2026年高考数学终极冲刺：秘籍12：立体几何解答题十二大题型全突破（原卷版及全解全析）

4/4秘籍12：立体几何解答题十二大题型全突破题型考情分析考向预测1.平行关系的证明2025年新高考卷Ⅰ：多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、证明面面垂直、异面直线夹角的向量求法2025年新高考卷Ⅱ：证明线面平行、求二面角、面面角的向量求法2024年新高考卷Ⅰ：证明线面平行、证明面面垂直、由二面角大小求线段长度或距离2024年新高考卷Ⅱ：证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求平面的法向量、面面角的向量求法预测第一问轮换考线面平行、面面垂直核心证明；第二问以空间向量为核心，考查异面直线角、二面角求解。整体趋势以棱锥、棱柱为主要载体，几何证明+空间向量计算结合，题型常规中档，稳中无偏怪难题。2.垂直关系的证明3.求线线夹角4.求线面夹角5.求二面角或两平面的夹角6.已知线面夹角求其他量7.已知面面角求其他量8.求点面距离9.求点线距离10.空间几何体的体积问题11.空间几何体的动点问题12.立体几何新定义题题型1平行关系的证明1.

线线平行：优先找中点、中位线；无中点则构造平行四边形或利用比例线段。2.

线面平行：在平面内找到一条与已知线平行的线，常用中位线转化，书写完整定理依据。3.

面面平行：证明一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面，“相交”必须写清。【例1】（2026·湖南·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．(1)证明：平面；(2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值．【变式1-1】（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1，下面将该物体抽象为一个直四棱柱，如图2，底面为直角梯形，，，，，为的中点，在上且．(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)求四面体的体积．【变式1-2】（2026·贵州毕节·二模）如图，平行六面体的底面是正方形，，且，E，F，G，H分别是，，，的中点.(1)求证：平面平面；(2)求与平面所成角的余弦值.题型2垂直关系的证明1.

线线垂直：优先找垂线、直角三角形；或用勾股定理逆定理。涉及棱锥、棱柱常证“线面垂直”进而推导。2.

线面垂直：证明直线垂直于平面内两条相交直线。多用三垂线定理、面面垂直性质。3.

面面垂直：证明一个面内有一条直线垂直于另一个面；或计算二面角为90度。核心原则：转化优先，证线面垂直是关键枢纽。书写严谨，不漏掉“相交”条件，每步依据写全。【例2】（2026·江西九江·二模）如图，在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，轴截面为四边形，在下底上，，为中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【变式2-1】（2026·山东德州·二模）如图，三棱锥的体积为，是边长为2的等边三角形，，是棱的中点，，其中.(1)证明：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.【变式2-2】（2026·重庆·二模）如图，某几何体由半个圆锥(轴截面为SAB)和三棱锥组成．已知圆锥的底面半径为1，高，为直径，C为底面圆周上异于A，B的动点，M为SC的中点．(1)若，证明：平面平面SAB；(2)在点C运动的过程中，记直线BM与底面ABC所成角为，求的取值范围．题型3求线线夹角1.几何法：平移异面直线至相交，构造三角形，利用余弦定理求解。2.向量法：求出两直线方向向量，代入夹角公式，取向量点积绝对值，算出锐角或直角。注意异面直线所成角范围为。【例3】（2026·广东中山·三模）如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）.(1)证明：平面；(2)求异面直线与的夹角；(3)求三棱锥的体积.【变式3-1】（2026·河北·模拟预测）如图，该几何体是由半圆锥PO和三棱锥P-ABC组合而成的，H为半圆弧AB的中点，A，B，C，H四点共面，△PAB是边长为10的正三角形，BC=8，AC=6，在半圆弧AB上取一点F，使得AF∥BC，连接PF，D，E分别为线段PA，PF的中点．(1)证明：平面ODE∥平面PBC．(2)求异面直线BH与OE所成角的余弦值．题型4求线面夹角1.几何法：找直线在平面内的射影，直线与射影所成锐角即为线面角，解三角形计算。2.向量法：求平面法向量与直线方向向量，利用公式求解，线面角取。【例4】（2026·广东江门·二模）如图，在四棱锥中，正三角形所在平面与矩形所在平面垂直．(1)在答题卡中，作出四棱锥的高，并说明理由；(2)若，且，，求与平面所成角的正弦值．【变式4-1】（2026·广东清远·二模）如图，在六面体中，为的中点，四边形为矩形，且，．(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的余弦值．【变式4-2】（2026·上海·二模）如图，在底面半径为2，侧面积为的圆锥中，A、B、C为底面圆周上不同的三个点，(1)求直线OB与平面PAC所成角的正弦值(2)设点D为线段PB上的动点（不含端点P和B），求证直线OA与CD不垂直题型5求二面角或两平面的夹角1.

核心方法：①三垂线法：过面内一点向另一面作垂线，再向棱作垂线，连线即为平面角。②向量法：建系求两平面法向量，算其夹角。③定义法：直接在棱上取点，作垂直于棱的射线求角。2.

范围区分：二面角：范围是[0°,180°]，包含平角。两平面夹角：范围是[0°,90°]，取锐角或直角。3.

