2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷01【测试范围：人教A版必修第二册第六~七章】（全解全析）

高一数学下学期第一次月考卷01（广东专用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前.考牛务必将自己的姓名、准考讦号填写在答题卡卜C

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版必修第二册第六章〜第七章。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.下列说法中正确的是（）

A.两个单位向量一定相等B.物理学中的重力是向量

C.若2/区，b//c^则）D.长度相等的两个向量必相等

【答案】B

【分析】根据向量相关概念进行判断，得到答案

【详解】A选项，两个单位向量方向不同时，不相等，A错误；

B选项，物理学中的重力既有大小，又有方向，是向量，B正确；

C选项，若坂=0,则满足。区，b//cf但，忑不一定平行，C错误；

D选项，长度相等，但方向不同的两个向量不相等，D错误.

故选：B

2.已知复数2=*，则［的虚部为（）

1-1

1।1.1.

A.--B.-C.--1D.-1

【答案】A

【分析】由复数的除法及共挽复数即可求解.

【详解】因为2=口2-i=(高2-i)(曷l+i)=厅3+i=3/51".

-31I

所以z=5—1,所以』的虚部为-5.

故选:A.

3.己知平面内的非零向量2对则=|那卜是“G//向的()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据数量枳的定义、向量共线结合充分、必要条件分析判断即可.

【详解】因为】族叩帆COS«&,且G，5)«0,可,

若=|矶可，则cos«，W=l,可得35)=0,

所以大/人即充分性成立；

若3//儿例如(£，*兀，则4/二距即夕3)=-口W，即必要性不成立;

综上所述：=倜''是的充分不必要条件.

故选：C.

4.如图，在中，丽=；充，而7=彳踮，^CM=AAB+^AC,则2+〃=()

JJ

【答案】D

【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.

【详解】♦••在△力4。中，不=!就，

_—_1__9_

：.CN=7N-AC=-AC-7C=--7C

33T

II-■/1一■・一一.'・・''一I・・・・,

又NM=—NB,：.NB=AB-AN=AB一一AC,:.NM=

33

.•.两=函+丽=二万+2荏二就=2次一跳.刀+〃祝,

33939

,28282

:./?=一,〃=—,.*.2+//=----=—.

39399

故选：D.

5.已知向量1=（2&,1）,|彼|=3,且（21+5）1伍一2可，则|1-5|=（）

A.2>/2B.3eC.4五D.572

【答案】B

【分析】先求向量的模长及模长的平方，再根据向最垂直的条件得到数最积为零，展开数展积表达式，代

入已知模长计算，最后解方程求出向量的数量积.

【详解】因为五=（2拒,1）,回=3,

所以|小（2扬:+]2=8+1=9,而=9,

又因为侬+]）_L,-2今,

所以（2G+5）（万一25）=0,

所以洞2-4方4+小3—2时=0,

即2同2一3五万-2向2=o,

则2x9-334-2x9=0，解得：ab=0,

又因为忸-3|2=（不_b卜（5_5）=忖|2-2a-b+\bft

且同=3,W=3,a-ft=o,贝ij

Q-可=Ji1_21万+回=79-0+9=3&.

故选：B.

6.小河的对岸有一棵树，设树底为O,树顶为C.如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取48

两点，使得4£。在同一水平面上，旦4氏。三点共线，/8=25（6-1）米.若在4处测得树顶。的仰角

为450,在8处测得树顶C的仰角为60°,则这棵树的高度CO=（）

c

C.3oG米D.256米

【答案】D

【分析】先根据正弦定理求出8c的长度，然后在宜角三角形中根据边长关系求解出结果.

【详解】在△/出。中，4=45°,ZACB=Z.OBC=60°-45°=15\48=25（81）米,

在△ABC中，由正弦定理可得.%广吟,所以25（。—l）=BC,

sm〃C8sinJsinl50sin45'

又因为sin15"=sin（45-30）=-x--^-x—=―—―,

'722224

所以25便-1卜赤&=8Cx专,解得8c=50米，

在J?OC中，ZOBC=60\ZBOC=90°,=50米，

所以OC=8Csin40BC=5Csin60°=50x=25>/3X，

2

故选：D.

7.在△/AC中，其面积为1,4B=2/1C,8C的最小值为()

A.2B.72C.3D.石

【答案】D

【分析】设48=e*C=a,/lC=b,根据条件得出〃而力=1,再利用余弦定理可得片二'一一、",再结合

sinA

辅助角公式和三角函数的值域求解.

