2027届新高考数学热点精准复习导数与函数的单调

2027届新高考数学热点精准复习导数与函数的单调性1.会根据函数的单调性求参数的范围.2.会利用函数的单调性解不等式、比较函数值的大小.课标要求

B

考点一利用单调性求参数范围(2)若函数f(x)=x+alnx在(1,2)上存在单调递减区间,则实数a的取值范围是____________.

(-∞,-1)

感悟提升根据函数单调性求参数的方法(1)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)内的任一非空子区间上,f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.(2)函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集.(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).训练1(1)(2026·湘潭质检)若函数f(x)=ex-a+1-x在区间(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为(

)A.(-∞,-1] B.(-∞,1)C.[0,+∞) D.(-∞,1]D由f(x)=ex-a+1-x,得f'(x)=ex-a+1-1.因为函数f(x)=ex-a+1-x在区间(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)=ex-a+1-1≥0在区间(0,+∞)上恒成立,且f'(x)不恒为0,所以x-a+1≥0在区间(0,+∞)上恒成立,即a≤x+1在区间(0,+∞)上恒成立,所以a≤1.(2)已知函数f(x)=(1-x)lnx+ax在(1,+∞)上不单调,则a的取值范围是(

)A.(0,+∞) B.(1,+∞)C.[0,+∞) D.[1,+∞)

A

考点二利用单调性比较大小

D

感悟提升利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件判断已知(或构造后的)函数的单调性,利用其单调性比较大小.

C

考点三利用单调性解不等式感悟提升利用函数的单调性解不等式,其关键是先判断函数的单调性,再利用函数单调性脱去函数外衣,转化为较为简单的不等式解决即可,易错之处为忽视函数的定义域.

D

在导数的应用中常用到以下函数,记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.六大超越函数的图象微点突破

1

b>a>c

训练

若2x=3y=5z,且x,y,z都是正数,则2x,3y,5z从小到大依次为____________.

3y<2x<5z

C

2.(2026·南通质检)已知函数f(x)=2x-sinx,则下列结论正确的是(

)A.f(2.7)<f(π)<f(e) B.f(π)<f(e)<f(2.7)C.f(e)<f(2.7)<f(π) D.f(2.7)<f(e)<f(π)Df'(x)=2-cosx,因为cosx∈[-1,1],所以f'(x)>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为2.7<e<π,所以f(2.7)<f(e)<f(π),故选D.

D

4.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为(

)A.e2 B.eC.e-1 D.e-2C

D

D

B∵f(x)的定义域为R,f(-x)=(e-x+ex)(-x)2=(e-x+ex)x2=f(x),∴f(x)为偶函数.∵f'(x)=(ex-e-x)x2+2x(ex+e-x),∴f'(0)=0,

BD

二、多选题

ACD

10.已知函数f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上有f'(x)>0,若f(-1)=0,则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________.

在(0,+∞)上f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1)=0,且f(x)在(-∞,0)上单调递减,f(x)的示意图如图所示,所以xf(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).三、填空题(-∞,-1)∪(0,1)