北师大版高中数学选择性必修第一册 空间向量运算的坐标表示及应用【作业原卷+答案】

03

3.2空间向量运算的坐标表示及应用

A级必备知识基础练

1.［探究点二］己知向量a=(3,5/l),b=(2,2,3),则向量2a-3b的坐标为()

A.(0,4,-11)B.(12,16,7)

C.(0J6,-7)D.(12,16,-7)

2」探究点二］如图,边长为1的正方体A4clM山CQ中，丽•西的值为()

A.-2B.-1

C.lD.2

3.［探究点四］已知@=(1,0/)力二(2-1,1)式=(3,1,0),则旧上+2日等于()

A.3同B.2V10

C.x<10D.5

4」探究点三］在正三棱柱ABC48C中44产2A8=2,E为棱A8的中点,F为线段8s上的一点，且

A|C_LE£则誓=()

AJOB.12C.I5D.20

5.［探究点三］己知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),K(a+2b)〃(2a-b),贝")

A.x=1,y=1B.r=1,y=-4

C.x=2产TD.x=11

6.［探究点三、四］(多选题)已知空间向量2=(-2,11)斥(3,4,5),则下列结论正确的是()

A.(2a+b)〃a

B.5|a|-V3|b|

C.a1(5a+6b)

D.a与b夹角的余弦值为停

o

7」探究点一］已知点A(-l,3,5),8(2,l,4),C(l,0「2),_aA6co是平行四边形，则点O的坐标

为.

8.［探究点三、四］已知a=(x,41),b=(-2,y,-l),c=(3,-2Z,a〃b,b_Lc，求:

(l)a,b,c;

(2)a+c与b+c所成角的余弦值.

9」探究点四•人教B版教材习却已知AB.ACAD为长方体的三条楂，且

A(1,2,1),B(1,5,1),C(1,2,7),D(321),求长方体这三条棱的长和体对角线的长.

10」探究点三［如图，在棱长为1的正方体A8CEM由COi中芯是的中点，尸是8办的中点,G是

4历的中点.

(1)试建立适当的坐标系，并确定E,F,G三点的坐标;

(2)求证:4C_LEE

B级关键能力提升练

11.设x,y£R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),.Ha_Lc,b〃(:，则|a+b|=()

A.2V2B.A/TO

C.3D.4

12.已知向量a=(1,2,2),b=(-21,l),则向量b在向量a上的投影向量为()

A(金上士)B包1)

儿9'9'969'9'9

C(iH)D(山)

•3'3'3'3'3'3

13.已知空间向量a=(3,0,l),b=(-2,l,〃),c=(l,2,3^(a-c)b=2Ma与b的夹角的余弦值为()

A等B..等C噂D.嗜

21212121

14.已知动点。在正方体A8czMBG。的对角线(不含端点)上.设气，若/APC为钝角，则实

U\D

数2的取值范围为()

A.(呜)B.促)

C0)D©])

15.(多选题)已知空间三点A(-l,0,1),B(-l,2,2),C(-3,0,4),则下列说法正确的是()

A.而•尼=3||AC

C.IBCI=2V3D.cosv而,AC>=^=

65

16.已知点E在正方体A8CD-4SC。的侧面AAS8内(含边界)/是A4的中点，若O|E_LCA则tan

N8CE的最小值为()

A.喀B.V2-1C.V3-1D咯

17.已知空间三点A(0,0,1),4(-1,1,1),C(12-3),若直线相上存在一点M满足CM_L48,则点M的坐标

为.

18.已知向量a=(5,3,l),b=g2工-勺,若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是.

19.如图，正方体4BCD-A闰G"的棱长为2,点O为底面A8C。的中心，点P在侧面BBCC的边界

及其内部运动.若QiO_LOP,则△OGP面积的最大值为.

20.已知空间中三点的坐标分别为A(3,0,-1),8(3,1,0),C(5,0,-2),且2=同,b=正.

