辽宁省某中学2025-2026学年高一年级下册学期初考试数学试题（含答案）

2025-2026学年高一数学下学期期初数学

第一部分（选择题共58分）

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x\\x\<2},J={%WN|/v川},贝|J4ng=（）

A.{-2,—/,0/2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}

2.已知向量五=Gn,2）花=（1,m-/）,若（五+2万）〃（33一石），则实数m的值为

（）

A.jB.2C.1或-2D.2或・1

3.总体由编号为01,02,...,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个

体,选取方法是从随机数表第1行的第7个数字开始，由左到右依次选取两个数字，

则选取的第6个个体的编号为（）

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.01B.02C.04D.14

4,下列函数中，在（0,+8）上是增函数的是（）

A./（%）=X2B./（x）=C./（x）=-InxD./（x）=x+：

5.已知不等式》+。〃+小一/Z。恒成立，则a的取值范围为（）

A（-8,一切B.卜斗,/]

C.（-8,-U[/,+00）D.卜/,”

6.已知函数作）=巴；2机：+加+加,”2,当％=2时,人无）取得最小值，则血的

12,x>2

取值范围为（）

A.[-7,4]B.[2,4]C.[-1,2]D.[-7,7]

7.若函数/（1+%）在其定义域[1,2]上单调递增，则函数八/一均（）

A.在其定义域[-2,-7]上单调递增B.在其定义域[-2,-/]上单调递减

C.在其定义域上单调递增D.在其定义域[-1.0]上单调递减

8.已知函数/(%)的定义域为R，对于任意实数满足:/(x+y)=/(%)+/(y)-1,

当％vo时，f(x)>/,则下列结论错误的是()

A.f(O)=/B./(%)-/为偶函数

C./(%)为R上的减函数

D.若f(a-D+/3)>2则。的取值范围为(-3,2)

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项

符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.已知实数满足。>0洛>0且Q+2b=/,则下列说法正确的有()

A.若a>b，则对任意实数c,ac2>be2B.若Q>b，则，

a+/a

。,+:的最小值是3+20D,a2+4b2的最小值是1

10.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回

方式从中任意摸球两次，设事件4="第一次摸出球的标号小于3"事件8="第

二次摸出球的标号小于3”，事件C="第一次摸出球的标号为奇数”，贝M)

A.PG4)=P(B)BM与B互为对立事件

C.B与C互斥D.B与C相互独立

11.己知函数/(%)=俨：一0，若/⑴=上有3个不等实根勺,孙公，且

(一/十in%,x>u

X/<x2<x3，则()

A.fM的单调递增区间为[一/,0],(0,+8)B.k的取值范围是(一4,一3)

C.xj+x2+x3的取值范围是G-2,52]D.方程f(f(%))=0有5个根

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.logjV^+21g5+1g4-3啕2+iog93=.

X+QXV/

2_9~gM=3x-i，对任意的xG[o,3],总存在

{x2xax>rt

x2e[0,2]，使/(%/)=g(%2)成立，则实数Q的取值范围是.

^2025—2vnA5—In2___

已知实数n满足------m=200，则mn=

14.m,2----n------Inn-ln(2e-^)=

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知集合4={百1<2x+,<8],B=[x\(x-a)(x-a-/)<0},aG/?.

(1)若/€B,求实数Q双值范围；

(2)若“xWB”是“％W4”的充分不必要条件，求实数Q的取值范围.

16.象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传

统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态却认真谨慎的生活观,某学校高

一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500

名学生参加，从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成5组：

[50960\[60J0),[70,80),[80.90),[90,100]，并整理得到如图频率分布直方图:

(1)根据直方图，求a的值，并估计这次知识能力竞赛的众数和中位数；

(2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场

棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为♦，且各轮比赛结果

相互独立.求乙最终获胜的概率.

17.已知函数/(%)=Igfax2+2x-3)(a为常数)

(1)若函数/(%)的定义域为R,求实数Q的取值集合：

⑵当a=0时，是否存在正整数k，使得关于%的不等式2/(x+/)>lg(/cx2)在区间

[2,3]上有解?若存在，求出k的最大值，若不存在,请说明理由.

18.己知定义在[-IJ]上的奇函数/⑴=需，且“)=；.

