广东省惠州市2026-2026学年高二上学期期末考试数学试题

广东省惠州市2026-2026学年高二上学期期末考试数学试题广东省惠州市____学年高二上学期期末考试数学试题本试卷共4页，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡指定位置上。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x²-2x-3<0}，集合B={x|2x-4>0}，则A∩B=（）A.(1,3)B.(2,3)C.(1,2)D.(3,+∞)2.下列命题中，正确的是（）A.若直线a平行于平面α内的一条直线b，则a∥αB.若直线a垂直于平面α内的两条直线b和c，则a⊥αC.若平面α⊥平面β，直线a在平面α内，则a⊥βD.若平面α∥平面β，直线a在平面α内，则a∥β3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）（说明：此处应有三视图，但文本中无法显示，故略去。实际命题时需配图。本题可假设为一个简单组合体，如一个正方体上方放置一个同底的四棱锥）A.12cm³B.16cm³C.20cm³D.24cm³4.直线l₁:ax+2y+6=0与直线l₂:x+(a-1)y+a²-1=0平行，则实数a的值为（）A.-1或2B.-1C.2D.15.在空间直角坐标系中，点P(1,-2,3)关于平面xOz对称的点的坐标是（）A.(1,2,3)B.(-1,-2,3)C.(1,-2,-3)D.(-1,-2,-3)6.圆C₁:x²+y²-2x-4y+1=0与圆C₂:x²+y²+2x+2y-3=0的位置关系是（）A.相离B.外切C.相交D.内切7.某中学高二年级共有学生1500人，为了解学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；一次数学月考中，某班有10人在100分以上，32人在____分，12人低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；运动会工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道。就这三件事，恰当的抽样方法分别为（）A.分层抽样、分层抽样、简单随机抽样B.系统抽样、系统抽样、简单随机抽样C.分层抽样、简单随机抽样、简单随机抽样D.系统抽样、分层抽样、简单随机抽样8.从数字1,2,3,4,5中随机抽取两个不同的数字，则这两个数字之和为偶数的概率是（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/59.执行如图所示的程序框图（说明：此处应有程序框图，文本中无法显示，故略去。可假设为一个计算S=1+2+...+n，当S超过某个值时输出n的简单框图），若输入的n为10，则输出的S的值为（）A.45B.55C.66D.7810.已知点M(x,y)在圆x²+y²=1上运动，则点N(x+y,xy)的轨迹方程是（）A.x²=2y+1B.x²=1-2yC.x²=2y-1D.x²=2y+211.在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别是棱AB、CC₁的中点，则异面直线A₁E与BF所成角的余弦值为（）A.√5/5B.√10/5C.√10/10D.2√5/512.已知圆C:(x-1)²+(y-2)²=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0。则以下几个命题中：①直线l恒过定点；②直线l与圆C恒相交；③当m变化时，直线l被圆C截得的弦长的最小值为4√5；④若直线l的倾斜角为θ，则θ的可能取值范围是[0,π/4]∪[3π/4,π)。其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.一个球的表面积是16π，则这个球的体积是_________。14.若变量x,y满足约束条件：x≥0,y≥0,x+y≤2,则z=x-2y的最大值是_________。15.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579则A地区用户满意度评分的中位数为_________，B地区用户满意度评分的第40百分位数为_________。（本小题第一空2分，第二空3分）16.已知直线y=x+m与曲线y=√(1-x²)有且仅有一个公共点，则实数m的取值范围是_________。三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，且PA=AB=BC=2。（说明：此处应有直观图，但文本中无法显示，故略去。实际命题时需配图。）（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求三棱锥P-BCD的体积。18.（本小题满分12分）已知圆C的圆心在直线x-y-4=0上，且经过圆x²+y²-4x-6=0与圆x²+y²-4y-6=0的交点。（1）求圆C的方程；（2）过点P(-2,4)作圆C的切线，求切线方程。19.（本小题满分12分）某中学为了解学生参加体育锻炼的情况，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果分为“几乎不锻炼”、“偶尔锻炼”、“经常锻炼”、“每天锻炼”四个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：（说明：此处应有两幅统计图，如扇形图和条形图，但文本中无法显示，故略去。实际命题时需配图。）根据图中信息，解答下列问题：（1）求本次调查共抽取了多少名学生？并补全条形统计图；（2）在“经常锻炼”的学生中，有2名男生和2名女生。现从这4名学生中随机抽取2名学生参加学校组织的体育活动，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率。20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2，点D是AB的中点。（说明：此处应有直观图，但文本中无法显示，故略去。实际命题时需配图。）（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；（2）求二面角B-CDB₁的余弦值。21.（本小题满分12分）已知定点A(-1,0)，B(1,0)，动点P满足|PA|+|PB|=4。（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）设直线l:y=kx+m与轨迹E交于不同的两点M，N。若线段MN的垂直平分线过定点G(1/8,0)，求实数k的取值范围。22.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x³-3ax²+3x+1。（1）若a=1，求函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（2）若函数f(x)在区间(2,3)上至少有一个极值点，求实数a的取值范围。（注：本题涉及导数内容，若当地高二上学期未讲授导数，可替换为其他知识点的综合题，如解析几何中的定点、定值问题，或更复杂的立体几何探究性问题。）---参考答案与评分标准（简要说明）（完整的参考答案与评分标准应详细给出每小题的解题步骤和相应分值，此处仅为示例框架。）一、选择题1.B2.D3.（根据假设几何体计算）4.B5.A6.C7.D8.B9.（根据假设程序框图计算）10.A11.C12.C二、填空题13.(64/3)π14.215.77,6516.[-1,√2)三、解答题17.（1）证明线面垂直，通常通过证明线线垂直，利用判定定理。（5分）（2）利用等体积法或直接法计算，V=2/3。（5分）18.（1）利用圆系方程或待定系数法求圆的方程，结果(x-3)²+(y-(-1))²=13或展开形式。（6分）（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，切线方程为x=-2和3x-4y+22=0。（6分）19.（1）根据扇形图或条形图中的已知数据计算样本容量，补全图形。（6分）（2）列出所有基本事件，利用古典概型求概率，P=2/3。（6分）20.（1）构造中位线或利用线面平行的判定定理。（5分）（2）可采用几何法（作、证、算）或空间向量法求二面角的余弦值，结果√3/3。（7分）21.（1）根据椭圆定义，轨迹E为椭圆，方程x²/4+y²/3=1。（4分）（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、中点坐标公式、垂直关系等，求得k的取值范围。（8分）22.（1）求导，得切线斜率，点斜式写出切线方程。（4分）（2）转化为导函数在区间(2,3)上有变号零点问题，求解不等式或利用函数思想。（8分）---命题说明1.考查范围：本试卷主要考查高二上学期所学的立体几何初步、解析几何初步（直线与圆）、算法初步、统计与概率等内容（若包含导数，则为选学或部分地区进度）。2.难度控制：试题注重基础，兼顾区分度。选择题和填空题前半部分为基础题，后半部分及解答题逐步增加难度，最后两题设置一定