新大材料力学课件第7章 弯曲变形

第七章弯曲变形

第七章弯曲变形§7-1引言§7-2挠曲线近似微分方程§7-3计算梁位移的积分法§7-5计算梁位移的叠加法§7-6简单静不定梁§7-7梁的刚度条件与合理刚度设计第七章弯曲变形§7-1引言一、挠曲线梁变形后的轴线。

性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。二、挠度横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。

用“w”

表示。挠度方程挠度向上为正；向下为负。引言第七章弯曲变形三、转角横截面绕中性轴转过的角度。用“”表示。转角方程逆时针为正；顺时针为负。四、挠度和转角的关系横截面的转角等于挠曲线在该截面处的斜率即：引言一、曲率与弯矩的关系§7-2挠曲线近似微分方程第七章弯曲变形挠曲线近似微分方程第七章弯曲变形二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式)挠曲线近似微分方程第七章弯曲变形三、挠曲线与弯矩的关系小挠度情形下(dwdx)2<<1四、挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程本书所采用的情况使用条件：弹性范围内工作的细长梁。第七章弯曲变形挠曲线近似微分方程第七章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法一、积分法

利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角方程q

=q

(x)=w′(x)和挠度方程

w=

w(x)，从而也就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了。这种求转角和挠度的方法称为积分法。计算梁位移的积分法梁截面的已知位移条件或位移约束条件二、积分常数的确定1.边界条件第七章弯曲变形BAF

abC计算梁位移的积分法2.连续条件第七章弯曲变形BAF

abC分段处挠曲线所应满足的连续、光滑条件，简称为梁位移的连续条件。计算梁位移的积分法讨论：画挠曲线大致形状依据：

约束条件；

载荷情况，作出M图；

凹凸情况——由w″即M的正负号决定

M>0,凹；

M<0,凸;

一段M=0,直线；一点M=0,拐点

光滑连续特性。第七章弯曲变形计算梁位移的积分法第七章弯曲变形凸曲线拐点凹曲线直线悬臂梁受力的大小和方向如图示。试绘制挠曲线的大致形状解：计算梁位移的积分法例题7-1第七章弯曲变形

求图示悬臂梁的转角方程q=q(x)和挠度方程

w=w(x)，并求最大转角qmax及最大挠度

wmax。梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI为已知。解：1.建立坐标系2.求支反力3.列弯矩方程计算梁位移的积分法例题7-2第七章弯曲变形4.建立挠曲线近似微分方程并积分5.确定积分常数边界条件在x=0处

,θ=0,w=0

求得：C=0,

D=0

计算梁位移的积分法第七章弯曲变形6.建立转角与挠度方程7.绘制挠曲线略图并计算最大转角与挠度（）（）计算梁位移的积分法求如图所示简支梁跨中的挠度和转角（EI=常数）第七章弯曲变形BAF

abC解：1.建立坐标系2.求支反力3.列弯矩方程（0≤x1≤a）（a≤x2≤L）4.建立挠曲线近似微分方程并积分计算梁位移的积分法例题7-2左侧段（0≤x1≤a）：右侧段（a≤x2≤L）：第七章弯曲变形BAF

abC计算梁位移的积分法第七章弯曲变形BAF

abCx=0,w=0;x=L,w=0

.

x1=x2

=a

，w1=w2

；

w'1=w'25.确定积分常数边界条件连续条件计算梁位移的积分法左侧段（0≤x1≤a）：右侧段（a≤x2≤L）：第七章弯曲变形BAF

abC6.建立转角与挠度方程计算梁位移的积分法

7.跨中点挠度及两端端截面的转角两端支座处的转角第七章弯曲变形计算梁位移的积分法左侧段（0≤x1≤a）：右侧段（a≤x2≤L）：第七章弯曲变形BAF

abC讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。

当

a＞b时计算梁位移的积分法第七章弯曲变形BAF

abC最大挠度一定在左侧段当

a＞b时——最大挠度发生在AC段计算梁位移的积分法第七章弯曲变形BAF

abC

2、a=b时此梁的最大挠度和最大转角。计算梁位移的积分法

一、叠加法§7-5计算梁位移的叠加法第七章弯曲变形

小变形条件下成立。材料服从胡克定律。计算梁位移的叠加法第七章弯曲变形所以即计算梁位移的叠加法1.叠加法

在材料服从胡克定律和小变形的条件下，几个力共同作用引起梁的变形，等于这几个力分别单独作用时引起梁的变形的代数和。第七章弯曲变形

分解载荷——每种情况都是简单模型；

2.用叠加法求梁的挠度和转角

分别计算——查表；

叠加。步骤：计算梁位移的叠加法第七章弯曲变形简单模型---悬臂梁计算梁位移的叠加法第七章弯曲变形简单模型---简支梁BAFCBACACB计算梁位移的叠加法第七章弯曲变形ACB叠加法求A截面的转角和C截面的挠度。ACB=ACB+解：计算梁位移的叠加法例题7-3第七章弯曲变形ACB叠加法求A截面的转角和C截面的挠度.计算梁位移的叠加法试求如图所示梁C