注意：向量法算出的角需根据图形判断为锐角或钝角，再与两平面夹角范围对应。书写步骤完整，结论明确。【例5】（2026·云南玉溪·二模）如图，在四棱锥中，平面，为棱PD上一点，．(1)证明：平面；(2)若，求二面角的余弦值．【变式5-1】（2026·河北·模拟预测）如图，在三棱台中，平面平面，，，，．(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值．【变式5-2】（2026·广东佛山·二模）如图，在三棱锥中，与均为等边三角形，.(1)证明：；(2)若点M到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值.题型6已知线面夹角求其他量利用线面角定义，结合直线方向向量与平面法向量的关联列式。线面角与法向量夹角互余，套用对应三角公式。结合题干边长、垂直条件，建立方程，借助几何关系或空间坐标系，求解线段长度、参数、其他角度等未知量。【例6】（2026·辽宁抚顺·一模）如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为的中点，且，平面平面．(1)求证；平面平面；(2)设直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的余弦值．【变式9-1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面圆周上的点，是上的一点，且是等边三角形．(1)若平面，求的长；(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．题型7已知面面角求其他量已知面面角，几何法可依托二面角平面角，结合垂直、边长关系列等式计算。向量法为核心，求出两平面法向量，利用向量夹角公式建立方程，求解线段长度、参数、点的位置等未知量。【例10】2026·北京通州·一模）如图，在三棱锥中，为边长为的等边三角形，，，为棱的中点．(1)求证：平面平面；(2)棱上（端点除外）是否存在一点，使得平面与平面的夹角为．若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【变式10-1】（2026·新疆·三模）如图所示，四边形是边长为2的正方形，以为圆心的半圆面垂直于平面，是半圆弧上的动点.(1)证明：平面平面；(2)若平面和平面所成锐二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.题型8求点面距离1.几何法：过点作平面垂线，确定垂足，利用垂直关系直接计算垂线段长度。2.等体积法：构造棱锥，换底列式，由体积相等求解高，即为点面距离。3.向量法：建系求平面法向量，代入点到平面距离公式，代入坐标直接运算。【例8】（2026·安徽马鞍山·二模）如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且．(1)求点到平面的距离；(2)点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值．【变式8-1】（2026·天津东丽·一模）如图，在三棱锥中，平面ABC，为等腰三角形，，，M为AD的中点，P是的中点，且．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的正切值；(3)求点M到平面的距离．题型9求点线距离1.几何法：过点作直线垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。2.等面积法：以线段为底、点线距离为高，借助三角形面积恒等计算。3.向量法：取直线方向向量与线上任意点，利用向量投影公式，快速求出垂线段长度。【例9】（2026·河南·模拟预测）如图，在正四棱柱中，．(1)求点到直线的距离；(2)求二面角的正弦值．【变式10-1】（2026·上海崇明·二模）如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．题型10空间几何体的体积问题1.直接公式法：柱体、锥体、台体套用对应体积公式。2.割补法：分割或补形，化为规则几何体求解。3.等体积转化：换底面与高，简化运算，常用于锥体。4.向量法：建系求底面积与高，代入公式计算。结合面面垂直、点面距离，快速确定几何体的高。【例10】（2026·广东·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，,点满足.(1)若.（i）证明：平面；（ii）求三棱锥的体积.(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求.【变式10-1】（2026·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，.(1)求证：平面；(2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值；(3)求三棱锥的体积.题型11空间几何中的动点问题在解决探索性问题中点的存在性时，经常需要设出点的坐标，而（x，y，z）可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大.为了减少变量数量，用以下设法.1.直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；依据：根据平面向量共线定理——若a//b⟹2.平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标.3.依据：平面向量基本定理,若a,b不共线，则平面上任意一个向量c，均存在x，y∈R，使得【例11】（2026·山东东营·一模）如图，在三棱锥中，平面⊥平面，，分别为棱上的点.(1)若∥，∥，证明:∥；(2)若分别为棱的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【变式11-1】（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知四棱锥中，底面，在四边中，满足，，，．(1)求证：平面平面；(2)设，若线段上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．题型12立体几何新定义题1.

吃透定义：仔细阅读新定义，提取核心关键词，明确新概念的性质、图形与度量要求，转化为数学语言。2.

画图分析：依据题意画出准确图形，标注已知条件。结合常用定理，通过辅助线或截面，把新问题转化为熟悉的线面关系。3.

选法求解：根据题目具体类型，距离角度用向量或几何法，截面展开用割补法，最值问题则结合函数或不等式思想求解。4.

严谨结论：计算完毕后，检查结果是否符合新定义范围与实际意义，确保推理逻辑严密，步骤规范完整。【例12】（2026·辽宁沈阳·三模）世界模型是人工智能领域中，通过学习客观世界的物理规则与因果关系，构建时空统一表征，实现环境状态预测与动态演化模拟的核心技术模型.其数学基础之一就是在三维空间中对几何对象进行解析化的计算.例如，在空间直角坐标系中，已知过点且法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为，基于以上知识，解决如下问题.(1)已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，求直线与平面所成的角的正弦值；(2)求通过直线且与平面垂直的平面方程；(3)已知直线为两个平面与的交线，直线为两个平面与的交线，若直线与直线、都相交且都垂直，则定义为两条直线、的公垂线，两个交点之间的距离称作两条直线、的距离，求、的距离与公垂线方程.【变式12-1】（25-26高三上·江西南昌·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知；(1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）；(2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为.（ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值；（ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长.1．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，点满足.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求直线与底面所成角的正弦值.2．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，．(1)证明：；(2)若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离．3．（2026·陕西西安·模拟预测）在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，，的中点，为棱上一点，且，．(1)求证：平面平面．(2)线段（含端点）上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．4．（25-26高三上·天津河西·期末）已知正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点．

(1)求证：面面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求四棱锥的体积．5．（2026·上海长宁·二模）如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，.(1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；(2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值6．（2026·河南开封·二模）如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面．

(1)证明：；(2)记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值；(3)若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值．7．（2026·江苏·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点，是的中点.

