北京市昌平区2026届高三第二次统一练习（二模）数学试卷（含答案）

④（第（13）、（14）题第一空３分，第二空２分；第（15）题答对一个给3分，答对二个给4分，答对三个给5分，错答得0分。）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理及，……1分得.……2分整理得……3分因为，所以.所以.………………4分因为在中，，所以.………………5分因为，所以. ………………6分（Ⅱ）选条件①：的面积为，.由（Ⅰ）知，又由题知，……………7分所以.……………8分因为，所以，.………………10分由余弦定理得，……12分所以………………13分选条件③：AB边上的高为，．因为，，所以.………………8分因为,所以.……11分因为AB边上的高为，所以.…………12分所以.…………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）在五面体中，底面是正方形， 所以.………1分因为平面，平面，所以平面.………2分因为平面，平面平面，所以.………3分因为为中点，，所以.所以四边形是平行四边形.所以.………4分因为平面，平面，所以平面.………5分（Ⅱ）取的中点，作，.因为为正方形，所以.因为，所以.因为，，所以.………7分因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.………8分所以.即两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系，则.因此，平面的法向量.………10分设平面的法向量为.则即令，则.于是.………11分设平面与平面夹角为，则.………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）根据题中数据可知，100名初中生中有50名学生“非常感兴趣”，………1分所以从该校初中生中随机抽取名同学对课程“非常感兴趣”的概率估计为.………2分设这名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”为事件，则事件的概率可估计为.………5分（Ⅱ）根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，从样本中的小学生中抽取了人，则“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的人数分别为.……6分所以的可能取值为.……7分则；；；；.………9分所以随机变量的分布列为故期望.…11分（Ⅲ）.………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意可得右顶点，上顶点，设左焦点.因为，所以，即.……………2分因为，所以.椭圆的方程为，离心率为.……………6分（Ⅱ）由题可知.当直线斜率不存在时，，所以……7分当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为.……8分由可得..设.则……………10分因为，……………11分所以………12分……………13分因为，所以.所以……………14分综上所述，的取值范围为……………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）因为，所以.……………1分所以.……………2分因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以.……………3分所以.……………4分（Ⅱ）.因为函数在上单调递增，所以在上恒成立.即在上恒成立.……………5分设.则.……………6分令，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.……………7分.所以的最小值为.……………8分所以的取值范围为.……………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当时，函数有两个不同的极值点，不妨设.所以是方程的两个解.即，.……………10分所以.设，则.所以，即.所以.……………11分所以.所以.……………12分所以要证，只需证：对任意，.设，则，.因为当时，，所以在上单调递增.……………13分因为，所以.所以在上单调递增.……………14分所以.所以.即成立.所以.……………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）；；.……3分（Ⅱ）由,得.，若，则.①当时,；同理，当时,.即与同时成立.②当与都不成立时，必有或两者之一成立.不妨设则.所以且.所以且.所以.所以所求数列的通项公式为.…………9分（Ⅲ）设集合，，其中，，则.所以.=1\*GB3①.=2\*GB3②式=1\*GB3①与式=2\*GB3②中均有个不同的数，这些数都是集合中的元素.因为，所以中有且仅有个不同元素.所以式=1\*GB3①与式=2\*GB3②中的数对应相等，即.所以.所以数列是公差为，项数为的等差数列.同理，数列是公差为，项数为的等差数列.所以数列与是两个公差相等（公差），项