(1)求向量a与b夹角的余弦值；

⑵若Aa十b与a-b互相垂直,求实数k的值.

C级学科素养创新练

21.已知A(l,0,0),8(0,l,0),C(0,0,2).

⑴若丽IIAC,DC||而，求点。的坐标；

(2)是否存在实数a/,使得/f布+£而成立?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.

参考答案

3.2空间向量运算的坐标表示及应用

1.A•・•a=(3,5,-l),b=(2,2,3),,•・2a-3b=(610,-2)-(6,6,9)=(0,4,-ll).故选A.

2.B以点。为原点,DAQCQDi所在直线分别为x轴、)，细、z轴,建立如图所示空间直角坐标

系，则4(1.0,0),Q(0,00)1(1,l,0),Di(0,0,1),故万5=(1,0,0),西二(-11,1),则万？•西二-1,故选B.

3.A・・・a-b+2c=(9,3,0),・•・|a-b+2c|=V5T

4.C以点石为坐标原点,EC,EB以及过点E且与师

同向的方向分别为x轴、)，轴、z轴建立空间直角坐标系.则反0,0,0),C(立0,0)A(0,-；,2),设歹

2Z

由AICLLEF,知41d,FF=(今(0,g/)=0,解得"4故=~^=15.故选C.

8

5.B由题意知,a+2b=(2x+l,4,4-)，),2a-b=(2-x,3,-2y-2)「・・(a+2b)〃(2a-b),・・・存在实数九使

2x4-1=A(2-x),p=5*

a+2b=A(2a-b),.*.4=3人解得<％=工

(4—,Ij4

6.BCD对于A选项,2a+b=[J,2,7),不存在九使得2a+b=2a,故A错误;对于B选项,5|a|二5x

V4+1+l=5V6,V3|b|=V3xV32+42+52=5V63tB正确;对于C选

项,5a+6b=(8/9,35),a(5a+6b)=-2x8-lxl9+1x35=0,则a_L(5a+6b),古攵C正确泞寸于D选

S

项,|a|=V4+1+1=乃,|1)|=\/32+42+52=5或,a・b=-6-4+5=-5,所以cos<a.b>=-^-=r-'/-=-

\ci\\b\v6x5vZ

?，故D正确.故选BCD.

6

7(-2,2,-1)点A(-1,3,5)>(2,1,4)0(1,0,-2),

设D(x,yA*：ABCD是平行四边形，得而=BC,

••(x+1,y-3,z-5)=(-1146),

x+1=-1,(x=-2,

・•・y-3=-1,解得y=2,则点。的坐标为(-2,2,/).

z-5=-6=-1,

8.解(1)因为a〃b，所以5=±=上

-zy-1

解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1i,b=(-2,-4»-1).

又因为blc,

所以b-c=O,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2).

(2)由(I)得a+c=(5,2,3),b+c=[l,-6,l),所以a+c与b+c所成南的余弦值cos〈a+c.b+c>=黑

vJ8xv38

2

19,

9.解依题意得而二(0,3,0),前二(0,0,6),而=(2,0,0),故而+而+

彳5二(0,3,0)+(0,0,6)+(2,0,0)=(2,3,6),所以棱长分别是A8=|施|=3,4。二|前|=6,/1。二|而|=2,体对角

线的长为|同+配+AD|=V22+32+62=7.

10.(1)解以点。为坐标原点.D4QC,。。所在直线分别为工轴、》轴、z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，则七(1,；,0)/(1,1，)。(1,；,；).

(2)证明依题意可得4(1,0,1),。(()』,0),则中二(-1』,-1)而二(0.另),

所以中.而5=0—<=0,所以A।C_LEE

11.C因为b〃c,所以存在4ER使得b=%c,

1=24,(1=1

所以y=-44解得，A~29所以b=(l,・2,l).

,1=21,(y=-2,

因为a_Lc，所以x-2+l=0,解程■x=l,

所以a=(l,l,l),

所以a+b=(2,-l,2),所以|a+b|=<4+1+4=3.