(1)求证：平面；(2)若，①求直线与平面所成角的正弦值；②平面将四棱锥分成两部分，求较小部分的体积.8．（2026·河南周口·模拟预测）如图为半径为2的圆的直径，点为圆上的两点，且.如图2，将圆沿翻折，为线段上的一点，连接.(1)若为的中点，证明：；(2)若平面平面，求二面角的余弦值.9.（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）如图，在三棱柱中，，，．(1)证明：；(2)若，，在线段上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．10.（2026·陕西榆林·模拟预测）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中．(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和；(2)若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．（i）求点到平面的距离；（ii）若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．

秘籍12：立体几何解答题十二大题型全突破题型考情分析考向预测1.平行关系的证明2025年新高考卷Ⅰ：多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、证明面面垂直、异面直线夹角的向量求法2025年新高考卷Ⅱ：证明线面平行、求二面角、面面角的向量求法2024年新高考卷Ⅰ：证明线面平行、证明面面垂直、由二面角大小求线段长度或距离2024年新高考卷Ⅱ：证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求平面的法向量、面面角的向量求法预测第一问轮换考线面平行、面面垂直核心证明；第二问以空间向量为核心，考查异面直线角、二面角求解。整体趋势以棱锥、棱柱为主要载体，几何证明+空间向量计算结合，题型常规中档，稳中无偏怪难题。2.垂直关系的证明3.求线线夹角4.求线面夹角5.求二面角或两平面的夹角6.已知线面夹角求其他量7.已知面面角求其他量8.求点面距离9.求点线距离10.空间几何体的体积问题11.空间几何体中的动点问题12.新定义题题型1平行关系的证明1.

线线平行：优先找中点、中位线；无中点则构造平行四边形或利用比例线段。2.

线面平行：在平面内找到一条与已知线平行的线，常用中位线转化，书写完整定理依据。3.

面面平行：证明一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面，“相交”必须写清。【例1】（2026·湖南·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．(1)证明：平面；(2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法【分析】（1）取的中点，连接，，证明为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求出；（2）法一：先根据体积求出点到平面的距离，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式即可求出最大值；法二：先根据体积求出点到平面的距离，延长和交于点，过作于，找到为平面与平面的夹角，再根据三角形面积相等得，同时结合即可求出.【详解】（1）取的中点，连接，，，分别是和的中点，与平行且xd；和都垂直于平面，且，与平行且相等，与平行且相等，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面．（2）设到平面的距离为，则，故．法一：由于垂直于平面，建立如图空间直角坐标系，，，，，，，设，则，，，设平面的法向量为，则由得取，得，，因此平面的一个法向量．由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量．设平面与平面的夹角为，则，∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为．法二：延长和交于点，过作于，平面，，又,，且两直线在平面内，平面，，为平面与平面的夹角，由，得，而，所以，当且仅当时等号成立；，，∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为．【变式1-1】（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1，下面将该物体抽象为一个直四棱柱，如图2，底面为直角梯形，，，，，为的中点，在上且．(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)求四面体的体积．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、证明线面平行、线面角的向量求法【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面即可；（2）求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解；（3）利用向量法求出，再由三棱锥体积公式求解.【详解】（1）以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，根据已知得，，，，，，，，，，则，，，设平面的法向量为．则，令，则，因为，所以，所以平面.（2），，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，与平面所成角的正弦值为.（3）因为，，，所以，所以．【变式1-2】（2026·贵州毕节·二模）如图，平行六面体的底面是正方形，，且，E，F，G，H分别是，，，的中点.(1)求证：平面平面；(2)求与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明面面平行、线面角的向量求法【分析】（1）利用线面平行来证明线面平行即可；（2）利用空间向量法来求线面角的余弦值.【详解】（1）因为分别是的中点，所以是的中位线，得，又因为分别是​的中点，所以​，在平行六面体中，，因此，平面，平面，故平面；由是​中点，是的中点，结合平行六面体的性质可得，且，所以四边形​是平行四边形，得，因为平面，平面，所以平面，因为，且平面，因此平面平面；（2）如图以为原点建立空间直角坐标系，不妨设，根据题设条件得各点坐标，设则由，且，可得都是等边三角形，即，则，解得，即所以取平面中向量：，，设平面​的法向量，则，不妨令，则，即平面​的法向量，设直线与平面所成角为，则，因为为锐角，所以，即与平面所成角的余弦值为.题型2垂直关系的证明1.

线线垂直：优先找垂线、直角三角形；或用勾股定理逆定理。涉及棱锥、棱柱常证“线面垂直”进而推导。2.

线面垂直：证明直线垂直于平面内两条相交直线。多用三垂线定理、面面垂直性质。3.

