2027届新高考数学热点精准复习不等式恒(能)成立问题

2027届新高考数学热点精准复习不等式恒(能)成立问题

恒(能)成立问题是高考的常考考点,其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇,综合考查分析问题、解决问题的能力,一般作为压轴题出现,试题难度略大.题型分析例1(2026·石家庄调研节选)已知函数f(x)=x(ex-1)的图象恒在g(x)=lnx+a的图象的上方,求实数a的取值范围.策略一分离参数法求参数范围

感悟提升分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min;a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min;a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.训练1(2026·宜昌质检节选)已知函数f(x)=ax-lnx,a∈R,若x∈(0,e]时,不等式f(x)≤3有解,求a的取值范围.

例2(2026·沈阳模拟节选)已知函数f(x)=e2x+(a-2)ex-ax,若f(x)≥a-1在x∈[0,+∞)时恒成立,求实数a的取值范围.策略二分类讨论法求参数范围

感悟提升利用导数解决不等式恒(能)成立问题,若不能分离参数或分离参数后不能求最值,则需分类讨论参数的范围来求最值,利用最值转化法求解.

例3(2026·南通质检节选)已知函数f(x)=x+xcosx-2sinx,g(x)=x2-3x+a,若对任意x1∈[0,π],均存在x2∈[1,2],使得f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围.策略三双变量恒(能)成立问题的转化途径

当x∈(x0,π)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间(x0,π)上单调递增,且f(0)=0,f(π)=0,可得当x∈[0,π]时,f(x)max=0,所以0<a-2,解得a>2,所以实数a的取值范围是(2,+∞).感悟提升双变量的恒(能)成立问题,常见的转化有:(1)∀x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.(2)∀x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.(3)∃x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min.(4)∃x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.

又h'(1)=0,故列表如下.x1(1,2)h'(x)+0-h(x)↗极大值↘所以a≥h(x)max=h(1)=1,故实数a的取值范围是[1,+∞).1.(2026·合肥模拟节选)设函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx(a∈R),若f(x)≥1恒成立,求a的取值范围.

(2)当a>0时,存在f(1)=-a-1<0,不满足题意,可知a>0时,f(x)≥1不恒成立,综上,a≤-2.故实数a的取值范围是(-∞,-2].2.已知函数f(x)=ex-ax-1,若f(x)≤x2在(0,+∞)上有解,求实数a的取值范围.

则φ(x)在(0,+∞)上单调递增,所以φ(x)>φ(0)=0,即当x>0时,ex-(x+1)>0,所以当0<x<1时,g'(x)<0;当x>1时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,g(x)min=e-2,所以a≥e-2,综上可知,实数a的取值范围是[e-2,+∞).

由题设知f'(x)=x2+2x+a≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≥-(x+1)2+1在[1,+∞)上恒成立,而y=-(x+1)2+1在[1,+∞)上单调递减,则ymax=-3,所以a≥-3,所以a的最小值为-3.

4.(2026·宁波质检)已知函数f(x)=ex-1-ax+lnx(a∈R).(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线3x-y=0平行,求a的值;

(2)若不等式f(x)≥lnx-a+1对一切x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.f(x)≥lnx-a+1可化为ex-1-ax+a-1≥0,令φ(x)=ex-1-ax+a-1,则当x∈[1,+∞)时,φ(x)min≥0,∵φ'(x)=ex-1-a,①当a≤0时,φ'(x)>0,∴φ(x)在[1,+∞)上单调递增,∴φ(x)min=φ(1)=1-a+a-1=0≥0恒成立,∴a≤0符合题意.②当a>0时,令φ'(x)=0,得x=lna+1.当x∈(-∞,lna+1)时,φ'(x)<0,当x∈(lna+1,+∞)时,φ'(x)>0,∴φ(x)在(-∞,lna+1)上单调递减,在(lna+1,+∞)上单调递增.当lna+1≤1即0<a≤1时,φ(x)在[1,+∞)上单调递增,φ(x)min=φ(1)=0≥0恒成立,∴0<a≤1符合题意.当lna+1>1,即a>