【详解】设48=c，8C=a,ZC=Z),则由题意可知，5A,fiC=|bcsin/I=1,c=2b,

则b~sinJ=1，

由余弦定理可得，BC2=a2=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-4b2cosA

“2(5-4鹏=生生上乙

则a~sinJ+4cos4=5,

即//+16sin(4+*)=5,其中cos。=/",sinR=/4,

'7J/+16加+僚

则sin(/+0)=下:]6小，得后,

.’3

sinJ=—

3sinJ+4cosJ=55,则武巫，⑺巫,

当4=6时，，，得

sin?A+cos2A=14

cos4=一33

5

故8C的最小值为

故选：D

一_msinuw.w）.___.

8.对任意两个非零向量而，兀定义新运算：'〃㊉〃=口"|^~J（孙〃）表示向量而，；；的夹角.若非零

向量坂满足《>w，向量工,方的夹角北（0，热，且工㊉加和石㊉^都是集合=中的元素，则

2

（；€/；的取值集合为（）

VIC.j|,2.,3

A.{1}B.12D.p,-,2.

【答案】A

【分析】根据向量的新定义结合向量的数量积运算、三角函数的取值范围即可得［㊉方的取值集合.

尼卜也夕b

【详解】依题意，b®a=,而小。即呜卜则Ov=<l,0<sin6><

PIqa2，

于是0<B㊉八且，显然存在尤£Z,R㊉〃=冬，则o<4<且,

2222

网sin。1a

因此占=1,即=：,则==2sin。,

kl2b

显然2sin夕>1,即sin0>,,

2

]A一一“sin。J_3

从而L<sin〃<J，因此4㊉—=2shv0e

22H2'2

又存在A”,使得）㊉族=:，解得则k=2,

2222

所以3㊉坂的取值集合为{1}.

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是()

A.。为平面内一定点，如方=3。7一2瓦，则力、B、C三点共线且［7=236

B.非零向量75满足晨很>。，则。与行的夹角为锐角

34

C.已知，=(-6,8)，不是与万平行的单位向量，则石

5’5

D.平面内与动点尸满足后={博+g|J(/l€R),

则点P的轨迹必过MBC的内心

【答案】AD

【分析】根据万=2元且而与~BC有公共点8可判断A；根据已知条件及向量的数量积公式求得

cos0>O,得出0工。<：,验证。=0的情况可判断B;求出与d平行的单位向量B判断C；根据三角形的

内心是三角形三条角平分线的交点，可判断点P的轨迹是否过△/IBC的内心.

【详解】选项A：己知OA=3OB-2OC，则7-赤=2(9-3),OA-OB=OB-OC=,则

BA=2CB，即~AB=2BC;

因为而与团有公共点8,所以4、B、C三点共线，故A选项正确；

选项B：根据向量的数量积公式ab=||cos^,

当GB>0时,即伍府|cos8>0,因为|5|>0,|^|>0，所以cos6>>0.

又因为04。〈兀,所以,

当。=0时，5与B同向，此时夹角不是锐角，故B选项错误；

选项C：已知不=(-6,8),根据向量模长公式\d\=ylx2+y2(a=(x,y)),可得

|J|_5/(-6)2+82-V36+64->^00-10；

与a平行的单位向量»=±三，即B=±f^二±JW』，

10I55；

所以*=(-(，1)或B=，故c选项错误；

AC

选项D：因为扁是与刘同向的单位向量，篇是与AC同向的单位向量,

根据向量加法的平行四边形法则，以义AR和A今C；为邻边的平行四边形是菱形,

\AB\\AC\

.ABAC

平分/BAC,

I明\AC\

己知"牌匐geR）,则AP与/胡。的角平分线共线,

又因为A为公共点，

所以点P的轨迹必过dABC的内心，故D选项正确.

故选:AD

10.若马，z:均为复数，下列说法正确的是（）

A.若卜+1|=%+1|,则4=4B.㈤㈤士同

C.若Z]+G=2Z2，则NZCRD.若z；+z；=o,则Z]=Z2=0

【答案】BC

【分析】根据复数的乘法运算法则以及模长公式可判断B正确，取特殊值可验证AD错误，由复数定义计

算可得C正确.

