重庆市綦江区2025-2026学年高一数学下学期期中试题含解析

重庆市高2025级高一下学期半期考试

数学试题

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1.设集合，，则（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【详解】由题意知集合，，

故.

2.在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解.

【详解】因为，

所以，

所以复数的虚部为,

故选：C.

3.要得到函数的图象，只需将的图象（）

A.向左平移个单位B.向右平移个单位

C.向左平移个单位D.向右平移个单位

【答案】A

【解析】

第1页/共17页

【详解】易知，

故要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位长度.

4.（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】转化，再利用两角和的余弦公式即得解

【详解】由题意，

故选：A

【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，

属于基础题

5.在中，，那么此三角形（）

A.解的个数不确定B.无解

C.有一解D.有两解

【答案】B

【解析】

【分析】借助正弦定理计算即可判断.

【详解】由正弦定理可得，即，

由，显然无解，故此三角形无解.

6.复数满足，则的最大值为（）

A.B.

C.D.

【答案】D

第2页/共17页

【解析】

【分析】根据复数的几何意义求解即可.

【详解】复数满足，其对应的点是以原点为圆心，为半径的圆上的点，

复数几何意义是复数对应的点到点的距离，

所以的最大值为，

故选：D.

7.已知中，若，且点在上，则

（）

A.B.C.D.1

【答案】C

【解析】

【详解】中，由，得，

，又，且点在上，则，

所以.

8.在中，角的对边分别为，，，则

的内切圆的半径为（）

A.B.1C.2D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合正弦定理、余弦定理，由三角形的面积公式列方程，化简求得的值.

【详解】依题意，由正弦定理得，

，

第3页/共17页

,

，由于，所以，

所以，由于，所以.

，

由余弦定理得，

，则，

，其中是三角形内切圆半径，

即，解得.

故选：D

二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知向量，，下列结论正确的是（）

A.若，则B.若，则

C.若，则D.若为钝角，则

【答案】AC

【解析】

【分析】利用向量的坐标运算计算即可.

【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确；

对于B选项，当时，,解得，故B选项不正确；

对于C选项，若，则，所以，所以C选项正确；

对于D选项，依题意，，且，，

故，故D选项错误.

第4页/共17页

10.某个简谐运动可以用函数，来表示，其中部分图象如

图所示，则（）

A.

B.该简谐运动的频率为2，初相位为

C.直线是的一个对称轴

D.点是曲线的一个对称中心

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据图象可得，选项A，利用的图象与性质可得，即可判

断选项A的正误；选项B，由频率和初相位的定义，结合，即可求解；选项C，直接

求解对称轴即可判断C；选项D，，利用性质，求出

的对称轴和对称中心，即可判断出选项D的正误.

【详解】由图知，由图像知，又，所以，

又由五点作图法知，第三个点为，所以，得到，

所以，

第5页/共17页

对于选项A：设，由，

得到，即，

因为对应的是方程在轴右侧的第一个与第二个解，故,

所以，故选项A正确；

对于选项B：因为，所以频率为，由知初相位为，所以选项B

错误；

对于选项C：令，解得，

当时，，故直线是的一个对称轴，选项C正确；

对于选项D：因为，

由，即，

故点是曲线的一个对称中心，故选项D正确；

11.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是

重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，

垂心为，且，以下结论正确的是（）

A.

B.

C.

D.若，则

【答案】AC

【解析】

【分析】A选项，作出辅助线，得到，由向量数量积公式得到；B选项，

第6页/共17页

作出辅助线，利用向量数量积的几何意义得到；C选项，

，故，由欧拉线定理可知，，故C项正确；D选项，由

余弦定理和同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，故

，从而.

【详解】A选项，延长交于点，由于点是的重心，

可得，

所以，故A正确；

B选项，过的外心分别作的垂线，垂足为，如图，

易知点分别是的中点，

则

，故B项错误；

C选项，因为点是的重心，所以，

第7页/共17页

故

，

由欧拉线定理可知，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，

即，所以，则，故C项正确；

对D选项，作于，则为中点，

，

由余弦定理可得，则，

设外接圆半径为，则，即，

则，

则

，故D项错.

故选：AC

三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知，且与的夹角为30°，为与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量

为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用投影向量的公式计算即可.

第8页/共17页

【详解】由已知

则向量在向量上的投影向量为.

故答案为：.

13.已知为锐角，，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】借助同角三角函数基本关系及两角差的正弦公式计算即可得.

【详解】由，为锐角，则，

由为锐角，则，又，故，

则，

故

，

又为锐角，故.

14.已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据已知，将问题化为内恰有2个整数，再分类讨论求参数范围.

【详解】由题设，且，

第9页/共17页

由在区间上恰有2个零点，

只需内恰有2个整数，即，，

当，则，

当，则，

当，则，无解，

同理时，均无解，

综上，的取值范围为.

四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．

15.已知．

（1）若的夹角为，求；

（2）若，求与夹角的余弦值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）借助数量积与模长的关系及数量积公式计算即可得；

（2）借助平面向量垂直定义与平面向量夹角公式计算即可得.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

由，故，

即，则.

16.在中，内角的对边分别为，且

（1）求角；

第10页/共17页

（2）若，且边上的中线，求的周长．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得；

（2）借助平面向量线性运算及模长与数量积关系计算可得，利用余弦定理计算可得

，即可得、，从而可计算出，即可得其周长.

【小问1详解】

由正弦定理将角化为边可得，

即，即，

由余弦定理可得，即，

故，即，又，故；

【小问2详解】

，则

，即，

由余弦定理可得，

故，，

则，

故的周长为.

17.已知函数，的最小正周期为．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值；

第11页/共17页

（3）求不等式的解集．

【答案】（1），.

（2），，，．

（3）．

【解析】

【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用整体代入法可得函数的单调性；

（2）利用整体代入法可得值域，即可得解；

（3）根据三角函数的性质解不等式即可.

【小问1详解】

由题意

，

又函数的最小正周期为，则，，所以，

即，

当，即，时，单调递减，

的单调递减区间是，；

【小问2详解】

，则，故，

，此时，即，

，此时，即；

第12页/共17页

【小问3详解】

由已知，即，

所以或，，

即或，，

所以不等式的解集为．

18.如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（），点C为单位圆上的动

点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B），记的面积为．

（1）记，求的表达式；

（2）若

①求的取值范围；

②设，记，求的最小值．

【答案】（1）（）

（2）①；②

【解析】

【分析】（1）利用三角形面积公式和数量积的定义，写出的表达式；

（2）由，将数量积转化为三角函数，求函数值域即可；

利用向量共线将用t表示，求函数的最值.

【小问1详解】

第13页/共17页

因为，，

所以（）．

【小问2详解】

①设，，则，

，

所以，，

又，所以，则．

②设，则，因为，

所以，

所以，

因为，所以，即，

化简得，，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为．

第14页/共17页

【点睛】因为，M，C三点共线，所以表示向量和的数乘关系，设

，借助，可得.

19.布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是

内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛

卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P

为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题：

（1）若，求的大小及的值；

（2）已知的条件下，解下列两个问题：

①若，求的值；

②若，求S.

【答案】（1）

（2）①12；②

【解析】

【分析】（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得

，，由商数关系求的值；

（2）由，可得，对于①在、

第15页/共17页

、中由余弦