西建大材料力学课件10能量法

10能量法

10.1概述10.2应变能·余能10.3卡氏定理10.4用能量法解超静定系统10.1概述10.1.1能量法的概念

能量法：利用功能原理求解弹性体或结构的位移、变形和内力等的方法是有限单元法的重要基础

弹性体受外力作用后要发生变形，同时弹性体内将积蓄能量。卸载后，这种能量又随变形的消失而全部转换为其他形式的能量。这种随弹性变形的增减而改变的能量称为应变能。

Ve=W

弹性体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。——功能原理求解应力、变形和位移的有两种方法直接方法－利用平衡、变形协调和物理关系能量方法－利用能量原理能量法的优势:

确定加力点沿加力方向的位移求解复杂结构的位移和变形确定结构任意点沿任意方向的位移既可确定位移，又可确定内力和应力既适用于线性问题，又适用于非线性问题用于直接求解超静定问题10.1.2能量法的优势10.2应变能·余能10.2.1应变能

线弹性条件下，通过外力功求应变能常力作功：常力F

沿其方向线位移

上所作的功变力作功：在线弹性范围内，外力F

与位移

间呈线性关系。F

FO外力作功

基本变形在弹性范围内变形量与外力（内力）均呈线性关系：

弯曲

扭转

拉压由Ve=W,可得基本变形下的应变能表达式扭转轴向拉压弯曲

组合变形FD

非线性弹性体，通过应变能密度求应变能

1FF1O

拉杆的材料是非线性弹性体，当外力由0逐渐增大到F1时，杆端位移就由0逐渐增到D1。外力作功为dF

从拉杆中取出一个各边为单位长度的单元体Dl=·1=

作用在单元体上，下两表面的力为p=

·1·1=

其伸长量ppFDee1ss1Odespp该单元体上外力作功为Dl=

p=

单位体积的应变能即应变能密度为若取单元体的边长为dx

、dy、dz，则该单元体的应变能为dVe=vedxdydz令dxdydz=dV则整个拉杆内的应变能为扭转杆

轴向拉压杆、弯曲

应变能密度

应变能密度解：[法1]运用扭转应变能公式例10-1在线弹性范围内工作的杆，已知：Me、G、l、d

。求：在加载过程中所积蓄的应变能Ve。d[法2]由应变能密度求应变能解：[法1]运用功能原理求应变能挠曲线方程qABly例10-2已知：抗弯刚度为EI的简支梁，受均布荷载q

作用。求：弯曲应变能wxdx外力的功应变能[法2]运用弯曲应变能公式qABlyx弯矩应变能[法3]运用应变能密度求应变能qABlyx弯矩应变能应变能密度例10-3水平杆系如图所示，两杆的长度均为l，横截面面积为A，弹性模量为E，且均为线弹性。试计算在F作用下的应变能。lla1Ada1F解：外力作用下，两杆件伸长，沿F方向下移d。由A点平衡得为高阶微量，可略去不计lla1Ada1F图中绘出了F-d

间的非线性关系曲线该问题属于几何非线性弹性问题F与d的非线性关系，不能按能量原理

Ve=W=½

FD求应变能，而需用积分。例10-4拉杆在线弹性范围内工作。抗拉刚度EA，受到F1，F2两个力作用。(1)若先在B截面加F1

，然后在C截面加F2；(2)若先在C截面加F2

，然后在B截面加F1。分别计算两种加力方法拉杆的应变能。BCabAF1F2解：(1)先在B截面加F1，然后在C截面加F2

在B截面加F1，B截面的位移为外力功为

再在C上加F2C截面的位移为F2作功为

在加F2

后，B截面又有位移在加F2过程中F1作功应变能为BCabAF1F2(2)若先在C

截面加F2

，然后B

截面加F1。

在C

截面加F2

后，F2

作功

在B

截面加F1后，F1作功

加

F1引起C

截面的位移在加F1

过程中F2作功BCabAF1F2应变能为

弹性范围内，应变能Ve只与外力的最终值有关，而与加载过程和加载次序无关。应变能密度10.2.2余能非线性弹性材料制成的拉杆F

外力功余功仿照外力功的概念F

dFD余功

与余功相应的能称为余能，余功和余能在数值上相等。余能余能密度余功

几何线性问题中，同样可由仿照应变能密度计算应变能的方式，由余能密度计算余能F

dFD余能dse余能密度注意

外力功——以位移作为积分变量

余功——以力作为积分变量F——广义力;

——广义位移.

应变能——以应变e

作为积分变量

余能——以应力s

作为积分变量应力

——可以是正应力也可以是切应力;应变

——可以是正应变也可以是切应变.

余功、余能、余能密度没有具体的物理意义，仅具有功、能的量纲

线弹性材料的几何线性问题中，荷载与位移之间以及应力与应变之间均为线性关系，应变能和余能在数值上相等。aaBDF1es例10-5已知两杆的长度均为l、横截面面积均为A、材料单轴拉伸时的s~e曲线如图所示。求：荷载F1作用下的余能VC

解：本题已知材料应力应变间的非线性关系，故先求余能密度。由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此aaBDF1作业：习题3-1习题3-3习题3-4习题3-510.3卡氏定理10.3.1卡氏第一定理设梁上有n

个荷载F1，F2，···，Fn

（简单加载）与之相应的位移为D1，D2

，···

，Dn

根据功能原理，梁内积蓄的应变能在数值上就等于外力功外力作总功等与每个集中力在加载过程中所作功的总和即：梁内应变能Ve是其上所有荷载相应的最后位移Di

的函数假设与第i

个荷载相应的位移有一微小的增量dDi梁内应变能的变化为为应变能对于位移Di的变化率只有与Fi

相应的位移有一微小增量，而与其余各荷载相应的位移保持不变。只有Fi

在微小位移dDi

上作了外力功,梁外力功的变化为由功能原理得——卡氏第一定理弹性杆件的应变能对于某一位移之变化率等于与该位移对应的荷载。一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移Di

