工程信号与系统（第2版）课件 第二章连续系统的时域分析

第二章连续系统的时域分析2.1LTI连续系统的响应Z2.1连续系统的描述-电路图建立微分方程Z2.2微分方程的模拟框图Z2.3微分方程的经典解法Z2.4系统的初始值Z2.5零输入响应

Z2.6零状态响应

Z2.7响应分类Z2.8仿真求解连续系统的零状态响应2.2冲激响应与阶跃响应Z2.9冲激响应的定义和求法Z2.10阶跃响应的定义和求法Z2.11计算机仿真求解冲激响应和阶跃响应2.3卷积积分Z2.12信号的时域分解Z2.13卷积公式Z2.14卷积积分的图解法Z2.15卷积积分的代数性质Z2.16奇异函数的卷积特性Z2.17卷积的微积分性质Z2.18卷积的时移特性Z2.19常用的卷积重要公式Z2.20综合举例：卷积的多种求解Z2.21综合举例：用梳状函数卷积产生周期信号Z2.22综合举例：矩形脉冲的卷积产生三角形和梯形脉冲Z2.23卷积的计算机仿真求解2.4相关函数

Z2.24互相关和自相关函数的定义Z2.25相关与卷积的比较Z2.26应用案例：对通信信道的不利影响进行建模Z2.27应用案例：多径传输中的失真问题2.5连续系统的微分算子描述

Z2.28微分算子P的定义Z2.29微分算子的性质Z2.30传输算子H(P)Z2.31RLC微分算子模型及算子方程建立Z2.32算子法求连续系统的冲激响应第二章连续系统的时域分析知识点Z2.1连续系统的描述：电路图建立微分方程2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.数学模型2.相似系统基本要求：掌握连续电路系统的数学模型Z2.1连续系统的描述：电路图建立微分方程1.数学模型图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为响应，由KVL和VAR列方程，并整理得2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

二阶常系数线性微分方程抽去具有的物理含义，微分方程写成2.相似系统2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

上例的系统方程为：其中，k为弹簧常数，M为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为相似系统：能用相同方程描述的系统。也可描述如下的二阶机械减振系统。知识点Z2.2微分方程的模拟框图2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.基本部件的模型2.框图和方程之间的转换基本要求：1.掌握框图的作图方法2.熟练掌握框图和微分方程的关系Z2.2微分方程的模拟框图1.基本部件：基本运算：数乘、微分、相加基本部件：加法器、数乘器、积分器积分器：加法器：数乘器：积分器的抗干扰性比微分器好2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

2.模拟框图模拟框图：将微分方程用基本部件的相互联接表征出来的图，简称框图。2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

绘制步骤为：(1)画出两个积分器；(2)以最后一个积分器的输出端为y(t)；(3)左边第一个积分器的输入端就是y''(t)，

也是加法器的输出。

例1

已知y''(t)+ay'(t)+by(t)=f(t)，画出框图。解：将方程改写为

y''(t)=f(t)–ay'(t)–by(t)2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

y''(t)=f(t)–ay'(t)–by(t)2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

例2

已知y''(t)+3y'(t)+2y(t)=4f'(t)+f(t)，画框图。解：该方程右端含f(t)的导数，引入辅助函数画出框图。设辅助函数x(t)满足

x''(t)+3x'(t)+2x(t)=f(t)移项整理得：x''(t)=-3x'(t)-2x(t)+f(t)可推导出:

y(t)=4x'(t)+x(t)。(LTI特性)例3

已知框图，写出系统的微分方程。2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

解：设辅助变量x(t)如图x(t)x′(t)x″(t)x''(t)=f(t)–2x'(t)–3x(t)即x''(t)+2x'(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x'(t)+3x(t)根据前面的逆过程，得y''(t)+2y'(t)+3y(t)=4f'(t)+3f(t)知识点Z2.3微分方程的经典解法2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.齐次解的定义和解法2.特解的含义和全响应的求解基本要求：1.熟悉齐次解和特解的函数形式2.掌握微分方程的经典解法Z2.3微分方程的经典解法1.经典解y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)

