天城院材料力学讲义第5章 梁的内力

第五章梁的内力§5−1概述一、工程实际中的弯曲问题等直杆在其包含杆轴线的纵向平面内，承受垂直于杆轴线的横向外力或外力偶的作用，杆的轴线在变形后成为曲线，这种变形称为弯曲。弯曲变形是构件的基本变形之一，这种以弯曲变形为主的杆件叫做受弯杆或简称为梁。工程结构中经常用梁来承受荷载，例如图5−1a所示房屋建筑中的楼板梁要受到由楼板传递来的均布荷载，图5−1b图图5−1FF（b）墙楼板梁（a）楼板梁发生弯曲变形后，梁的轴线成为一条平面曲线（图5−2），这种弯曲叫做对称弯曲，对称弯曲后，由于梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合，因此也称为平面弯曲。纵向对称面纵向对称面ABFAFBF1F2图5−2若梁不具有纵向对称面，或者梁虽然具有纵向对称面但外力并不作用在纵向对称面内，这种弯曲统称为非对称弯曲。二、梁的支座及支座反力1．可动铰支座这种支座如图5−3a所示，它只限制梁在支承处沿垂直于支承面方向的位移，但不能限制梁在支承处沿平行于支承面的方向移动和转动。故其只有一个垂直于支承面方向的支座反力FRy。2．固定铰支座这种支座如图5−3b所示，它限制梁在支座处沿任何方向的移动，但不限制梁在支座处的转动。故其反力一定通过铰中心，但大小和方向均未知，一般将其分解为两个相互垂直的分量：水平分量FRx和坚向分量FRy，即可认为该支座有两个支座反力。3．固定端支座这种支座如图5−3c所示，它既限制梁在支座处的线位移，也限制其角位移。支座反力的大小、方向都是未知的，通常将该支座反力简化为三个分量FRx、FRy和M，即可认为该支座有三个支座反力。图图5−3(a)FRy(c)MFRyFRxFRyFRx(b)三、静定梁的基本形式常见的简单静定梁有下列三种：((a)(b)(c)图5−4(d)(e)1．简支梁。这种梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座（图5−4a2．悬臂梁。这种梁的一端是固定端支座，另一端是自由端（图5−4b）。3．外伸梁。这种梁相当于简支梁的一端或两端伸出支座以外（图5−4c四、梁的荷载1．集中力。2．集中力偶。(a)((a)(b)(c)图5−5qq(x)MeF§5−2梁的内力及其求法一、剪力、弯矩梁在外力作用下，其横截面上的内力可以通过截面法求出来。如图5−6a所示的简支梁，上述梁在截面m−m上内力——剪力FS和弯矩M的具体数值可由脱离体的平衡条件求得。根据左段梁的平衡条件，由平衡方程：FAlBFAlBFRAFRBxmm图5−6FRAFRBFSFSMM(a)(b)F(c)，（矩心O为截面m−m的形心）可得，。我们也可以右段梁为脱离体，利用其平衡求出梁在m−m截面上的内力，其结果与上面取左段梁为脱离体时求得的FS、M大小相等但方向相反（图5−6c）。二、剪力、弯矩符号的规定1．剪力符号规定截面上的剪力如果有使考虑的脱离体有顺时针转动的趋势则为正，反之为负。如图5−7所示。2．弯矩符号规定截面上的弯矩如果使考虑的脱离体向下凸（或者说使梁下边受拉，上边受压）为正，反之如果使考虑的脱离体向上凸（或者说使梁上边受拉，下边受压）为负，如图9−8所示。FSFSFSFSFS(a)(b)图5−7MMMM(a)(b)图5−8例题5−1试求图a所示梁D截面上的剪力和弯矩。解：首先求出支反力FRC和FRB（图b）。由平衡方程，和ll/2l/2l/2FABCD(a)FABCFRCFRB(b)FSDFACDFRCMD(c)例题5−1图FSDBDFRBMD(d)解得在计算D截面上的剪力FSD和弯矩MD时，将梁沿横截面D截开，取左段脱离体为研究对象，在脱离体上标明未知内力FSD和MD的方向（按符号规定的正号方向标明）。考虑脱离体的平衡得（矩心O为D截面的形心）得求得FSD为正值，说明D截面上剪力的实际方向与假定的方向相同；求得MD为负值，说明D截面上弯矩的实际方向与假定的方向相反。当然，我们也可以取D截面右段脱离体为研究对象（图d），利用脱离体的平衡求得剪力FSD和弯矩MD。三、结论1．梁在任意截面上的剪力，在数值上等于该截面任意一侧（左侧或右侧）脱离体上所有的外力（包括支座反力）沿该截面切向投影的代数和，在左侧脱离体上向上的外力或右侧脱离体上向下的外力投影为正，反之为负。2．