面面垂直：证明一个面内有一条直线垂直于另一个面；或计算二面角为90度。核心原则：转化优先，证线面垂直是关键枢纽。书写严谨，不漏掉“相交”条件，每步依据写全。【例2】（2026·江西九江·二模）如图，在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，轴截面为四边形，在下底上，，为中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出，推导出平面，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.【详解】（1）在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，所以，因为为的中点，所以，易知平面，平面，所以，又因为，，、平面，所以平面，因为平面，所以，因为，、平面，故平面.（2）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、，设平面的一个法向量为，，，则，取，则，易知平面的一个法向量为，所以.故平面与平面夹角的余弦值为.【变式2-1】（2026·山东德州·二模）如图，三棱锥的体积为，是边长为2的等边三角形，，是棱的中点，，其中.(1)证明：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面垂直、线面角的向量求法【分析】（1）根据三棱锥的体积公式和，得出是线段的中点，得出平面，再证平面平面即可；（2）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，进而求出平面的法向量，最后根据向量法即可求解.【详解】（1）设点到平面的距离为，则，又因为三棱锥的体积为，所以；又，是线段的中点，所以，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以，因为，，设直线与平面所成的角为，则，解得：，【变式2-2】（2026·重庆·二模）如图，某几何体由半个圆锥(轴截面为SAB)和三棱锥组成．已知圆锥的底面半径为1，高，为直径，C为底面圆周上异于A，B的动点，M为SC的中点．(1)若，证明：平面平面SAB；(2)在点C运动的过程中，记直线BM与底面ABC所成角为，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法【分析】（1）由直角三角形的性质可得，然后利用线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，由线面夹角的向量公式得，然后根据余弦函数性质求解即可．【详解】（1）因为为直径，所以，又，所以，则，又为中点，所以，因为平面，平面，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面SAB．（2）以为原点，以所在直线为轴，过点O且垂直平面SAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，设，则，，所以，平面的一个法向量为，则，因为，所以，所以．题型3求线线夹角1.几何法：平移异面直线至相交，构造三角形，利用余弦定理求解。2.向量法：求出两直线方向向量，代入夹角公式，取向量点积绝对值，算出锐角或直角。注意异面直线所成角范围为。【例3】（2026·广东中山·三模）如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）.(1)证明：平面；(2)求异面直线与的夹角；(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明过程见解析(2)(3)【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、异面直线夹角的向量求法【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，先求坐标，运用向量数量积求解夹角；（3）转换三棱锥的顶点，计算出底面积和高即可求解体积.【详解】（1）由底面，底面，得；又，，故，，因此平面.平面，故.在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即.又，平面，因此平面，得证.（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，由题意得各点坐标.由（1）可知，所以.因为所以为的中点，得.，则，，所以，解得，即.得，.，故，因此异面直线与的夹角为.（3）由（2）可知，，设平面的法向量为，则，化简得令，得，因此平面的一个法向量为.，点到平面的距离，​又，，​，.故，三棱锥体积.【变式3-1】（2026·河北·模拟预测）如图，该几何体是由半圆锥PO和三棱锥P-ABC组合而成的，H为半圆弧AB的中点，A，B，C，H四点共面，△PAB是边长为10的正三角形，BC=8，AC=6，在半圆弧AB上取一点F，使得AF∥BC，连接PF，D，E分别为线段PA，PF的中点．(1)证明：平面ODE∥平面PBC．(2)求异面直线BH与OE所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明面面平行、异面直线夹角的向量求法【分析】（1）利用三角形的中位线以及平行的传递性证得DE∥平面PBC，根据平面与平面平行的判定定理即可证得.（2）建立空间直角坐标系，分别求出，坐标，利用向量法求异面直线BH与OE所成角的余弦值即可.【详解】（1）由D，E分别为线段PA，PF的中点，知DE∥AF，又由AF∥BC，知DE∥BC，平面PBC，平面PBC，故DE∥平面PBC又由D，O分别为线段PA，AB的中点，知OD∥PB，平面PBC，平面PBC，故OD∥平面PBC，又由OD，DE⊂平面ODE，且OD∩DE=D，知平面ODE∥平面PBC．（2）以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，．又△PAB是边长为10的正三角形，知则．过点F作FG⊥AB，垂足为G，由AB=10，BC=8，AC=6，知又由AF∥BC，知则AF=8，知故又E为线段PF的中点，则故则.故异面直线BH与OE所成角的余弦值为题型4求线面夹角1.几何法：找直线在平面内的射影，直线与射影所成锐角即为线面角，解三角形计算。2.向量法：求平面法向量与直线方向向量，利用公式求解，线面角取。【例4】（2026·广东江门·二模）如图，在四棱锥中，正三角形所在平面与矩形所在平面垂直．(1)在答题卡中，作出四棱锥的高，并说明理由；(2)若，且，，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)，理由见解析；(2).【知识点】面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法【分析】（1）作出高，再利用面面垂直的性质推理证明.（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解.【详解】（1）取的中点，连接，则是四棱锥的高.由是正三角形，是线段的中点，得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，所以是四棱锥的高.（2）取中点，连接，由（1）得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，得，，设平面的法向量，则，取，得，因此，所以与平面所成角的正弦值为.【变式4-1】（2026·广东清远·二模）如图，在六面体中，为的中点，四边形为矩形，且，．(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证.（2）由余弦定理求出，并利用勾股定理逆定理证得，再建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解.【详解】（1）由四边形为矩形，得，又，平面，则平面，而平面，所以.（2）在中，，由余弦定理得，则，于是，由（1）得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，得，又D为的中点，则，于是，设平面的法向量为，则，取，得，，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的余弦值.【变式4-2】（2026·上海·二模）如图，在底面半径为2，侧面积为的圆锥中，A、B、C为底面圆周上不同的三个点，(1)求直线OB与平面PAC所成角的正弦值(2)设点D为线段PB上的动点（不含端点P和B），求证直线OA与CD不垂直【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】圆锥表面积的有关计算、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法【分析】（1）利用侧面积求解出圆锥的高，再利用建系的方法，求出直线OB与平面PAC所成角的正弦值.（2）利用向量的方法，将点在线段上刻画为接着证明直线与的数量积不为零.【详解】（1）所以可以建立如右图所示的空间直角坐标系，所以设则母线长为则侧面积为解得：所以设面的法向量为所以不妨令则所以设直线OB与平面PAC所成角为所以（2）因为D为线段PB上的动点，所以设由（1）知所以直线OA与CD不垂直.题型5求二面角或两平面的夹角1.