=bmf(m)(t)+bm-1f

(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解)齐次解是对应齐次微分方程的解：y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0特解的函数形式与激励的函数形式有关。2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

特征根为λn+an-1λn-1+…+a0=0的根λi(i=1,2,…,n)，由特征根可以得到齐次解的函数形式。2.齐次解的常用函数形式(p.37)3.特解的常用函数形式(p.37)2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

解:(1)特征方程：λ2+5λ+6=0，得：λ1=–2，λ2=–3设定齐次解：yh(t)=C1e

–2t+C2e–3t设定特解：yp(t)=Qe

–t，代入微分方程：Qe

–t

+5(–Qe

–t)+6Qe

–t

=2e

–t

解得：Q=1全解：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e

–2t+C2e

–3t

+e

–ty(0+)=C1+C2+1=2y'(0+)=–2C1–3C2–1=–1解得

C1=3，C2=–2得全解

y(t)=3e

–2t

–2e–3t

+e–t,t≥0例

某系统的微分方程为y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t),求

(1)当f(t)=2e-t,t≥0；y(0+)=2，y'(0+)=–1时的全解；(2)当f(t)=e-2t,t≥0；y(0+)=1，y'(0+)=0时的全解。(2)齐次解：

yh(t)=C1e–2t

+C2e

–3t同上特解：

yp(t)=(Q0+Q1t)e–2t

(f(t)=e-2t,注意形式)代入微分方程：Q1e-2t

=e–2t解得：

Q1=1全解：

y(t)=C1e–2t

+C2e–3t

+te–2t

+Q0e–2t=(C1+Q0)e–2t+C2e–3t+te–2t代入初始条件，得：y(0+)=(C1+Q0)+C2=1，y'(0+)=–2(C1+Q0)–3C2+1=0解得

C1

+Q0=2,C2=–1最后得全解：

y(t)=2e–2t

–e–3t

+te–2t,t≥0说明：上式第一项系数C1+Q0=2，不能区分C1和Q0.

2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

知识点Z2.4连续系统的初始值2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.初始值的定义2.初始值的求法基本要求：1.了解初始值的概念2.掌握系数匹配法初始状态是指系统在激励尚未接入的t=0-时刻的响应值y(j)(0-)，该值反映了系统的历史情况，而与激励无关。为求解微分方程，需要从已知的初始状态y(j)(0-)求得初始值y(j)(0+)。Z2.4系统的初始值初始值是n阶系统在t=0时接入激励，其响应在t=0+时刻的值，即y(j)(0+)(j=0,1,2…，n-1)。2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

例

某系统描述某系统的微分方程为y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y'(0-)=0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y'(0+)。解：将f(t)=ε(t)代入微分方程得y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)系数匹配:上式在[0-,0+]区间两端δ(t)项的系数应相等。由于等号右端含2δ(t)，故只有y''(t)包含δ(t)（思考原因）故：y'(0+)≠y'(0-)不连续y(0+)=y(0-)=2连续

2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

对y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)两端积分说明：积分区间[0-,0+]无穷小，且y(t)不含δ(t)，故于是由上式得：y'(0+)–y'(0-)=2→

y'(0+)=2

结论：微分方程等号右端含有δ(t)时，仅在等号左端y(t)的最高阶导数中含有δ(t)，则y(t)的次高阶跃变，其余连续；若右端不含冲激函数，则不会跃变。→→y'(0+)–y'(0-)→y(0+)–y(0-)=0→0→20

知识点Z2.5零输入响应2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.零输入响应的初始值2.零输入响应的求解步骤基本要求：1.了解零输入响应的初始值2.掌握求解方法Z2.5零输入响应2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

定义：特点：系统激励为零，仅由初始状态引起的响应，称之为该系统的“零输入响应”。随时间按指数规律衰减。例如：一个充好电的电容器通过电阻放电，是系统零输入响应的一个最简单的实例。1.初始值的确定y(t)=yzi(t)+yzs(t)分别采用经典法进行求解。yzi(t)对应齐次微分方程，故不存在跃变，即：yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-)y(j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-)=02.求解步骤2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

