抛物线经过点A(2,0)和B(-1,0),且与y轴交于点C,若OC=2,则这条抛物线的解析式是.

(5)一条抛物线的顶点坐标为(2,1),且开口向下,则该二次函数的解析式可以为.

考点二二次函数与图象变换❶二次函数图象的平移方法1:直接平移(1)把y=ax2+bx+c沿y轴向上(或下)平移m(m>0)个单位得到y=ax2+bx+c+m(或y=ax2+bx+c-m).(2)把y=ax2+bx+c沿x轴向左(或右)平移m(m>0)个单位得到y=a(x+m)2+b(x+m)+c[或y=a(x-m)2+b(x-m)+c].方法2:将二次函数解析式化为顶点式,即y=a(x-h)2+k的形式后,按以下规律写出解析式:平移前的解析式移动方向平移后的解析式规律y=a(x-h)2+k向左平移m(m>0)个单位y=a(x-h+m)2+k给x左加右减向右平移m(m>0)个单位y=a(x-h-m)2+ky=a(x-h)2+k向上平移n(n>0)个单位y=a(x-h)2+k+n给等号右边整体上加下减向下平移n(n>0)个单位y=a(x-h)2+k-n口诀:左加右减自变量,上加下减常数项.❷二次函数图象的旋转与对称(1)绕原点旋转180°:用(-x)和(-y)分别替换x和y.(2)轴对称关于2.(1)把抛物线y=2(x+3)2-1先向右平移1个单位,再向下平移3个单位后得到的新抛物线的解析式为.

(2)将抛物线y=x2-6x+1向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线的顶点坐标是.

(3)将函数y=x2-4x+1的图象沿y轴翻折所得到的图象对应的函数解析式是.

(4)抛物线C1:y=14x2-3x+2和抛物线C2关于x轴对称,则抛物线C2的解析式是.(5)将二次函数y=-2(x-1)2+4的图象绕原点O旋转180°,所得到的图象对应的函数解析式是.

已知抛物线C是由抛物线y=2x2+1向左平移1个单位,再向下平移4个单位得到的.(1)抛物线C的解析式为.

(2)保持抛物线C的位置不动,将坐标轴先向下平移1个单位,再向右平移2个单位,则此时抛物线C的解析式变为.

(3)抛物线C关于x轴对称的抛物线的解析式为.

(4)抛物线C关于y轴对称的抛物线的解析式为.

(5)抛物线C关于原点成中心对称的抛物线的解析式为.

(6)将抛物线C在x轴下方的部分沿x轴翻折,与抛物线C在x轴上方的部分组成的图象记为W,则:①直线y=0与图象W有个交点;

②当直线y=d与图象W有3个交点时,d的值为;

③当直线y=d与图象W有4个交点时,d的取值范围为;

④当直线y=d与图象W有2个交点时,d的取值范围为.

(1)由平移规律可知:左右变自变量,上下变常数项,从而求出抛物线解析式.(2)坐标轴的移动,可以看作抛物线的反向移动,从而求出抛物线解析式.(3)(4)(5)由二次函数图象的旋转与对称规律可知:绕原点旋转180°:用(-x)和(-y)分别替换x和y;轴对称关于从而求出抛物线解析式.(6)利用数形结合找出直线y=d与图象W的不同交点时的d值或取值范围.命题点一二次函数解析式的确定❶(2025·福建)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx-2的图象过点A(1,t),B(2,t).(1)求ba(2)已知二次函数y=ax2+bx-2的最大值为1-34a2①求该二次函数的表达式;②若M(x1,m),N(x2,m)为该二次函数图象上的不同两点,且m≠0,求证:(x命题点二二次函数与图象变换❷(河北)如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴右侧.(1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值.(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为点P',C'.平移该胶片,使C'所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9,求点P'移动的最短路程.❸(2024·河北)如图,抛物线C1:y=ax2-2x过点(4,0),顶点为Q.抛物线C2:y=-12(x-t)2+12t2-2(其中t为常数,且t>2),顶点为(1)直接写出a的值和点Q的坐标.(2)嘉嘉说:无论t为何值,将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上.淇淇说:无论t为何值,C2总经过一个定点.请选择其中一人的说法进行说理.(3)当t=4时,①求直线PQ的解析式;②作直线l∥PQ,当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时,求l与x轴交点的横坐标.(4)设C1与C2的交点A,B的横坐标分别为xA,xB,且xA<xB.点M在C1上,横坐标为m(2≤m≤xB).点N在C2上,横坐标为n(xA≤n≤t).若点M是到直线PQ的距离最大的点,最大距离为d,点N到直线PQ的距离恰好也为d,直接用含t和m的式子表示n.