核心方法：①三垂线法：过面内一点向另一面作垂线，再向棱作垂线，连线即为平面角。②向量法：建系求两平面法向量，算其夹角。③定义法：直接在棱上取点，作垂直于棱的射线求角。2.

范围区分：二面角：范围是[0°,180°]，包含平角。两平面夹角：范围是[0°,90°]，取锐角或直角。3.

注意：向量法算出的角需根据图形判断为锐角或钝角，再与两平面夹角范围对应。书写步骤完整，结论明确。【例5】（2026·云南玉溪·二模）如图，在四棱锥中，平面，为棱PD上一点，．(1)证明：平面；(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法【分析】（1）如图，连接，设，可证，由线面平行的判定定理可证平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值．【详解】（1）如图，连接，设，因为，且，故，而，故，故，而平面，平面，故平面.（2）因为，故，故，而平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，故，又.设平面的法向量为，则即，取，设平面的法向量为，则即，取，设二面角的平面角为，由题设可得为锐角，故.【变式5-1】（2026·河北·模拟预测）如图，在三棱台中，平面平面，，，，．(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)见解析(2)【知识点】面面角的向量求法、面面垂直证线面垂直、证明线面垂直【分析】（1）根据线面垂直的判定证明即可；（2）根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后将每个点的坐标列出来，根据空间向量的垂直关系，求出平面与平面的法向量的坐标，进而根据空间向量夹角的余弦公式即可求出二面角的正弦值.【详解】（1）证明：，，，即，在三棱台中，，，，，，即，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，又，，则，平面，平面，又平面，，又平面,平面；（2）由（1）知，平面，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过作垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，所以，，，.所以，，设平面的一个法向量为，则，不妨取，则，设平面的一个法向量为，，不妨取，则所以.则二面角的正弦值为．【变式5-2】（2026·广东佛山·二模）如图，在三棱锥中，与均为等边三角形，.(1)证明：；(2)若点M到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】面面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直【分析】（1）取中点，证明平面，即可证明；（2）建系，利用空间向量求面面夹角.【详解】（1）取中点，连，由知，又平面，所以平面.因为平面，所以.（2）过作交于，则平面，所以.又，所以中，，由余弦定理可求得，，所以.以为原点，如图建系，平面中，，设法向量为，则.即，令，所以.设平面的法向量为，,则.即，令，所以.所以.题型6已知线面夹角求其他量利用线面角定义，结合直线方向向量与平面法向量的关联列式。线面角与法向量夹角互余，套用对应三角公式。结合题干边长、垂直条件，建立方程，借助几何关系或空间坐标系，求解线段长度、参数、其他角度等未知量。【例6】（2026·辽宁抚顺·一模）如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为的中点，且，平面平面．(1)求证；平面平面；(2)设直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明面面垂直、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法、已知线面角求其他量【分析】（1）推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．（2）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，先根据线面角正弦值得出，再应用线面角正弦公式计算得，最后应用同角三角函数关系计算余弦值．【详解】（1）在等腰梯形中，，，，是的中点，，所以四边形是菱形，，因为平面平面，平面平面，又，为的中点，所以，平面，平面，平面，，平面，平面，，平面，平面，所以平面平面．（2）由底面为等腰梯形，如图，取的中点，连接，可得，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，因为，，所以，设，

则，则，，设平面的一个法向量，则，令，得，因为直线与平面所成的角为，所以，所以，即，设平面的一个法向量，，，则，令，得，设直线与平面所成角为，则．所以直线与平面所成角的余弦值为．【变式9-1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面圆周上的点，是上的一点，且是等边三角形．(1)若平面，求的长；(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)(2)【知识点】线面平行的性质、面面角的向量求法、已知线面角求其他量【分析】（1）作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合正弦定理进行求解；（2）建立空间直角坐标系，根据线面角正弦值得到点坐标，进而求出面面角的余弦值.【详解】（1）设与相交于点，连接，圆锥的底面圆圆心为，因为平面，平面平面，平面，所以，故，是边长为2的等边三角形，故，，又是等边三角形，为的外接圆圆心，则由正弦定理得，故，故，所以；（2）过点作⊥，交圆于点，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，则，其中平面的一个法向量为，故与平面所成角大小为，则，解得或（舍去），所以，，又，设平面的一个法向量为，则，解得，令得，故，设平面与平面夹角大小为，则.题型7已知面面角求其他量已知面面角，几何法可依托二面角平面角，结合垂直、边长关系列等式计算。向量法为核心，求出两平面法向量，利用向量夹角公式建立方程，求解线段长度、参数、点的位置等未知量。【例10】2026·北京通州·一模）如图，在三棱锥中，为边长为的等边三角形，，，为棱的中点．(1)求证：平面平面；(2)棱上（端点除外）是否存在一点，使得平面与平面的夹角为．若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法、已知面面角求其他量【分析】（1）利用面面垂直的判定定理，结合等边三角形、等腰三角形的三线合一性质及勾股定理逆定理，证明平面即可完成推导；（2）通过建立空间直角坐标系，引入参数表示点的坐标，求解两个平面的法向量，利用二面角的余弦值列方程求解参数，结合参数范围验证即可