说明：若给定y(j)(0+)，则先求yzs(j)(0+),而yzi(j)(0+)=y(j)(0+)-yzs(j)(0+)。Step1:求特征值，设定齐次解；Step2:代入初始值，求待定系数。2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

例

描述某连续系统的微分方程为

y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y′(0-)=0，f(t)=ε(t)，求零输入响应。解：确定零输入响应的方程：yzi''(t)+3yzi'(t)+2yzi(t)=0yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2yzi'(0+)=yzi'(0-)=y'(0-)=0(1)由特征根–1,–2,设定：yzi(t)=C1e–t+C2e–2t

(2)代入初始值，求系数:C1=4,C2=–2yzi(t)=4e

–t–2e

–2t,t≥0知识点Z2.6零状态响应2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.零状态响应的初始值2.零状态响应的求解基本要求：熟练掌握零状态响应的求解方法Z2.6零状态响应1.初始值的确定由系数匹配法，从yzs(j)(0-)=0求yzs(j)(0+)。yzs(j)(0-)=0，

j=0,1,2,…n-12.求解步骤2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

Step1:求特征值，设定齐次解；Step2:设定特解，代入方程求特解；Step3:代入初始值，求待定系数。2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

例

描述某系统的微分方程为

y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y'(0-)=0，f(t)=ε(t),求零状态响应。解：确定零状态响应的微分方程：yzs''(t)+3yzs'(t)+2yzs

(t)=2δ(t)+6ε(t)yzs(0-)=yzs'(0-)=0由系数匹配法yzs

(0+)=yzs

(0-)=0yzs'(0+)-

yzs'(0-)=2,即：yzs'(0+)=22.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

t>0时，yzs''(t)+3yzs'(t)+2yzs

(t)=6(1)设定齐次解为：yzsh(t)=D1e-t

+D2e-2t，(2)设定特解为：yzsp(t)=p,代入微分方程2p=6，求得p=3则yzs(t)=D1e-t

+D2e-2t

+3(3)代入初始值，求得系数：D1=-4,D2=1yzs(t)=–4e-t

+e-2t+3，t≥0知识点Z2.7响应分类2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.固有响应和强迫响应2.暂态响应和稳态响应基本要求：掌握响应分类的判定方法Z2.7响应分类1.固有响应和强迫响应固有响应仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式无关。齐次解的函数形式仅与特征方程的根有关，特征方程的根称为系统的“固有频率”，齐次解常称为系统的固有响应或自由响应。强迫响应与激励的函数形式有关。特解的函数形式与激励的函数形式有关，常称为强迫响应。2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

2.暂态响应和稳态响应暂态响应是指响应中暂时出现的分量，随着时间的增长，它将消失。稳态响应是稳定的分量，若存在，通常表现为阶跃函数和周期函数。比如，电路系统中的直流稳态响应和正弦稳态响应。2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

例

某系统的微分方程为

y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)在t≥0接入如下激励，判断各全响应中的固有响应和强迫响应分量，暂态响应和稳态响应分量。(1)f1(t)=10cos(t)，全响应为y1(t)=2e

–2t–e

–3t+cos(t–π/4)(2)f2(t)=2e–t，全响应为

y2(t)=3e–2t

–2e–3t

+e–t

(3)f3(t)=

ε(t)，全响应为y3(t)=-e–2t+3y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)其对应特征方程的特征根为-2，-3解：(1)f1(t)=10cos(t)，y1(t)=2e–2t

–e–3t

+cos(t–π/4)固有响应强迫响应暂态响应稳态响应(2)f2(t)=2e–t，y2(t)=3e–2t

–2e–3t

+e–t(3)f3(t)=

ε(t)，y3(t)=-e–2t

+3固有响应强迫响应暂态响应暂态响应固有响应强迫响应稳态响应特征根为-2，-32.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

知识点Z2.8计算机仿真求解连续系统的零状态响应主要内容：1.仿真求解连续系统零状态响应2.系统模型的建立基本要求：掌握连续系统零状态响应的仿真求解法2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