【详解】对于A,若区+1|="+1|,不妨取Z1=T+i,Z2=-l-i.

此时|马+1|=|"=%+1卜卜日但N=与不成立，即A错误;

对于B,设4="+bi,Z2=c+4i,其中a,瓦c,deR,

因此,|221=>la2+b2y/c2+d2=>la2c2+a2d2+b2c2+b2d2,

[Z1z?|=](a+bi)(c+di)|=|(a'—6d)+(be+ad)i卜^[ac-hd\+(hc+ad)2^crc2+a'd1+b~c~+b'd2»

因此㈤上卜卜㈤，即可得B正确；

对于C,由Z]=a+6i可得z=〃一方i,此时4+可=2a=2z2,

因为a,〃cR,所以可得Zz^R,即C正确：

对于D,不妨取n产入马=1,满足z；+z；=0,此时为=0=0不成立，即D错误.

故选：AC

11.窗花是中国占老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，

图I是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形48CQE尸G〃的边长为4,

P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点、,则下列说法正确的是（）

B.，砺方向上的投影向量为-亨

C.户口户方的最大值为48+32&

D.若函数/（x）=|诟-J4，则函数/卜）的最小值为4+2夜

【答案】ACD

BHBC

【分析】对于A,由向量的线性运算可得；对于B,由丽在前方向上的投影向量为BC代入坐标

运算即可；对于C,由定.而—（PC4-PP）-[PC-PD]_|2_|£C|_,根据几何意义求|而|的最大值

即可；对于D,设设x8C=80,则=即当寸，月。取得最小值，根据图

形求£。最小值即可.

【详解】根据题意，每个小三角形为全等的等腰三角形，顶角为45。,

/.AELCG,以。为原点，6。,力£'分别为、,），轴，设。4=〃，

则AB?=/+/_2/cos45。=16,解得。2=16+8人,

B14%一与a,C(a,O),D与凡与a,E(O,a),H-与明-当。，

\/\J\/

对于A,因为砺+而=(&。,0),反=(a,0),所以方+而二&双，故A正确；

对于B,丽二卜缶,0),肥=0-¥〃,乎”，

_______(-7?0,0)[0-=圆*"

而在南方向上的投影向量为8/8C沅'22J灰_八0)能,故B错误;

网/,)

对于C,设。。中点为“，定而_小。+叫-小。-明一网2凶

=|再"2-4,所以定质取最大即|丽|取最大，

由题知，当。在点G或点〃处时，|丽|取最大，

止匕时OM2=0。2_CM2=。2_4=12+8五，MN2=4OM2=48+32立，

GM2=MN2+GN2=52+3242

所以定•而=|丽『—《〈GW?—4=48+32加,故C正确；

对于D,设工比=而，BE-xBC=BE-BQ=QE,

所以当£0_L6C时，£。取的最小值,

根据题意，/。。。=45。,/。。£=90°,所以。在EQ延长线上,

又。0=。0。。2+。。2=。。2=16,则00=2近,

所以£。=&)+。。=4+2&,故D正确;

故选：ACD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量1=(2,-1),5=(3"),1=(2,4),若2,与6+35共线，则实数义的值为.

【答案】-3

【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.

【详解.】因为向量值=(2,T),小(3孙c=(2,4),

所以2U-B=(l,-2-2),^+3c=l9,2+12),

因为2G-B与5+3?共线，

所以lxp+12)=(-2T)x9,解得2=—3.

故答案为：-3

13.已知向量。与5的夹角是且同="|同=2,则向量。在向量坂上的投影向量是

1T

【答案】

【分析】先求出热6=2,再利用投影向量公式求解即可.

【详解】由题意，不B=同帆・cos：=&x2x^^=2，

abb2b1-

则向量G在向量B上的投影向量为肝*5x5=”

IT

故答案为：.

14.在△/8C中，〃=4,4=二,若角〃有两个解，则。的取值范围是______.

6

【答案】(2,4)

【分析】法一：利用正弦定理得到sin8=2,再根据〃有两个解，即可得到£<8<生且Bog,从而得到

a662

1<sin5<l,即可求出。的取值范围；法二：作出图形，结合图形可得出角8有两个解时，。满足的不等式,

进而可求得。的取值范围.