.【详解】（1）∵为边长为2的等边三角形，为中点，∴，且.∵，为中点，∴，且，故，∴.∵，∴，故.∵，平面，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）由第一小问，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，，，，.设，则，所以点坐标为.∵，且平面∴平面∴平面的法向量为.设平面的法向量为，其中，，∴令，代入解得，，∴.已知平面与平面的夹角为，∴代入数据得两边约去后平方整理得，解得或.∵，∴.因此存在满足条件的点，且.【变式10-1】（2026·新疆·三模）如图所示，四边形是边长为2的正方形，以为圆心的半圆面垂直于平面，是半圆弧上的动点.(1)证明：平面平面；(2)若平面和平面所成锐二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、证明面面垂直、已知面面角求其他量【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质，证得，再由圆的性质，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，得到，分别求得平面和的法向量和，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，得到的坐标，结合体积公式，即可求解.【详解】（1）证明：因为为正方形，可得，又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因为平面，所以，因为为圆的直径，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：以为坐标原点，以平行于方向的所在直线为轴，以所在直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，且，可得向量，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，由（1）知，平面，所以平面的一个法向量为，因为，所以，设平面与平面所处的角为，则，整理得，解得或（舍去），所以，所以，所以点到平面的距离为，即四棱锥的高为，所以四棱锥的体积为题型8求点面距离1.几何法：过点作平面垂线，确定垂足，利用垂直关系直接计算垂线段长度。2.等体积法：构造棱锥，换底列式，由体积相等求解高，即为点面距离。3.向量法：建系求平面法向量，代入点到平面距离公式，代入坐标直接运算。【例8】（2026·安徽马鞍山·二模）如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且．(1)求点到平面的距离；(2)点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【知识点】点到平面距离的向量求法、线面角的向量求法、求线面角、求点面距离【分析】（1）法1，利用三棱锥等体积，计算得解；法2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（2）法1，取中点，可得二面角的平面角为，进而求得，得解；法2，利用向量法求得平面和平面的法向量，进而求得点的坐标，计算得解.【详解】（1）方法－：因为为直径，所以，由，得，，所以，所以，在中，，，所以，设点到平面的距离为，由，得.方法二：取弧的中点，连接，则，以为坐标原点，方向为轴方向如图建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，，令，得，则点到平面的距离为.（2）方法一：取中点，连接、，则，又平面，则，，故面，故，所以二面角的平面角为，即，在等边中，，为等腰直角三角形得，在中，，故所求线面角，.方法二：设，设平面的法向量，，令，得，底面的法向量，则，得，即，，设直线与底面所成角为，则.【变式8-1】（2026·天津东丽·一模）如图，在三棱锥中，平面ABC，为等腰三角形，，，M为AD的中点，P是的中点，且．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的正切值；(3)求点M到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【知识点】点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明【分析】（1）根据线面垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用线面平行的判定定理和平面法向量的性质进行运算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可.【详解】（1）在平面ABC中，以A为原点，AB所在直线为x轴，作y轴，因为平面ABC，以AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，，，因为平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为，因为，平面，