梁在任意截面上的弯矩，在数值上等于该截面任意一侧（左侧或右侧）脱离体上所有的外力（包括支座反力）对该截面形心取矩的代数和。§5−3内力图—剪力图和弯矩图为了形象地表明内力沿梁轴线的变化情况，通常用图形将剪力和弯矩沿梁长的变化情况表示出来，这样的图形分别称为剪力图和弯矩图。假设梁截面位置用沿梁轴线的坐标x表示，则梁的各个横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数，即：和通常把它们叫做梁的内力方程——剪力方程和弯矩方程。下面通过例题说明内力图的作法。FxBACl(a)(b)FFFxBACl(a)(b)FFSFl例题5−4图(c)Mxx解：首先利用截面法求得距左端为x的横截面上剪力和弯矩分别为：；上两式即为此梁的剪力方程和弯矩方程，通过此两式便可计算出此梁任意横截面上的剪力和弯矩。剪力图应是一条平行于梁轴线的直线段，如图b所示。弯矩方程是关于坐标x的一次函数，所以弯矩图应是一条斜直线段。这样只要确定出直线上的两个点就可以画出此弯矩图如图c所示。例题5−5图(c)M图ql2例题5−5图(c)M图ql2/80.5qxlBA(a)FRAFRB(b)FS图ql/2ql/2解：利用平衡方程求得取距左端为x的任意横截面（图a），考虑截面左侧的梁段，则梁的剪力和弯矩方程分别为剪力方程是x的一次函数，所以剪力图是一条倾斜直线段。弯矩方程是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线。按照上例的绘图过程，即可绘出剪力图和弯矩图（图b，c）。由图可见，梁在梁跨中横截面上的弯矩值最大，，该截面上；而两支座内侧截面上的剪力值最大，。§5−4荷载、剪力和弯矩间的关系一、荷载、剪力和弯矩间的关系FFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)dxq(x)(b)q(x)AlBxdx(a)F图5−9O （5−1）（5−2）（5−3）二、剪力图、弯矩图的规律1．没有外力作用的区段当梁的某段上没有荷载作用时，剪力图是平行于梁轴线的直线段；弯矩图是一条直线段。2．q(x)为非零常数的区段当梁在某段上作用有均布荷载时，剪力图是一条斜直线段，弯矩图是二次曲线，并且其凹凸方向与外力是一致的。FSMFSMFS1M1dxOF图5−9在集中力作用处剪力图发生突变，突变值等于该集中力值，并且当从左向右作剪力图时突变方向与该集中力方向一致。4．集中力偶作用处FFSMFS1M1dxOMe图5−10在集中力偶作用处剪力图没有发生变化；而弯矩图发生突变，突变值等于该集中力偶值。12KN8KN(b)FS图例题5−12KN8KN(b)FS图例题5−8图6.4KN.M8KN.M1.6m(c)M图BCq=5KN/mMe=8KN.mFRBFRACAB4m2m(a)解：首先由梁的平衡求出支座反力：。由于梁上的外力将梁分为两段，所以需分段绘制剪力图和弯矩图。（1）作剪力图AB段：FSA右=FRA=8kN；FSB左=-12kNBC段：FSB右=FSC左=0此外，还应求出FS=0的截面位置，以确定弯矩的极值。设该截面距梁左端点为x，于是在x处截面上剪力为零，即由以上各段的剪力值并结合微分关系，便可绘出剪力图如图b所示。（2）作弯矩图AB段作用有向下的均布荷载，即q(x)=常数＜0，所以AB段的弯矩图为下凸二次抛物线；BC段没有荷载作用，即q(x)=0，所以BC段的弯矩图为直线。在B支座处，由于有集中力FRB的的作用，弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。两段分界处的弯矩值为MB=-8kN.mAB段内在剪力为零的截面上弯矩有极值，为由分段处的弯矩值和剪力为零处的M极值，并根据微分关系，便可绘出该梁的弯矩图如图c所示。§5−5叠加原理作剪力图和弯矩图应用叠加原理的一般条件是：当效果和各影响因素之间成线性齐次关系时，诸多因素引起的总效果，等于各个因素单独引起的效果的总和。例题5−11试用叠加法画出图a所示梁的剪力图和弯矩图。解：由叠加原理可知，梁在Me和F共同作用下的反力和内力，等于梁在Me和F单独作用时的反力和内力的代数和，即图b和图c两种情况的叠加与图a的情况是等效的。梁在Me和F单独作用下的剪力图和弯矩图如图e、f、h、i所示，e与f叠加就