⑴求a,b的值，判断/(%)在[-/」]上的单调性，并用定义证明：

(2)解关于实数t的不等式f(2t-/)+/(t)<0

⑶若/(%)<m2-：对VxG［-/,/］,Vke［一/,/］恒成立，求实数m的取值

范围.

19.定义在/上的函数F(x)，如果满足:对任意xG/，存在常数M>0，都有-M<

F(x)<M成立，则称函数F(x)是I上的有界函数，其中M称为函数F(x)在/的上界.

(1)判断函数/(%)=V7T必在其定义域内是否属于有界函数；

(2)若函数/0)=债，且m>/,则函数f(x)在区间［0,+8)上是否存在上界

M,若存在，求山M端取值范围；若不存在,请说明理由；

(3)若函数gM=1+ae-x+e-2*在也+8)上是以3为上界的有界函数，求实数Q

的取值范围.

1.B

由因42得一24x42，所以A={x\-2<x<2}，因为％€N且/<"，满足条

件的自然数%为0,1,2,3,即8={0/2,3},

所以AC8={0/2},

故选：B.

2.D

因为五=(m,2)石=-/),

所以五+2方=(m+2,2m),Ja—4b=(3m—4J0—4m),

因为0+2工)〃(%-石),

所以(m+2)(/0—4m)-2m(3m—4)=0，整理得m2—m—2=0，解得m=2或

m=一/所以实数m的值为2或-1

故选:D

3.C

根据随机数表选数的规则，这6个数分别是08,02,14,07,01,04,注意02出现2次.需

剔除1个,

故选：C

4.A

对于选项A，函数/(%)=舅的定义域为［0,+oo)，在定义域为单调递增函数，则A正

确；

对于选项B,函数/(%)=>在定义域R上单调递减，则B错误；

对于选项C，函数/(X)=一Inx可以看成y=-£和£=Inx的复合函数,由此可知函数

f(x)在

定义域(。,+8)上单调递减，则C错误；

对于选项C,函数/(%)=%+：在区间(0,/)上单调递减,在区间(/,+8)上单调递增,

则D错误；”

故选：A.

5.C

令t=CN(),

则不等式变为F+以+/一/2。在［0,+oo)上恒成立，

设/(0=t2+at+a2-1，对称轴t=-3,

当-三工0=。2。时，函数/(t)在［0,+8)上单调递增，最小值为=a2-1>

0=。2/或。工一/,所以a>/;

当—、>〃=QVO时，最小值在对称轴处取得，即/(一9=(-;)2+a(-3+*一

/之0,解得。之手或。工—¥，所以。三一三，

综上,a的取值范围为(-8,-辞］u［］,+8).

故选：C.

6.B

当％>2时,/(%)=2x+I单调递增，则/(%)>8;

当％工2时,/(%)=x2—2mx+m+nr7开口向上，且对称轴为x=m,

又当％=2时，/(%)取得最小值f(2)=4-4m+m+m2,

所以工2「a，解得2WmW4,

^4-4m+m+m-<8

所以m的取值范围为［2,4］.

故选：B.

7.B

因为函数fU+%)的定义域为/工无42,所以24/+x43,即函数/(%)的定义域

为[2,5]

对于函数/(/一%),由2W/-久W3可得一2W%工一/，即函数/(7-%)的定义域

为[―2,—/],故CD错误；

对于函数/(/+无)在[/0上单调递增，由于其内层函数u=l+x为单调增函数，所

以可得/(%)在[2,3]上单调递增；

对于函数/(/-%)，由于其内层函数v=l-x为单调减函数，所以可得/(/一%)在

[-2,-/]上单调递减.

故选:B

8.B

对于A,令x=y=0，则/(。)=2/(0)-1，所以/(0)=I，所以A正确；

对于B,令y=-％，则f(ff)=f(x)+/(-%)一/，所以/(-X)-1=-[/(X)-/].

又因为函数/(%)的定义域为R，所以函数fM-1的定义域为R，所以fM-/是

奇函数，所以B错误；

对于C,设任意XhX2WR且勺V%2，则x,-x2<0,由题意得/(%/-%2)>/，即

1>0.

因为/(%/)=f((X]-犯)+孙)=/U/-%2)+/(与)一/,

所以f(xD—f(x2)=f(Xj-X2)-/>0，即,(八)>/(%2).