点处挠度和转角。qAlB已知悬臂梁在均布载荷q作用下B点的挠度和转角为：（其中l

为梁长）ACBq2l解：ACBql2lqAC2lB计算梁位移的叠加法例题7-4第七章弯曲变形求图示梁C截面的挠度

（EI已知）。F

BACF

BAC第七章弯曲变形

二、分段分析求和法CF

F

解：计算梁位移的叠加法第七章弯曲变形

分段分析求和法求挠度和转角的步骤：

分解梁——把梁分解为几段；

分别计算——分别计算每一段变形引起的指定截面的挠度和转角；

叠加。

叠加法求挠度和转角的步骤：

分解载荷——每种情况都是简单模型；

分别计算——查表；

叠加。

习惯上把叠加法和分段分析求和法统称为叠加法计算梁位移的叠加法

图示结构，由杆AC与梁BD组成，并承受铅垂载荷F作用。杆AC各横截面的拉压刚度均为EA,梁BD各横截面的弯曲均为EI。试用叠加法计算截面D的铅垂位移。第七章弯曲变形例题7-5计算梁位移的叠加法第七章弯曲变形BC解：1.问题分析计算梁位移的叠加法第七章弯曲变形BC2.位移计算计算梁位移的叠加法第七章弯曲变形BC计算梁位移的叠加法230页，习题

7-1(b)233页，习题

7-10(a)(b)(c)235页，习题

7-16(a)

第六章弯曲应力作业作业1.静定梁：梁的未知力个数等于独立静力方程的个数利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力。§7-6简单静不定梁第七章弯曲变形ACB

简单静不定梁第七章弯曲变形ACB2.静不定梁：梁的未知力个数多于独立静力方程的个数，只利用静力方程不能求出所有的未知力。

简单静不定梁第七章弯曲变形ACB4.多余约束：在静不定梁中，凡是多余维持平衡所必需的约束，称为多余约束。5.多余支反力：与多余约束相对应的支反力或支反力偶矩，统称为多余支反力。3.静不定度：在静不定梁中，未知力与独立的平衡方程数之差，称为静不定度。

简单静不定梁6.相当系统：多余约束解除后，所得之受力与原静不定梁相同的静定梁，称为原静不定梁的相当系统。第七章弯曲变形BACACB即变形协调方程物理方程补充方程

简单静不定梁7.求解静不定梁的方法与步骤第七章弯曲变形（1）根据支反力与有效平衡方程的数目，判断梁的静不定度；（2）解除多余约束，并以相应多余支反力代替其作用，得原静不定梁的相当系统；（3）计算相当系统在多余约束处的位移，并根据相应的变形协调条件建立补充方程，从而求出多余支反力。

简单静不定梁解：1.判断梁的静不定度；

3.变形协调条件；已知：EI

=常数求：作M图5.补充方程并求解；6.作M图M

○2.建立相当系统；4.物理方程；例题7-6第七章弯曲变形

简单静不定梁已知：EI,EA,I=Al2/3求：杆的轴力,作梁的M图解：1.判断梁的静不定度；2.建立相当系统；4.物理方程；

3.变形协调条件；例题7-7第七章弯曲变形

简单静不定梁5.补充方程并求解；6.作M图○第七章弯曲变形

简单静不定梁§7-7梁的刚度条件与合理刚度设计第七章弯曲变形d

对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。

梁的刚度条件与合理刚度设计一、梁的刚度条件第七章弯曲变形对于跨度为l的桥式起重机梁，其许用挠度为：一般用途的轴，其许用挠度为：在安装齿轮或滑动轴承处，轴的许用转角为：梁的刚度条件与合理刚度设计许用挠度许用转角

已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角

θ

=0.5°。1.校核刚度；

2.设计截面尺寸；二、刚度计算3.确定外载荷。d试：根据刚度要求确定该轴的直径d。

例题7-8第七章弯曲变形梁的刚度条件与合理刚度设计1．查表确定B处的转角2．根据刚度设计准则确定轴的直径

2d解：第七章弯曲变形梁的刚度条件与合理刚度设计第七章弯曲变形三、梁的合理刚度设计梁的合理刚度设计主要是指减小梁的弹性位移。梁的刚度条件与合理刚度设计

工字形、槽形、圆环截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形截面合理第六章弯曲应力1.合理选择截面形状比较合理的截面形状，是使用较小的截面，却能获得较大惯性矩的截面，即Iz/A越大越合理。梁的刚度条件与合理刚度设计第七章弯曲变形2.