小专题(三)巧用勾股定理求最短路径问题

小专题(三)

巧用勾股定理求最短路径问题

类型一：直接求最短路径【方法指导】

两点之间，线段最短．1．如图，长方形ABCD是某公园内的广场，已知AB＝8m，BC＝6m，一个人从A到C按最近路线走比按A—B—C走少走了()A．2mB．4mC．6mD．8mB

类型二：结合对称性求最短路径【方法指导】

平面图形中，求直线同侧两点到直线上一点的距离之和最短，先利用对称转化，然后根据“两点之间线段最短”结合勾股定理加以解决．2．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400m，BD＝200m，CD＝800m，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，则在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少？解：如答图，作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点M，则在点M处饮水能使所走的总路程最短，最短路程为A′B的长．A′B2＝6002＋8002＝1000000，所以A′B＝1000(m)．故最短路程是1000m.

类型三：直棱柱上求两点之间的最短距离【方法指导】

直棱柱上求两点之间的最短距离往往采取“化折为直”的方法：(1)若求沿着如图所画的线路爬行的最短路径，直接展开爬行经过的几个面，连接两点即可：(2)长方体中，求两点的最短距离，将相邻两个面展开，转化到一个长方形中：

展开方式有多种，一般沿最长棱展开距离最短．3．如图，有一块砖宽AN＝5cm，长ND＝10cm，CD上的点B距地面距离BD＝8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径

是

cm.174．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是

.255．某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼(如图)，在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点A′缠绕一圈彩带．已知此灯笼的高为50cm，底面边长为40cm，则这圈彩带的长至少为

cm.130

类型四：圆柱上求两点之间的最短路线【方法指导】

圆柱上求两点之间的最短路线往往采取“化曲为直”的方法：(1)求圆柱外壁两点间(沿侧面)的最短路线时，直接展开侧面，连接两点，再利用勾股定理求解即可：(2)求圆柱内、外壁两点间最短路线时，先利用轴对称找出某点的对称点，再利用勾股定理求解．如：求壁虎沿外壁A点爬到内壁B点的最短路线，先作出A点关于EC的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为最短路线长．6．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是24cm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高18cm时，这段葛藤的长是

cm.307．如图，这是一个供滑板爱好者滑行使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB＝CD＝7m，点E在CD上，CE＝2m，一位滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是

m.(边缘部分的厚度可以忽略不计，π取3)138．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离．(杯壁厚度不计)解：将杯子侧面展开，如答图，作A关于CE的对称点A′，连接A′B，交CE于点F，此时点A′，F，B在同一条直线上，则AF＋BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，依题意，得A′D＝32÷2＝16(cm)，BD＝3＋(14－5)＝12(cm)，此时A′B2＝A′D2＋BD2＝400，A′B＝20cm，∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.

类型五：阶梯上求两点之间的最短距离【方法指导】

将阶梯中相邻的多个面展开，将所求的两点转化到一个长方形中：9．如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为8dm，3dm，2dm.点A和B是