所以函数/(%)为R上的减函数，所以C正确；

对于D,由B选项的分析可知，函数/(%)-/是奇函数，由C选项可知函数/(%)-1

是R上的减函数.

若f(a-6)+/(a2)>2,则f(a-6)-1>1-/(a2)=-[/(a2)-7]=/(-a2)-/.

所以Q-6Q?,即小+Q一6<。,(Q+3)(Q-2)v0，解得一3va<2,所以D正确.

故选：B.

9.BC

A:当c=0，此时ac?=be2，错；

c,m.ib+1bab+a—ab—ba—b、八.b+l、ba

B:由Q>匕，则而一z二飞行厂=标>°，H即tk对；

C:-+{=(-+^\(a+2b)=3+-+^>3+2庐飞=3+20,

ab\abjab7ab

当且仅当af-l,b=W时取等号，对；

22

D:由Q=/—2b>0,贝ij0vbvg,故次+4b=8b—4b+1=8G—/)+g,当b=:

时，/+4/取得最小值，霜误.

故选:BC

10.AD

事件A：“笫一次摸出球的标号小于3”，

第一次摸球时，总共有4个球，标号小于3的是1、2,共2种情况，因此PG4)=：=g;

事件B:“第二次摸出球的标号小于3”，

采用不放回摸两次，总基本事件数为4x3=/2种，

若第一次摸的是1或2,第二次剩下3个球，其中小于3的有1个，情况数为2x

7=2;

若笫一次摸的是3或4,笫二次剩下3个球，其中小于3的有2个，情况数为2x

2=4；

因此事件B的情况数为2+4=6,故P⑻=*；

由此,P(4)=P⑻=；，选项A正确；

对立事件要求“两个事件不能同时发生，且必有一个发生”即4UB为必然事件，

/CB=0,但存在情况:第一次摸1,第二次摸2,此时/和B同时发生，因此A

与8不是对立事件，选项B错误；

互斥事件要求“两个事件不能同时发生”，

事件C：”第一次摸出球的标号为奇数”，

存在情况:第一次摸1，第二次摸2，此时B和C同时发生，因此B与C不是互斥事件,

选项C错误；

相互独立的定义是P(BnC)=P(B)P(C),

事件C:第一次摸奇数，情况数为2x3=6，因此P(C)=*=L

事件8nc：“第一次摸奇数，且第二次摸小于3”，

情况包括:(1,2)、(3,1)、(3,2)洪3种，因此P(BCC)=W，

P⑻P⑹=：X：=Z，满足P(Bnc)=P(B)P(C)，因此B与C相互独立，选项D正确.

224

故选:AD.

11.ACD

作函数/(%)草图如下：

由图可知:/(%)的单调递增区间为[一/,0],(。,+8)，故A正确；

/(%)=k有3个不等实根，则一4vk4一3，故B错误；

因为+%2=—2,由—2+\nx=—4=>x=^;由-2+In%=—3=>x=^.

所以工£,所以，+肛+%3的取值范围是(5一2,(-2「故C正确；

由，+2x-3=0=(%+3)(%一/)=0,且xW0，所以x=-3\

由-2+Inx=0=无=/.

所以，由/(£)=0=£=-3或£=02.

因为方程/(%)=-3有3个不同的实根，方程/(%)=e2有2个不同的实根，且两方程

的根互不相同，所以方程/(/(》))=。有5个不同实根，故D正确.

故选:ACD

12.2

原式=log223+21g5+21g2-2+log/

31

=5+2(lg5+lg2)—2+-

31

=5+2lg/0—2+-

=(+2-2+g=2.

故答案为:2

13.[1.5]

当OWxW/Rt,a<x+a<a+/,

当/v%43时，x2—2x+a=(x-I}2+a—1€(Q—/,Q+3],

WJxG[0,3]时J(%)£(口一/,。+刃；

gM=3%-/在[0,2]上单调递增，则g(%)6[0,8],

因对任意的％/《[0,3],总存在x2e[0,2],使/(%/)=g(%2)成立，

则(Q—Q+引[[0,8],

则Q-/NO且Q+3W8,得/WQ45,

则实数Q的取值范围是

故答案为:[1,5]

14-7

由题意可得e2025_2m-2m=。，即e2025=2me2m,

两边同时取对数可得2m十\x\2m=2025,即eln2?n十11127n=2025.