【详解】法一：由正弦定理三=上，贝人吊4=变必=2,因为角8有两个解，又力=?,所以

sinAsinBaa666

且8H所以!<sinB<l,

22

2

BP-<-<l,解得2<。<4,即“£（2,4）.

2a

法二：在中，6=4,4=:，如下图所示:

若使得角8有两个解，则bsin4<。<6,即2<a<4.

故答案为:（2,4）.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）已知更数2=（i是虚数单位），帆eR.

⑴若z是纯虚数，求加的值；

（2）若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求，〃的取值范围.

.一.（3+加+3+3i+〃?i+加？（3-〃?）+（3+〃?）i3-w3+〃？.

【详解】⑴Z-（l-i）（Li）=-2=2--+—

若z是纯虚数，则实部为0且虚部不为0,即等=0且等作0,解得〃2=3.

（2）若z在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0,

3-m八

---->0

2w<3/、

即,,,,解得.<一3,即〃?€—3）.

3+w八w<-3

----<0

2

16.（15分）已知向量£=（1,2）,^=（3,-2）.

⑴求,-年

（2）已知p卜而，且（21+31乙求向量3与向量）的夹角.

【详解】（1）由题知，"=（1,2）,右=（3,-2）,

所以力=（-2,4）,

所以1-q=j4+16=2技

(2)由题知，,卜石，(2a+c^c=2a-c+c2=0,

设向量)与向量)的夹角为。，

所以2adeos6+卜|=0,8P2xx>/1()xcos+10=0»

解得3s0=—当,因为〃40,石，所以

所以向量［与向量工的夹角为学.

4

17.(15分)已知。、b、c分别为△力8c三个内角4、B、C的对边，acosC+y/3asinC-b-c=0.

⑴求4;

(2)若Q=2,△/IB。的面积为石，求。、c.

【详解】(1)根据正弦定理，acosC+VJtzsinC-b-c=0

变为sin/cosC+VJsiMsinC-sin8-sin。=0,即sinJcosC+>/JsinJsinC=sini?+sinC,

也即sirL4cosC+VJsiivlsinC=sin(.4+C)+sinC,

所以sinAcosC+JisiMsinC=siivicosC+cos^sinC+sinC.

整理，得V5sin/l—COS/1=1，即fsinJ-gcos/=；,所以sin(4-.卜;,力w(O,兀),

所以力—H，则力=[.

663

(2)由/!=1,S“8c=gbesiM=百,得bc=4.

由余弦定理，得a'=b'+c'-2bccosA=(b+c)~-2bc-2bccosA,

则(6+c)~=/+36c=4+l2=16,所以。+c=4.则力=c=2.

18.(17分)在△48C中，角彳，B,C的对边分别为。，b,c,已知2c—b=2QCOS8.

(1)求角N;

⑵若〃-/+C2_3C=O,且边8c的中线4。的长为叵，求△48C的面积；

2

(3)若△力8c是锐角三角形，求史的范围.

【详解】(1)因为2c-b=2acos8,由正弦定理可得2sinC-sin5=2sin/lcos6,

所以2sin(4+8)-sinB=2sinAcosB+2cos4sin5-sinB=2sinJcos5,

得到2cos4sin8—sin8=0,即sin8(2cos力-1)=0,

又8e(0,兀)，sinBwO,所以CO①=；,

又因为4c（0"），可得＜=

(2)因为—3c=0,且力=§,

所以由〃+。2-。2=2bccosA，可得3c=IbccosA=be,解得方=3,

由题意而=g（方+%）,

两边平方，可得阿1例+元2+2布.可=；（|河+3阿+9卜

因为|疝5卜平，所以|益「+3|万|+9=19,解得画=2或网=-5（舍）,

百二36

则LABC的面积为S=—/>csinJ=-x2x3x

2222

ql^V3

a+bsiM+sin8sinfe+y)+sinC+cosC+

（3）因为

sinC2_222

sinCsinC

、2c

2cos一十1=与11

—cosC+41=4x2~~C+2^

22CC22tan—

sinC22sin—cos-

222

0<C<-

2C兀71

由题知，，解得二€

八2几/，冗212

0<C<—

32

兀7t

因为tan展=tan=2-6,

3~4

C（2-国），可得之（2+如），

所以tan§

2

Qii

WTX—C+2

tan—

2

+b(V3+1

所以区,2+6.

2

19.（17分）如图所示，力。是△48C的一条中线，点。满足前=2而，过点。的直线