2027届新高考数学热点精准复习随机事件与概率

2027届新高考数学热点精准复习随机事件与概率1.样本点和样本空间(1)定义:我们把随机试验E的每个可能的

称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的

.

(2)表示:一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.基本结果

样本空间2.事件的分类

确定事件必然事件Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件不可能事件空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件随机事件我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件基本事件把只包含一个样本点的事件称为基本事件3.事件的关系与运算

事件的关系或运算含义符号表示图形表示包含关系A发生,则B一定发生

相等关系B⊇A且A⊇B

并事件(和事件)A与B至少有一个发生A∪B或A+B

A⊆BA=B事件的关系或运算含义符号表示图形表示交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB

互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=⌀

互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=⌀,A∪B=Ω

4.频率与概率(1)定义一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A).从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小(2)概率的基本性质性质1:对任意的事件A,都有P(A)

;

性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=

,P(⌀)=

;

性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=

;

性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=

,P(A)=

;

性质5:如果A⊆B,那么

,由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1;

性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=

.

≥010P(A)+P(B)

1-P(A)1-P(B)P(A)≤P(B)

P(A)+P(B)-P(A∩B)微思考概率与频率有什么区别?提示

(1)概率是一个确定的数,是客观存在的,与试验次数无关,它度量该事件发生的可能性;(2)频率本身是随机的,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件的频率不一定相同;(3)频率是概率的近似值,在实际问题中,仅当试验次数足够多时,频率可近似地看作概率.5.古典概型(1)具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:样本空间的样本点只有

;

②等可能性:每个样本点发生的可能性

.

判断一个试验是否是古典概型的关键点(2)古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=

.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.

有限个

相等

[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.(

)(2)在大量的重复试验中,概率是频率的稳定值.(

)(3)若P(A)+P(B)=1,则A,B互相对立.(

)(4)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.(

)×解析

随机事件的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,不一定相同.√×解析

P(A)+P(B)=1时,A,B不一定对立,如掷骰子一次A为“掷出偶数点”,B为“掷出点数不大于3”,P(A)+P(B)=1,但A,B不对立.×解析

甲、乙中奖的概率相同.2.(人A必修二教材习题改编)从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球,那么“至少有1个红球”的对立事件是(

)A.至多有2个红球B.至少有2个黄球C.都是黄球D.至多有1个红球C解析

由对立事件的性质得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球,即取到的都是黄球,故C正确.故选C.

BC

C

D

6.抛掷一枚骰子,记事件A=“出现点数是奇数”,事件B=“出现点数是3的倍数”,则P(A∪B)=

,P(A∩B)=

.

微点拨

定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.常用结论1.当随机事件A,B互斥时,不一定对立;当随机事件A,B对立时,一定互斥,即两事件互斥是对立的必要不充分条件.2.若事件A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).研考点•精准突破考点一随机事件间关系的判断例1

(1)(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A=“两弹都击中飞机”,事件B=“两弹都没击中飞机”,事件C=“恰有一弹击中飞机”,事件D=“至少有一弹击中飞机”,则下列关系正确的是(

)A.A∩D=⌀ B.B∩D=⌀C.A∪C=D D.A∪B=B∪DBC解析

“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没击中或第一枚没击中、第二枚击中,“至少有一弹击中飞机”包含两种情况,一种是恰有一弹击中,另一种是两弹都击中,故A∩D≠⌀,B∩D=⌀,A∪C=D,A∪B≠B∪D.故选BC.(2)(多选题)下列结论正确的有(

)A.若A,B互为对立事件,P(A)=1,则P(B)=0B.若事件A,B,C两两互斥,则事件A与B∪C互斥C.若事件A与B对立,则P(A∪B)=1D.若事件A与B互斥,则它们的对立事件也互斥ABC解析

由题意得,P(B)=1-P(A)=0,故A正确;若事件A,B,C两两互斥,则事件A,B,C不可能同时发生,则事件A与B∪C也不可能同时发生,则事件A与B∪C互斥,故B正确;若事件A与B对立,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故C正确;若事件A,B互斥但不对立,则它们的对立事件不互斥,故D错误.故选ABC.规律方法

判断事件关系的策略(1)判断事件的互斥、对立关系时一般用定义法:不可能同时发生的两个事件为互斥事件;有且仅有一个发生的两个事件为对立事件.(2)判断事件的交、并关系时,一是紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可列出全部的试验结果进行分析,也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件.[对点训练1](多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子,有如下事件:Ω={1,2,3,4,5,6},Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6,D1=“点数不大于2”,D2=“点数大于2”,D3=“点数大于4”,则(

)A.C1与C2互斥B.D1∪D2=Ω,D1D2=⌀C.D3⊆D2D.C2,C3为对立事件ABC解析

由题知C1与C2不可能同时发生,所以C1与C2互斥,故A正确;事件D1={1,2},D2={3,4,5,6},因此D1∪D2=Ω,D1D2=⌀,故B正确;事件D3={5,6},故D3⊆D2,故C正确;C2与C3不可能同时发生,但也可能都不发生,不互为对立事件,故D错误.故选ABC.考点二随机事件的频率与概率例2

如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间/min10~2020~3030~4040~5050~60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40min内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40min和50min用于赶往火车站,为了尽可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.

所用时间/min10~2020~3030~4040~5050~60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40

min内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50

min内赶到火车站.结合(2)中的表格知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0+0.1+0.4=0.5.∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9.∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择L2.规律方法

计算简单随机事件的频率或概率的解题步骤

[对点训练2]在滑翔伞定点比赛中,飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶,以距靶心距离的远近作为打分依据.若某次比赛中规定:降落时距靶心的距离小于8cm,会获得“优秀飞行员”称号.现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离(单位:cm)的数据如下表:降落时距靶心距离/cm[0,4)[4,8)[8,12)[12,16]人数18213922用频率估计概率,若随机抽取1人,则此人为“优秀飞行员”的概率为(

)A.0.18 B.0.21 C.0.39

D.0.40C

考点三互斥事件与对立事件的概率例3

经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应的概率如下:排队人数012345及以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率;(2)至少3人排队等候的概率.解

记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法二)记“至少3人排队等候