所以平面；（2）因为y轴⊥平面BDM，所以平面BDM的一个法向量为，，

设平面BCD的一个法向量为，，取，则，所以，

设平面BCD与平面BDM的夹角为，，，

所以平面BCD与平面BDM夹角的正切值为；（3），设点M到平面BCD的距离为d，.题型9求点线距离1.几何法：过点作直线垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。2.等面积法：以线段为底、点线距离为高，借助三角形面积恒等计算。3.向量法：取直线方向向量与线上任意点，利用向量投影公式，快速求出垂线段长度。【例9】（2026·河南·模拟预测）如图，在正四棱柱中，．(1)求点到直线的距离；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)【知识点】面面角的向量求法、点到直线距离的向量求法【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，根据点到直线距离向量法计算求解；（2）根据面面角向量法计算求解.【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，由，得，所以，所以点到直线的距离为；（2），设平面的一个法向量为，则，取，则，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，取，则，所以平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，因为，所以，即二面角的正弦值为.【变式10-1】（2026·上海崇明·二模）如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明线面平行、锥体体积的有关计算【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，则可得，再利用线面平行判定定理即可得证；（2）由为的中点，可得，再利用等体积法计算即可得解.【详解】（1）由直三棱柱性质可得，，由D，E分别是，的中点，则，，则四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面；（2）由，，则，故为等腰直角三角形，则点到的距离为，则点到的距离为，由为的中点，则点与点到平面的距离相等，故.题型10空间几何体的体积问题1.直接公式法：柱体、锥体、台体套用对应体积公式。2.割补法：分割或补形，化为规则几何体求解。3.等体积转化：换底面与高，简化运算，常用于锥体。4.向量法：建系求底面积与高，代入公式计算。结合面面垂直、点面距离，快速确定几何体的高。【例10】（2026·广东·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，,点满足.(1)若.（i）证明：平面；（ii）求三棱锥的体积.(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求.【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）(2).【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、已知线面角求其他量【分析】（1）（i）先由平面证得，再由解三角形证明，再由线面垂直的判定定理即可证得结论；（ii）根据平面，利用等体积转化和棱锥体积公式，求三棱锥的体积即可；（2）如图建系，写出相关点和相关向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得.【详解】（1）（i）由平面，而平面，可得，因，则依题意，，在中，，故，因，平面，故平面.（ii）此时，由勾股定理得，于是.（2）以为坐标原点，垂直于平面的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，于是，.设平面的法向量为，则，故可取.记直线与平面所成角为，则，两边平方，整理得，即，由可得.【变式10-1】（2026·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，.(1)求证：平面；(2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值；(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、已知线面角求其他量【分析】（1）证法一：连接与交于,连,由相似比与已知比例得,从而证得线面平行.证法二：以为原点建系,写出各点坐标,求出平面的法向量,再验证与法向量垂直,且不在面内,从而证得线面平行.（2）解法一：设向量,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得,算出坐标,最终求得长度.解法二:设向量,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得,算出坐标,最终求得长度.（3）解法一：由得体积比例关系,用棱锥体积公式直接算出.解法二：先在中求边长与正弦值,再用向量求点到面的距离,代入体积公式得结果.【详解】（1）证法一：连接与交于点，再连接，因为，所以因为，所以，所以，又因为平面，所以平面证法二：以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.则.设是平面的一个法向量，，则，令，则，平面的一个法向量为.因为，所以，又因为平面，所以平面（2）解法一：设，得，，设直线与平面所成角为，则，化简得，因为，得，，所以线段的值为.解法二：设，得，，设直线与平面所成角为，则，化简得，因为，得，，所以线段的值为.（3）解法一：因为，所以，解法二：由（1）所建立的坐标系可得.则故由余弦定理可得所以，由（1）得,平面的一个法向量为.点到平面的距离.题型11空间几何中的动点问题在解决探索性问题中点的存在性时，经常需要设出点的坐标，而（x，y，z）可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大.为了减少变量数量，用以下设法.1.直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；依据：根据平面向量共线定理——若a//b⟹2.平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标.3.依据：平面向量基本定理,若a,b不共线，则平面上任意一个向量c，均存在x，y∈R，使得【例11】（2026·山东东营·一模）如图，在三棱锥中，平面⊥平面，，分别为棱上的点.(1)若∥，∥，证明:∥；(2)若分别为棱的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，或【分析】（1）先由面面平行的判定定理证明平面∥平面，再由面面平行的性质定理证明∥；（2）由面面垂直的性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，设棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且，由面面角的向量求法列出关于的方程，求解可得.【详解】（1）若∥，平面，平面，所以∥平面；若∥，平面，平面，所以∥平面.因为平面，所以平面∥平面.又平面平面，平面平面，所以∥.（2）因为，所以，所以.因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面.过作，垂足为，则.所以.如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则.所以.设：在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且，则，所以.设平面的法向量为，则.令，则.所以平面的法向量为.由平面，知平面的一个法向量为.所以，即，化简得，解得或.故在棱上存在点G，使得平面与平面所成角为，此时或.【变式11-1】（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知四棱锥中，底面，在四边中，满足，，，．(1)求证：平面平面；(2)设，若线段上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用线面垂直的性质得，再结合，最后利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用点到点的距离公式得到方程，最后根据判别式即可判断.【详解】（1）因底面底面，则，又平面，则平面，又平面，则平面平面.（2）以为原点，建立空间直角坐标系，如图．由，设，于是，其中，则．由，可得．假设存在一个点，使得点到点,,,的距离都相等，则，由，可得．又，其判别式，故方程无解，即线段上不存在一个点，使得点到点,,,的距离都相等．题型12立体几何新定义题1.

吃透定义：仔细阅读新定义，提取核心关键词，明确新概念的性质、图形与度量要求，转化为数学语言。2.

画图分析：依据题意画出准确图形，标注已知条件。结合常用定理，通过辅助线或截面，把新问题转化为熟悉的线面关系。3.

选法求解：根据题目具体类型，距离角度用向量或几何法，截面展开用割补法，最值问题则结合函数或不等式思想求解。4.