为Fi的作用点相应于Fi的位移。Fi为广义力，Di

为与Fi相应的广义位移。适用于线弹性体或非线性弹性体。例10-6图示结构中（例10-3），A、B、C三处均为铰链，AB杆和

BC杆的拉压刚度均为

EA。已知：F

、l、EA。求：加力点

B处的位移。llFACBB′DB解：应变能V

=V

(

B)（见例10-3）应用卡氏第一定理例10-7已知：图示悬臂梁，抗弯刚度EI，自由端转角q。求：自由端力偶M。解：梁内任一点的线应变为M梁内任一点的应变能密度为梁的应变能为例10-8已知平面桁架受力如图。两杆的横截面面积均为A，两杆的E相同，且均处于线弹性范围内。求：B点水平位移与铅垂位移。若B只发生水平位移D1解：若B只发生铅垂位移

2桁架的应变能当水平位移与铅垂位移同时发生时由卡式第一定理10.3.2卡氏第二定理设梁上有n

个荷载F1，F2，···，Fn

（简单加载）与之相应的位移为D1，D2

，···

，Dn

梁内的余能外力作总余功等与每个集中力余功的总和即：梁内余能VC是其上所有荷载Fi

的函数假设与第i

个荷载有一微小的增量dFi，而与其余各荷载保持不变。梁内余能的变化为为余能对于荷载Fi的变化率外力总余功的变化为由外力余功在数值上等于弹性杆的余能得——余能定理线弹性杆件或杆系中，应变能与余能在数值上相等则有——卡氏第二定理弹性杆件的应变能对于某一荷载之变化率等于与该荷载对应的位移。

卡氏第一定理与余能定理均适用于线性或非线性弹性杆件及杆系。说明

卡氏第二定理与余能定理

卡氏第二定理只适用于线性弹性体。

Fi

为广义力，Di

为相应的位移。

卡氏第二定理的应用

轴向拉、压

扭转

弯曲

平面桁架例10-9已知：如图所示悬臂梁受力情况，抗弯刚度EI。求自由端的挠度（用卡氏第二定理）解：因自由端没有与所求位移对应的竖向集中力，需加一虚设的竖向外力F

由卡氏第二定理得例10-10外伸梁受力如图所示，已知抗弯刚度EI。梁材料为线弹性体。求梁C截面的挠度和A截面的转角。ABCFMla解：AB：BC：x1x2()例10-11外伸梁受力如图所示，已知抗弯刚度EI。梁材料为线弹性体。求梁C截面和D截面的挠度。ABCFaFDaa解：AC：CB：BD：AC：CB：BD：qABCll例10-12抗弯刚度均为EI

的静定组合梁ABC，梁材料为线弹性体，不计剪切变形的影响。用卡氏第二定理求梁中间铰B

两侧截面的相对转角。解：在B

两侧虚设一对外力偶MB。约束反力如图所示qABCllAB：BC:x1x2AB：BC:相对转角的转向与虚设外力偶的转向一致。例10-13已知：开口圆环受力如图，材料为线弹性，抗弯刚度EI，求圆环的张开位移D（不计剪力及轴力的影响）。并规定正弯矩使环的内侧伸长。解：位移为正，表示与对应的广义力方向一致，即张开位移。例10-14刚架结构如图所示。弯曲刚度EI

已知。材料为线弹性。不考虑轴力和剪力的影响，计算C

截面的转角和D

截面的水平位移。解：在C截面虚设一力偶MC,

在D截面虚设一水平力F

。ABCDaa2aMeMCFFDFAxFAyCD:xABCDaa2aMeMCFFDFAxFAyCB:xAB:xCD:CB:AB:CD:CB:AB:()例10-15各杆抗弯刚度均为EI

的Z字形平面刚架受集中力F作用。杆的材料是线弹性的，不计剪力和轴力对变形的影响。求端面A

的线位移和转角。解：在A

端虚设水平力Fx

和外力偶MA

。ABCDF3a4aqAB

：xBC：xCD：xAB

：BC：CD：AB

：BC：CD：AB

：BC：CD：（）例10-16各杆的抗拉（压）刚度均为EA

的正方形平面桁架受水平力F

作用。杆的材料为线弹性。求结点C

的水平和铅垂位移。llABCDFF1杆件F1=0ABBCCDDAAC0000-（F+F1）-1-1-F000000000杆件F1=0ABBCCDDAAC0000-（F+F1）-1-1-F000000000llABCDFF1杆件F1=0ABBCCDDAAC0000-（F+F1）-1-1-F000000000llABCDFF1例10-17求A

截面的铅垂位移。略去剪力影响ABCDFll/22l/3EAEI解：AB为弯曲变形CD为轴向拉伸取AB

为研究对象ACBFNFBFCD杆ABCDFll/22l/3EAEIACBFNFBFAB梁AC：CB:xx作业：习题3-8习题3-910.4用能量法解超静定系统例10-18已知两杆抗弯刚度均为EI。q=10kN/m，M=50kN·m。不计剪力和轴力对刚架变形的影响。求支座反力。ABCDa=50mmqMABCDqMX解：取静定基BD：M(x)=Xx

变形相容条件是在

B

点处的竖向位移为零。xDC:M(x)=Xx-MCA:xxB