由--Inn-ln(2c^20)=0可得W-Inn-ln2-2020=0,

ne

即e5-,n2n+5-\n2n=2025,

令fM=%+e”,则/'(%)=/+e*>0恒成立，

所以函数f(%)在R上单调递增，

而/(ln2m)=f(5-ln2n)=2025,

所以ln2m=5—\n2n,B|J\x\4mn=5,

所以mn=^-.

4

故答案为:

4

15.(l)0<a<l<(2)[-l,l].

(1)若/WB,贝ij—Q(/—Q)vO,得OVQV/；

(2)由1<2x+i<5,得0W%+/W3,W-/<%<2,

所以A={x\-1<x<2},B={x|(x-a)(x-Q-/)<0}={x\a<%<a+7},

因为“％WB”是“xW/I”的充分不必要条件，所以8是4的真子集，

即『二』解得一/WQS/.

+1<2

即实数Q的取值范围是

16.⑺。=0.030，众数:85,中位数:80

⑵捻

(1)由频率分布直方图，［50,60)的频率为0.08,［6。,70)的频率为0.12,［80,90)的

频率为0.42.［汝［00］的频率为0.08.

所以［70,80)的频率为1-0.08-0.12-0.42-0.08=0.30,TiJW-a=^=0.030,

众数:最高矩形对应区间为［80,90)，中点即为众数:85

中位数：因为0.08+0.12+0.3=0.5,由频率分布直方图知中位数为80.

(2)因为乙最终获胜，比分可能是2:0,2:1,

设乙2:0获胜为事件4,2:/获胜为事件B,

若乙2:0获胜，则概率为P(4)=(/-1)2=；,

若乙2:/获胜，则概率为P⑻

又4,B两个事件互斥，则乙最终获胜的概率为PG4)+P(B)=j

17.(7)0；

(2)存在,攵的最大值为2.

(1)由题意函数/(%)的定义域为R,

则ax2+2%—3>0对于xGR恒成立，

当。=。时,2%-3>0，不恒成立；

当时，KM/2a<。,无解；

综上所述，实数a的取值范围为0.

(2)存在；k的最大值为2,理由如下：

当a=0时，/(x)=lg(2x-3),则/(x+/)=lg［2(x+/)-3］=lg(2x-7),

则不等式2f(x+/)>lg(M可化为lg(2x-I/>lg(/cx2),

则(2x-/)2>kx2，即k<与工在区间［2,3］上有解，

令氏)=三?,无G［2,3］,则k<h(x)max,

因为也)=y=与▲"*=(>2)飞层］

可得:h(x)在区间［2,3］上单调递增.

所以kVM%)max=九。)=，

乂因为k为正整数，所以k的最大值为2.

18.(1)f(x)=鬻为定义在［-1,1］上的奇函数,

故/(-x)=-/(%)，即^77=一^7，故一+b=-ax-b,b=0,

乂/(/)=：，故翟解得。=/，

/(%)在［-1J］上单调递增，证明如下：

/(%)=爰7，任取X/，X2€［-/J］，且%/V%2,

故f(x,>i-f(x^=3____攵-=2(宓/)-以也)=(『)(g/)

收八%”八切小/小/(小/)(亭/)宙+/)(1+/)'

因为XhX26［-1J］，且x,v%2，所以32->0,%/孙一/V0,

又温+/>0,说+/>0,所以“勺)一/(孙)=与蒜寻<0,

故f(%DVf(%2)，所以fM在［-/,/］上单调递增；

⑵/(%)=品为定义在［-/,/］上的奇函数，

/(2£—/)+/(t)〈Onf(2t-/)<-/⑴=f(T),

(-1<2t-1<1

又/(x)在［-/,/］上单调递增，故-l<t<l，解得。Wtvg,故不等式f(2t-

2t—1<-t

［)+/«)v。的解集为［*)；

⑶令g(k)=-2mk+川+(.

/(x)<m2-2km+Vxe［-7,7］,V/<e［一］1］恒成立，

故只需/(%)maxWg(k)min,

其中/(%)在［-/,/］上单调递增，故/(%)max=/(/)

若巾=。，则g(k)=J，满足/(%)max<g(k)min;

若m>O,g(k)=-2mk+m?+g在上[-/,/]上