【详解答案】教材考点·深度梳理即时练1.(1)y=(x+2)2-3(2)y=x2-2x-3(3)y=-14(x+2)2(4)y=-x2+x+2或y=x2-x-2(5)y=-3(x-2)2+1(答案不唯一)2.(1)y=2(x+2)2-4解析:把抛物线y=2(x+3)2-1先向右平移1个单位,再向下平移3个单位后得到的新抛物线的解析式为y=2(x+3-1)2-1-3,即y=2(x+2)2-4.(2)(1,-5)解析:由题知,y=x2-6x+1=(x-3)2-8,则将该抛物线向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线的解析式为y=(x-3+2)2-8+3=(x-1)2-5,则所得抛物线的顶点坐标为(1,-5).(3)y=x2+4x+1解析:将二次函数y=x2-4x+1的图象沿着y轴翻折,所得到的图象对应的函数解析式是y=(-x)2-4·(-x)+1,即y=x2+4x+1.(4)y=-14x2+3x-2解析:根据函数的对称性,C2的解析式为-y=14x2-3x+2,即y=-14x2(5)y=2(x+1)2-4解析:二次函数y=-2(x-1)2+4图象的顶点坐标为(1,4),因为二次函数y=-2(x-1)2+4的图象绕原点旋转180°后得到的抛物线顶点坐标为(-1,-4),所以旋转后的抛物线解析式为y=2(x+1)2-4.重点难点·一题串讲例:(1)y=2(x+1)2-3解析:由平移规律可知,抛物线y=2x2+1向左平移1个单位,再向下平移4个单位得到的抛物线的解析式为y=2(x+1)2-3.(2)y=2(x+3)2-2解析:抛物线C的顶点坐标为(-1,-3),若抛物线的坐标轴向下平移1个单位,向右平移2个单位,平移后抛物线的顶点坐标为(-3,-2),∴抛物线C的解析式变为y=2(x+3)2-2.(3)y=-2(x+1)2+3解析:抛物线C关于x轴对称的抛物线的解析式为-y=2(x+1)2-3,即y=-2(x+1)2+3.(4)y=2(x-1)2-3解析:抛物线C关于y轴对称的抛物线的解析式为y=2(-x+1)2-3,即y=2(x-1)2-3.(5)y=-2(x-1)2+3解析:抛物线C关于原点成中心对称的抛物线的解析式为-y=2(-x+1)2-3,即y=-2(x-1)2+3.(6)①2②3③0<d<3④d>3或d=0解析:图象W如图所示:由图象可知:①直线y=0与图象W有2个交点.②当直线y=d与图象W有3个交点时,即过抛物线的顶点,∴d=3.③当直线y=d与图象W有4个交点时,0<d<3.④当直线y=d与图象W有2个交点时,d>3或d=0.河北中考·考向体验1.解:(1)二次函数y=ax2+bx-2的图象的对称轴为直线x=-b2∵点A(1,t),B(2,t)在该函数的图象上,∴2--b2a∴-b2a=3(2)①由(1)可得b=-3a,∴该函数的表达式为y=ax2-3ax-2,∴函数图象的顶点坐标为32,-94a-2,∵函数的最大值为1-34a2∴a<0,且-94a-2=1-34a解得a=-1或a=4(舍去),∴该二次函数的表达式为y=-x2+3x-2.②证明:∵点M(x1,m)在函数y=-x2+3x-2的图象上,∴m=-x12+3x由①知,点M(x1,m),N(x2,m)关于直线x=32对称,不妨设x1<x2则x2-32=32-x1,即x1∴(=(=(=(=-=-=0,∴(x2.解:(1)∵抛物线C:y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,∴抛物线C的顶点为Q(6,4),对称轴为直线x=6,y的最大值为4.将点P(a,3)代入抛物线C,得3=-(a-6)2+4.∴a=5或a=7.∵点P在对称轴的右侧,∴a>6.∴a=7.(2)∵平移后得到的抛物线的解析式为y=-x2+6x-9=-(x-3)2,∴平移后抛物线的顶点坐标为Q'(3,0).∵平移前抛物线的顶点坐标为Q(6,4),∴点P'移动的最短路程为'=323.解:(1)a=12,Q解析:∵抛物线C1:y=ax2-2x过点(4,0),顶点为Q,∴16a-8=0,解得a=12∴抛物线C1的解析式为y=12x2-2x=12(x-2)2-2,∴(2)选择嘉嘉的说法说理如下:把Q(2,-2)向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为(0,-2),当x=0时,C2:y=-12(x-t)2+12t2-2=-12t2+1∴点(0,-2)在C2上,∴嘉嘉的说法正确.选择淇淇的说法说理如下:C2:y=-12(x-t)2+12t2-2=-12x2当x=0时,y=-2,∴C2:y=-12(x-t)2+12t2-2过定点(0,-2),(答案不唯一,任选其一即可)(3)①当t=4时,C2:y=-12(x-t)2+12t-12(x-4)2∴顶点P(4,6).而Q(2,-2),设直线PQ的解析式为y=ex+f,∴4e+∴直线PQ的解析式为y=4x-10.②如图1,当C2:y=-12(x-4)2+6=-6时(等于6两直线重合,不符合题意),x=4±26∴交点J(4-26,-6),交点K(4+26,-6),由直线l∥PQ,设直线l的解析式为y=4x+b,当直线l过点J(4-26,-6)时,4(4-26)+b=-6,解得b=86-22,∴直线l的解析式为y=4x+86-22.当y=4x+86-22=0时,x=112-26,此时直线l与x轴交点的横坐标为112-2同理当直线l过点K(4+26,-6)时,直线l的解析式为y=4x-86-22,当y=4x-86-22=0时,x=112+26,此时直线l与x轴交点的横坐标为112+2综上所述,l与x轴交点的横坐标为112-