12.B因为a=(l,2,2),b=(-2,l,l),所以ab=-2xl+2xl+2xl=2,所以向量b在向量a上的投影数量

为警=.2=。，设向量b在向量a上的投影向量为in,则m=2aa＞0)且|mg,所以

回M+22+1233

111=(九2/1,2/0,所以乃+422+4见2=(|)2,解得/1二/所以m=故选B.

13.Ba-c=(3,0,D-(U2,3)=(2,-2,-2),0为(a・c>b=-4-2-2〃=2,解得〃=-4，即b=(2L-4).所以

.ab-6+0-4VHU,,、人c

cos<a，b>=丽=®0+ixW6=-k.故选B-

14.C由题设，建立如图所示的空间直角坐标系。乜殍，设正方体A8CQ-A内的棱长为1,则

有A(lA0),5(M,0),C(0,l,0),Di(0,0,1),

•••D^=(l,1,-1),.*.。止=(4/,-2),，PA=PD]+D1i4=(-A,-A,z)+(1,0,-1)=(1-A,-2,2-1),PC=PD1+

D^C=(・Z")+。1,-l)=(-A,l-U-l).

由图知NAPC不是平角，，ZAPC为钝角等价于cosNAPC<0,.・.PA-PC<0,A(I-A)(-；)+(-A)(l-

A)+a-1)2=(、1)(3、1)<(),解得*2v1,

・・・/l的取值范围是(：』).故选C.

15.ACVA(-1,0,1),B(-1,2,2),C(-3,0,4),.-.荏=(0,2,1)4?=(-2,0,3麻=(-2,-2,2),•:AB•冠=0x(-

2)+2x()+lx3=3,故A正确;•・•不存在实数2,使得而交元，故而，而不共线，故B错误;：

而l=J(-2)2+(-2)2+22=2®故C正确;・・・cos＜而，而＞=嚼备=焉育=空，故D错误.故

选AC.

16.A在RtZ\8EC中,tanNBCE二器,所以当8E取最小值时,tan/BCE最小.设A4=2,以A为坐

标原点，分别以直线为x轴、J轴、z轴建立如由所示的空间直角坐标系，则

C(2,2,0),/(0,0,1),。(0,2,2).设£(尤02),所以存=(-2,-2,1),*=(尤-20-2),由条件有而•D^E=-

2x+4+z-2=0,即2r-z-2=0.取AB的中点M则点E的轨迹为线段B\M.当BELB\M时,BE最小，此

时BE二%=竺所以tanNBCE=经=9.故选A.

v55BC5

17.()设而二(-1,1.0),而？=(x,.v,z-1),由题意知，宿=AAB,(x,.v,z-l)=A(-1.1,0)^:=-

则CM=(-2-M-2,4).vCM1福.，・(力1).(-1)+(2-2>1+4x0=0,解得得,・,.点

的坐标为

M乙乙

1。(6)।।(652)由已知得a・b=5x(-2)+3/+lx(-|)=3卓.因为a与b的夹角为钝角，所以

18.''-co,--'U

OOAO

a-b〈0,即3/-性<O,E斤以鞋.

。JL。

5=-2A,

若a与b的夹角为180。,则存在7<0,使a=/lb,即(5,3,1)=/1(2，,-|),所以3=61,所以

T，5

故,的取值范围是(-8,1)U(［，¥).

19.V5以。为原点QAQCDDi所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则

D,(0,0,2),0(IJ,0)0(022),设P(x2z),其中0SE2.0g2万寇=(1,1,-2W=(x-U,z),二。。_L

OP,：.D^O•9=0,即x-1+l2=0,：.x=2z,JP(2z,2,z),易知△GO产为直角三角形，当边GP取最

大值时,△G。।P面积有最大值，讦=(2z,0,z-2),

222

\C1P\=y/4z+z-4z+4=V5z-4z+4,

V0<2