《向量的数乘运算》课件

第6章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算创设情境aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量a

（如图）a试作出：a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)由向量加法的法则可得小组合作探究活动1:相同向量相加后，和的长度与方向有什么变化？OABC

由图可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把a+a+a记作3a，即OC=3a.

显然，3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|=3|a|.重要结论PQMN由图可知，PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a)记作-3a，即PN=-3a显然，-3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍，即|-3a|=3|a|。重要结论（1）

一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。特别的，当时，①a是一个向量；②a的长度等于

的绝对值与向量a的长度的乘积。向量数乘和实数乘法有哪些相同点?哪些不同点?重要结论=(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a为非零向量)，并进行比较。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。小组合作探究活动2:设为实数，那么特别的，我们有

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有第一分配律第二分配律重要结论牛刀小试思考:定理:当a与b同方向时，有b=μa;当a与b反方向时，有b=-μa，所以始终有一个实数λ，使b=λa。

向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得b=λa.1、如果b=λa,那么，向量a与b是否共线？2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa？

对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa,那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。

若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ倍，即有|b|=μ|a|,且牛刀小试设O、A、B、C为平面上任意四点，且存在实数s，t，使思考：若A、B、C三点共线，则

；

反之，若s+t=1，则

。结论：牛刀小试本节课小结一、①λa的定义及运算律

②向量共线定理(a≠0)

b=λa向量a与b共线

二、定理的应用：

1.证明向量共线

2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线

3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD123456789101112131415161718A级必备知识基础练1.(多选题)[探究点一]下面四种说法,其中正确的是(

)A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mbB.对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-naC.对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=bD.对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=nAB解析

由向量数乘的运算律,得A,B均正确.对于C,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b,错误.对于D,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,错误.123456789101112131415161718A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线A1234567891011121314151617183.[探究点一]设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则

等于(

)C123456789101112131415161718等腰梯形

123456789101112131415161718-2123456789101112131415161718123456789101112131415161718123456789101112131415161718(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.123456789101112131415161718B级关键能力提升练D123456789101112131415161718123456789101112131415161718C123456789101112131415161718C解析

设E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,由于O是三角形ABC的重心,123456789101112131415161718C123456789101112131415161718123456789101112131415161718A.外心

B.内心C.重心

D.垂心B12345678910111213141516171812345678910111213141516171813.(多选题)已知向量a,b是两个非零向量,在下列条件中,一定能使向量a,b共线的是(

)A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)AB123456789101112131415161718解析

选项A中,联立2a-3b=4e和a+2b=-2e,消去向量e可得出4a+b=0,∴b=-4a,且a≠0,所以向量a,b共线.选项B中,∵a,b都是非零向量,且λ≠μ,λa-μb=0,∴λ,μ都不为0,∴a=b,所以向量a,b共线.选项C中,当x=y=0时,满足x+y=0,此时对任意的向量a,b都有xa+yb=0,∴得不出向量a,b共线;选项D中,∵在梯形中AB与CD不一定平行,∴得不出向量a,b共线.故选AB.1234567891011121314151617181234567891011121314151617182212345678910111213141516171812345678910111213141516171817.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD.求证:M,N,C三点共线.1234567891011121314151617181234567891011121314