广东省汕头市2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学

广东省汕头市高一期末统考数学试卷总分：150分考试时长：120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D2.已知函数，则不等式解集为（）A. B. C. D.【答案】B3.若，，，，则大小关系正确的是（）A. B. C D.【答案】A4.已知向量，，则（）A. B. C.5 D.【答案】C5.函数的对称轴方程为（）A.， B.，C.， D.，【答案】A6.某几何体三视图：正视图与侧视图均为高为3cm的矩形，俯视图是边长为2cm的正方形，该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B7.从中取两数，事件A为“和为偶数”，B为“积为奇数”，则（）A. B. C. D.【答案】D8.函数的零点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知集合，，正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若m=3，则 D.若，则m=1或m=3【答案】AB10.函数（）性质有（）A.奇函数 B.偶函数C.在上单调递减 D.在上单调递增【答案】ACD11.函数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.解方程，得_______.【答案】13.向量，，则在方向上的投影数量为_____.【答案】14.正三棱柱底面边长2，高为3，其外接球体积为_____.【答案】四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.已知函数.（1）化简；（2）求最小正周期；（3）求在上的最大值和最小值.【答案】【1】因为.【2】因为，所以的最小正周期.【3】因为，则，当，即时，函数取到最大值；当，即时，函数取到最小值；综上所述：在上的最大值为2，最小值为.16.已知函数.（1）求的单调区间；（2）求的极值；（3）求在上的最大值和最小值.【答案】【1】对函数求导得.当或时，；当时，；所以的单调递增区间为，单调递减区间为.2】因为，令，解得或.由（1）知，的单调递增区间为，单调递减区间为.所以当时，取极大值为，当时，取极小值为.【3】由（1）知，的单调递增区间为，单调递减区间为.因为，所以在上的单调递增区间为，单调递减区间为.而，所以在上的最大值为2，最小值为2.17.已知向量，，夹角为.（1）求；（2）若，，求；（3）若，，求.【答案】【1】由向量，，得，同理，由，得，所以.【2】由（1）知，，而，，所以.【3】由，得，则，而，则，两边平方并整理得，显然，则，解得或，经验证符合题意，所以或.18.直三棱柱底面为直角三角形，，，，D为中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】【1】因为，D为中点，则，又因为平面，平面，则，且，平面，所以平面【2】因为平面，，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得；设平面的法向量，则，令，则，可得；则，由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.19.产品质量指标，，.（1）求；（2）抽取10件，求至少2件指标在之内的概率（结果保留四位小数）.说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这