安徽省池州市鼎尖教育2025-2026学年高一下学期4月期中数学试卷（含解析）

安徽鼎尖教育2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．已知复数（i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．2．在中，，，，则（

）A．16 B． C．9 D．3．如图所示，某测量人员在高为100m的山顶A处，测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分别为和，则B、C两点的距离为（

）A． B． C． D．4．《九章算术》中将正圆台称为“圆亭”．某中学数学社团仿照古制制作了“圆亭”模型，模型上、下底面周长分别为和，高为3，则该模型的体积为（

）A． B． C． D．5．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是边长为2的正三角形，则原的面积为（

）A． B． C． D．6．对于简单凸多面体，满足欧拉公式：顶点数棱数面数．已知某正多面体的每个面都是正三角形，每个顶点连接4条棱，则该正多面体的棱数E为（

）A．6 B．12 C．16 D．207．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（

）A． B． C． D．8．已知非零向量，不共线，给出下列四个结论：①若，则；②若，则存在正实数，使得与垂直；③“”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件；④若，则“”是“与的夹角为”的充要条件．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．已知复数z满足（为虚数单位），且z是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则下列说法正确的有（

）A．z的虚部为 B．复数z的共轭复数为C． D．10．如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，底面边长为a，侧棱长为h，则下列说法正确的有（

）A．正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点B．若底面边长，则侧棱长C．若侧棱长，则该正三棱柱的体积为D．该正三棱柱的侧面积的最大值为11．已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（

）A．的面积的最大值为 B．当P为BC中点时，C．若的面积为面积的，则 D．若，则的最小值为三、填空题12．已知向量，，若与共线，则实数______．13．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三个侧面的面积分别为1，2，3，则该三棱锥的体积为________．14．在平面斜坐标系中，，平面上任意一点P的斜坐标定义为：若，其中、分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，则P的斜坐标为．已知点A的斜坐标为，点B的斜坐标为．若，则实数k的值为________．四、解答题15．已知，是夹角为的两个单位向量，设，．(1)求证：与垂直；(2)求向量与的夹角的大小．16．已知复数z满足，且z的共轭复数满足为纯虚数．(1)求复数z；(2)若复数，求w在复平面内对应点的坐标，并判断该点所在的象限．17．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角A的大小；(2)若，求的周长的取值范围．18．如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切．(1)求该圆柱的表面积；(2)求该直三棱柱的外接球O的体积；(3)点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记，R为外接球的半径，求的最大值．19．在中，角的对边分别为，已知．(1)求的值；(2)若，解答下列问题：①当的面积为时，求AC边上的中线长；②若点D在边上，且平分，求的取值范围．参考答案1．C【详解】由题意得，.2．A【详解】方法一：坐标法．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，则，，．，，则．

方法二：利用向量关系．．由于，，所以．3．C【详解】设山顶在地面的投影为，则，从看的俯角为，则，所以．从看的俯角为，则，所以．由于、在的同侧，则．4．A【详解】已知圆台上、下底面周长分别为和，则半径分别为，，高．圆台体积公式为，代入得：．5．B【详解】由斜二测画法，直观图面积与原图面积的关系为，已知直观图是边长为2的正三角形，其面积为，所以原三角形面积为．6．B【详解】因为过每个顶点的棱数为4，则，得；每个面是正三角形，每条棱属于2个面，故，得；代入欧拉公式：，解得．7．D【详解】由已知条件，化简得．由正弦定理得，，又，所以，所以，由于为锐角三角形，所以．边上的中线长为，设边上的中线长为，则，所以，所以，所以．

8．B【详解】①由得，展开得，故，正确．②若与垂直，，解得，因、，故，不存在正实数，错误．③，即，得，即与夹角为锐角（因为不共线），反之亦然，故为充要条件，不是充分不必要，错误．④由，得，；反之亦然，故为充要条件，正确．正确结论为①④，共2个．9．ACD【详解】对于AB，由得，其虚部为，共轭复数为2i，故A正确、B错误；对于CD，实系数方程一根为，代入原方程得，，解得，，故C、D正确．10．ABD【详解】由已知球表面积为得半径，对于A，正三棱柱外接球球心为上下底面中心连线的中点，故A正确；对于B，由几何关系得，即，代入，得，故B正确；对于C，若，则，体积，故C错误；对于D，由得，侧面积，因为，当且仅当时等号成立，所以，故D正确．11．ABC【详解】对于A，由已知条件，得，由，得，平方得，得，．，由，得，则，所以，故A正确．对于B，当为中点时，，则，故B正确．对于C，由在上，设且，则与面积比等于，由得，故C正确．对于D，若，则，结合，得，为等边三角形．,，则，当时，取得最小值，故D错误．12．/0.5【详解】由已知得，，因为两向量共线，所以，解得．13．/【详解】由题意，设三条侧棱长分别为，，，且两两垂直，三个侧面为直角三角形，其面积分别为，，，即，，．三式相乘得，所以，三棱锥的体积为．14．6【详解】因，所以，由题意，．，已知、为单位向量，夹角为，故，则，解得．15．(1)证明见解析(2)（或）【详解】（1）由已知，，所以．因为，是夹角为的单位向量，所以，且，代入得，因此，与垂直（2）设向量与的夹角为，则．先计算．再计算，所以；，所以．于是，因为，故（或）．16．(1)或(2)当时，在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第二象限；当时，在复平面内对应点的坐标为，该点位于第四象限．【详解】（1）设，其中，由，得，又，则．因为为纯虚数，所以实部为零，虚部不为零，即，联立方程，解得．当时，；当时，．所以或．（2）由，而，故．当时，，在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第二象限；当时，，在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第四象限．综上，当时，在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第二象限；当时,在复平面内对应点的坐标为，该点位于第四象限．17．(1)(2)【详解】（1）由正弦定理，得，代入已知，得．因为，，得，即．又为锐角三角形，所以；（2）由正弦定理得，所以，．因为，所以，即，因为是锐角三角形，所以解得．周长．．由于，则，从而，，所以周长的取值范围是．18．(1)(2)(3)【详解】（1）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，所以，的内切圆半径，圆柱的高，所以圆柱的表面积．（2）直三棱柱的外接球球心位于上下底面外心连线的中点，设外接圆的圆心为，底面直角三角形外心是斜边的中点，则，，所以，外接球半径，体积．（3）设底面的内心为，由球的几何性质，的取值范围为，代入得，即的最大值，等价于求圆柱表面上的点到球心的距离的最大值的平方，设点在底面的投影为，到底面的竖直距离为，，当取最大值（即在圆柱上底面或下底面的圆周上）时，竖直分量最大；同时水平分量的最大值出现在底面内切圆圆周上，因此的最大值必在圆柱上下底面的内切圆圆周上取得，在中，内切圆半径，外接圆半径为，内心到