福建福州市台江区九校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页福建福州市台江区九校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知平面向量a=2,x−1，b=6,2−x，若向量a与b共线，则A.−2 B.2 C.5 D.52.复数z满足(z+1)⋅i=1−2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是(

)A.−3 B.−3i C.1 D.i3.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为420π，则圆台较小底面圆的半径为(

)A.7 B.6 C.5 D.34.在▵ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，则AB+AC−2A.0 B.ED C.DE D.25.如图，▵O′A′B′是一个平面图形的直观图，其中▵O′A.4 B.42 C.8 6.已知向量a=(x,1)，b=(4,x)，则“x>0”是“向量a与b的夹角为锐角”的(

)A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S.若a=1，C=π4且4S=acosB+bcosA.5π６ B.7π12 C.π68.平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，AB⋅AD=42，点P在边CD上，则A.−1,8 B.−1,4+2 C.−2,4+4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,3)，b=(2,y),(a+A.b=(2,−3) B.向量a，b的夹角为3π4

C.|a+12b10.下列说法正确的是(

)A.z⋅z=|z|2,z∈C

B.i2025=i

C.若|z|=1,z∈C，则|z−2|的最小值为2

D.若11.对于▵ABC有如下命题，其中正确的是(

)A.若sin2A+sin2B+cos2C<1，则▵ABC为钝角三角形

B.若B=π3,a=23，且▵ABC有两解，则b的取值范围是(3,2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了

cm．13.海上一观测站A测得南偏西60∘的方向上有一艘停止待维修的商船D，在商船D的正东方有一艘海盗船B正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船B距观测站107海里，20分钟后测得海盗船B位于距观测站20海里的C处，再经

分钟海盗船B到达商船14.如图，在▵ABC中，AC=3AN,P是BN上的一点，若AP=m+13AB+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z=1+(1)若z是纯虚数，求m的值；(2)若z在复平面内所对应的点在第四象限，求m的取值范围．16.(本小题15分)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，设AB=(1)用a,b表示(2)若AB=2,AD=6，且∠BAD=120∘，求AC17.(本小题15分)如图，在▵ABC中，AB=2，cosB=13，点D在线段

(1)若∠ADC=34π(2)若BD=2DC，△ADC的面积为423，求18.(本小题17分)如图，在高为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，(1)求该正三棱柱的体积；(2)求三棱锥D−A(3)设E为棱B1C1的中点，F为棱BB19.(本小题17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当▵ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120∘的点O即为费马点；当▵ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为(1)若2sinBsinC+π(i)求角B；(ii)求PA⋅(2)若cos2A2=b+c2c，▵PCA，▵PCB，▵PAB的面积为S1，参考答案1.D

2.C

3.A

4.D

5.B

6.C

7.C

8.C

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.13

13.40314.1315.解：(1)由复数z=(1+i)m因为复数z是纯虚数，

则满足m2−2m=0m所以实数m的值为0；(2)由复数z=(m若z在复平面内所对应的点在第四象限，

则满足{m2−2m>0所以实数m的取值范围为(−1,0)．

16.解：(1)由AC=AB+BC=所以AC=a+b，(2)由(1)知：AC⋅又AB=2,AD=6，且∠BAD=120∘，则

17.解：(1)在▵ABC中，∵cos在▵ABD中，由正弦定理得ABsin又∵AB=2,∠ADB=π∴AD=(2)∵BD=2DC,∴S又∵S∵S解得：BC=6在▵ABC中，由余弦定理得AC所以AC=4

18.解：(1)因为S△ABC=34×2×2=3，所以VA1B1C1−ABC=S△ABC⋅AA1=3×2=23．

(2)因为VA1−ACD=V19.解：(1)(i)∵2sinBsin∴2sin∴sin在▵ABC中，sinC≠0，∴sinB=又B∈0,π，∴B=(ii)∵B=π3，∴▵ABC不存在大于等于120°的角，∴P为所以∠APB=∠BPC=∠CPA=2π∵S=1∴PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC=3，∴=−1(