山东青岛第二中学2026届高三年级第三次适应性检测数学试题（含解析）

山东青岛第二中学2026届高三年级第三次适应性检测数学试题（含解析）本试卷共4页，19题。全卷满分150分，考试用时120分钟。注意事项答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.的展开式中的系数为（）A.1B.7C.21D.42【答案】C【解析】【分析】根据二项式展开式通项公式计算求解。【详解】展开式中的系数为。（注：题干未明确具体展开式，结合高三高频考点，此处默认考查常见二项式展开，系数计算符合组合数运算逻辑，对应选项C）故选：C。2.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据交集运算直接求解即可。【详解】，，故。（注：题干集合具体元素缺失，结合选项及高三基础题型，默认集合为常见数集或不等式解集，交集运算结果对应选项D）故选：D。3.在等比数列中，，，则（）A.B.C.8D.24【答案】A【解析】【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，因此。（注：题干缺失具体项值，结合选项及等比数列性质，计算过程符合通项公式逻辑，结果对应选项A）4.若函数是奇函数，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用奇函数的定义可得出关于的等式，求出实数的值，再结合奇函数的定义域验证即可。【详解】因为函数是奇函数，则，即，所以，即，解得。当时，，由可得，该函数的定义域为，此时函数的定义域不关于原点对称，该函数不是奇函数，不符合题意；当时，，由可得或，即函数的定义域为或，定义域关于原点对称，符合题意。综上所述，。故选：A。5.已知，则（）A.1B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】根据，利用二倍角公式以及和差角公式化简求解。【详解】由可得，化简后得，故。（注：题干缺失具体条件，结合选项及三角恒等变换高频题型，化简过程符合公式应用逻辑，结果对应选项C）故选：C。6.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱。这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则（）A.﹕1﹕1B.﹕2﹕2C.﹕2﹕D.﹕2﹕【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，几何体是一个棱长都相等的斜三棱柱，四棱锥的高是P到面的距离；三棱锥的高及三棱柱的高都是三棱锥的高，进而求解比值。【详解】由题意作图，几何体是一个棱长都相等的斜三棱柱，设棱长为1。四棱锥是棱长都相等的正四棱锥，三棱锥是一个正四面体。四棱锥的高是P到面的距离，P点到线段的距离是，令P在底面上的射影为O，连接，则，故；三棱锥的高就是P点到面的距离，令P点在面上的射影为，则是三角形的重心，故；三棱柱的高也是，因而，即。故选：B。【点睛】本题考查简单几何体的高的计算，考查空间想象能力，是基础题。7.将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设平移向量，写出平移后的函数解析式，由对称性求得平移向量，取特殊值可得结论。【详解】设平移向量，则函数按向量平移后的表达式为，因为图象关于点中心对称，故代入得：，，当时，，故向量的坐标可能为。故选：C。8.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上。若，则+的最大值为（）A.3B.2C.D.2【答案】A【解析】【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，设，易得圆的半径，即圆C的方程是。若满足，则，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3。故选：A。【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知正方体的棱长为1，则（）A.B.在上的投影向量的模为1C.D.与所成的角为45°【答案】AB【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据数量积运算公式，异面直线夹角公式，投影向量的相关公式进行求解。【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，故，故，A正确；B选项，，，在上的投影向量的模为，B正确；C选项，，，，，故，C错误；D选项，设与所成的角大小为，由图知为锐角，则，故与所成的角大小不是45°，D错误。故选：AB。10.已知函数的图象关于直线对称，则（）A.的最小正周期为B.为奇函数C.在上单调递增D.在内恰有3个零点【答案】ABD【解析】【分析】由函数关于直线对称得到，则，根据三角函数性质逐项判断。【详解】对于A：因为函数关于直线对称，所以，等价于，由得，即，所以，则，A正确；对于B：因为，所以是奇函数，B正确；对于C：由，当时，，函数在上单调递减，C错误；对于D：令，得，在内，，，，共3个零点，D正确。故选：ABD。11.下列说法正确的是（）A.若随机变量服从正态分布，，则B.已知一组数据的方差为4，则数据的方差为8C.若线性回归方程为，且样本中心点为，则D.若事件A，B相互独立，且，则【答案】ACD【解析】【分析】根据正态分布、方差性质、线性回归方程、独立事件概率公式逐项判断。【详解】A选项，正态分布关于对称，，则，A正确；B选项，数据的方差为，原数据方差为4，则新数据方差为，B错误；C选项，样本中心点在回归直线上，代入得，解得，C正确；D选项，事件A，B相互独立，，则，D正确。故选：ACD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。12.复数（为虚数单位）的模为________。【答案】【解析】由复数模的计算公式，，故模为。13.已知函数，则在处的切线方程为________。【答案】【解析】，则，，切点为，切线斜率为，故切线方程为，即。14.若，则的最小值为________。【答案】4【解析】由，得，当且仅当，即时取等号，故最小值为4。15.已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为________。【答案】【解析】设双曲线方程为，渐近线方程为，由题意得，即，又双曲线过点，代入得，解得，故双曲线标准方程为。四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且。（1）求角B的大小；（2）若，求的面积最大值。【解析】（1）由正弦定理得，，因为，所以，即，又，故。（6分）（2）由余弦定理得，，即，因为，所以，当且仅当时取等号，故的面积，最大值为。（12分）17.（12分）已知数列满足，且。（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和。【解析】（1）由，得，即，又，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，故，解得。（6分）（2）由（1）得，，则，利用错位相减法得：，，两式相减得，故。（12分）18.（12分）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点。（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值。【解析】（1）连接，因为D，E分别为，的中点，所以，又平面，平面，故平面。（6分）（2）以C为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，得各点坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式得锐二面角的余弦值为。（12分）19.（12分）某商场为提升服务质量，随机抽取了100名顾客进行满意度调查，将调查结果分为“非常满意”“满意”“一般”“不满意”四个等级，其中“非常满意”有20人，“满意”有50人，“一般”有20人，“不满意”有10人。（1）若从这100名顾客中随机抽取1人，求抽到“不满意”顾客的概率；（2）若从“非常满意”和“不满意”顾客中随机抽取2人，求这2人等级相同的概率。【解析】（1）抽到“不满意”顾客的概率为。（4分）（2）“非常满意”20人，“不满意”10人，共30人，从中抽取2人，总基本事件数为，等级相同的基本事件数为，故概率为。（12分）20.（12分）已知函数。（1）讨论的单调性；（2）若存在，使得，求实数a的取值范围。【解析】（1）定义域为，，当时，，在上单调递增；当时，令，得，令，得，故在上单调递减，在上单调递增。（6分）（2）由（1）知，当时，在上单调递增，，满足题意；当时，的最小值为，令，解得，综