严谨结论：计算完毕后，检查结果是否符合新定义范围与实际意义，确保推理逻辑严密，步骤规范完整。【例12】（2026·辽宁沈阳·三模）世界模型是人工智能领域中，通过学习客观世界的物理规则与因果关系，构建时空统一表征，实现环境状态预测与动态演化模拟的核心技术模型.其数学基础之一就是在三维空间中对几何对象进行解析化的计算.例如，在空间直角坐标系中，已知过点且法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为，基于以上知识，解决如下问题.(1)已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，求直线与平面所成的角的正弦值；(2)求通过直线且与平面垂直的平面方程；(3)已知直线为两个平面与的交线，直线为两个平面与的交线，若直线与直线、都相交且都垂直，则定义为两条直线、的公垂线，两个交点之间的距离称作两条直线、的距离，求、的距离与公垂线方程.【答案】(1)(2)(3)距离为，【详解】（1）取的法向量为，上的点满足，在方程组中取得，所以点在直线上.取得，所以点在直线上.所以直线的方向向量可以取为，取直线与平面所成的角为，则.（2）取平面满足且，取的法向量为，直线的方向向量为，平面的法向量为，所以，不妨取，因为点在直线r上，所以点在平面内，所以的方程为，整理得（3）因为上的点满足，所以可取上的点为，例如、均为上的点，所以的方向向量取为，同理因为上的点满足，所以可取上的动点为，例如、均为上的点，所以的方向向量可取为，方法一：若直线为、的公垂线，则，，因为，所以，所以，所以、为公垂线在两条直线上的垂足，此时，所以、的距离为，所以公垂线方程为；方法二：因为，所以，，当且仅当时取等，所以、的距离为，此时、为公垂线在两条直线上的垂足，所以，所以公垂线方程为【变式12-1】（25-26高三上·江西南昌·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知；(1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）；(2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为.（ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值；（ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长.【答案】(1)(2)（i）；（ii）【详解】（1）由题意，，，，所以，则有，所以球面三角形ABC面积为.（2）因为平面，平面，所以.设，则，所以.由勾股定理的逆定理可得，又，平面，所以平面，又平面，所以，因为直线与平面所成的角为，所以.易知在和中，斜边的中点到点的距离相等，即为球的直径，所以.以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（i）由题可知，则.设与都垂直的向量为，则，令，则，所以线段长度的最小值为.（ii）设，由题可知，则.设平面的一个法向量为，则，取，可得.设平面的一个法向量为，则，取，可得.设平面与平面的夹角为.因为=，化简得则，故.1．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，点满足.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求直线与底面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【知识点】求异面直线所成的角、求线面角【分析】（1）通过平行线将异面直线的夹角转化为同一平面内相交直线的角，然后利用余弦定理求解即可；（2）根据向量关系得点P的位置，可得点到平面的距离为，利用余弦定理求得，然后根据线面角的定义求解即可.【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形，，所以，因为底面，底面，所以，所以，因为，所以异面直线与所成角为，在中，，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.（2）因为点满足，所以点为的四等分点且靠近点C，所以点到平面的距离为，在中，，又，所以，所以，所以直线与底面所成角的正弦值为.2．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，．(1)证明：；(2)若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】点到直线距离的向量求法、异面直线夹角的向量求法、面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直【分析】（1）由面面垂直的性质，可得平面，据此可得线线垂直；（2）建立如图所示空间直角坐标，根据异面直线所成的角求出点的坐标，再由点到直线的距离公式求解即可.【详解】（1）在中，，由余弦定理可得：，则，所以有，则由平面平面，平面平面，且，平面，则平面，又平面，则.（2）取中点分别为，连接由为正三角形知，，结合（1）中平面，由，可知平面，则两两垂直，如图所示，以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，可得设，则，且，可得由，解得或（舍去），则，且故点到直线的距离3．（2026·陕西西安·模拟预测）在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，，的中点，为棱上一点，且，．(1)求证：平面平面．(2)线段（含端点）上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，点为上靠近点的四等分点【知识点】证明面面垂直、已知面面角求其他量、空间线段点的存在性问题【分析】（1）由面面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直，进而得到面面垂直．（2）建立空间直角坐标系，令，，利用空间向量的夹角公式建立关于的方程，通过判断此方程是否有解进行判断．【详解】（1）因为平面平面，平面平面，又平面，且，所以平面．因为平面，所以．因为，，分别为，，的中点，所以，且，，且，所以四边形为平行四边形．又，，所以，且，所以四边形为正方形，所以．因为，且，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）由（1）知，四边形为正方形，又平面，所以，，两两垂直，故以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，．假设上存在点满足条件，令，，则，．设平面的法向量为，则令，则，，故平面的一个法向量为．易知平面的一个法向量为．因为平面与平面夹角的余弦值为，所以解得或（舍），即当点为上靠近点的四等分点时，平面与平面夹角的余弦值为．4．（25-26高三上·天津河西·期末）已知正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点．

(1)求证：面面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)(3)16【知识点】面面角的向量求法、证明面面平行、锥体体积的有关计算【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，证明这两个法向量平行或相等即可；（2）利用二面角的向量公式计算即可；（3）利用点到面的距离公式，以及棱锥的体积公式计算即可.【详解】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，

，，，，设是平面的法向量，则，解得，取，则，，得是平面的一个法向量．设是平面的法向量，则，解得，取，则，，得是平面的一个法向量．，平面平面．（2）是平面的一个法向量．设平面与平面夹角为，则,即平面与平面夹角的余弦值为.（3），，，又是平面的一个法向量，点A到平面的距离．，梯形为等腰梯形，易得梯形的高为，，．5．（2026·上海长宁·二模）如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，.(1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；(2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值【答案】(1)(2)【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、求二面角、由线面角的大小求值【分析】（1）根据条件求圆锥的高，再求体积；（2）首先根据线面角求，再根据垂直关系，构造二面角的平面角，即可求解.【详解】（1）设圆锥的底面半径为，母线为，，