Z2.8计算机仿真求解连续系统的零状态响应求LTI系统的零状态响应的函数lsim，其调用格式为y=lsim(sys,f,t)式中，t表示计算系统响应的抽样点向量；f是系统输入信号，sys是LTI系统模型，用来表示微分方程。系统模型sys要借助tf函数获得，其调用方式为sys=tf(b,a)式中，b和a分别为微分方程的右端和左端各项的系数。比如：y″(t)+5y′(t)+6y(t)=f″(t)+2f(t)

a=[1,5,6];b=[1,0,2];sys=tf(b,a)2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

例系统的微分方程为y″(t)+2y′(t)+77y(t)=f(t)在t≥0接入激励f

(t)=10sin(2πt)，求零状态响应。sys=tf([1],[1,2,77]);%tf函数获得系统模型syst=0:0.01:5;%对时间t进行离散抽样f=10*sin(2*pi*t);y=lsim(sys,f,t);%求系统的零状态响应plot(t,y);%画图xlabel('Time(sec)')ylabel('y(t)')解：2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析

知识点Z2.9冲激响应的定义和求法2.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.冲激响应的定义2.冲激响应的求法基本要求：1.掌握冲激响应的定义2.掌握冲激响应的求法Z2.9冲激响应的定义和求法1.定义冲激响应是由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应，记为h(t)。2.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

h(t)隐含的条件：f(t)=δ(t)h(0-)=h'(0-)=0(对二阶系统)基本信号：冲激函数δ(t)基本响应：冲激响应h(t)2.求法

2.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

描述二阶LTI系统的微分方程的一般形式为：y''(t)+a1y'(t)+a0y(t)=b2

f''(t)+b1

f'(t)+b0

f(t)冲激响应不直接求，而是分两步进行：(1)选新变量h1(t)，使它满足h1''(t)+a1h1'(t)+a0h1(t)=

δ(t)h1(0-)=h1'(0-)=0采用经典法求解h1(t)；(2)根据LTI系统零状态响应的线性性质和微分特性，则系统的冲激响应：h(t)=b2

h1''(t)+b1

h1'(t)+b0

h1(t)例如图所示LTI系统，求其冲激响应。解：(1)先列写系统的微分方程积分器的输出为x(t)，列出左端加法器的方程：右端加法器方程：合并整理：2.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

(2)求h1(t)，满足如下方程其特征根为-1和-2，特解为0，假设解为：代入初始值可求得：由系数匹配法：h1(0+)=h1(0-)=0h1′(0+)-h1′(0-)=1，即：h1′(0+)=12.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

(3)求h(t)，满足如下方程求得冲激响应为：说明：结合零状态响应的线性性质和微分性质，来简化求解过程；若直接进行求解，方程右端将会出现冲激函数的各阶导数。计算h1′(t)：2.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

知识点Z2.10阶跃响应的定义和求法2.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.阶跃响应的定义2.阶跃响应的求法基本要求：掌握阶跃响应的求法Z2.10阶跃响应的定义和求法1.定义阶跃响应是由单位阶跃函数ε(t)所引起的零状态响应，记为g(t)。2.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

g(t)隐含的条件：f(t)=ε(t)g(0-)=g'(0-)=0基本信号：阶跃函数ε(t)基本响应：阶跃响应g(t)2.求法

2.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

方法一：求解系统的阶跃响应分两步进行：y''(t)+a1y'(t)+a0y(t)=b2

f''(t)+b1

f'(t)+b0

f(t)(1)选新变量g1(t)，使它满足g1''(t)+a1g1'(t)+a0g1(t)=

ε(t)g1(0-)=g1'(0-)=0采用经典法求解g1(t)；(2)根据LTI系统零状态响应的线性性质和微分，则阶跃响应：

g(t)=b2

g1''(t)+b1

g1'(t)+b0

g1(t)方法二：由于单位阶跃函数ε(t)与单位冲激函数δ(t)的关系为根据LTI系统的微（积）分特性，同一系统的阶跃响应与冲激响应的关系为2.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

例

如图所示LTI系统，求其阶跃响应和冲激响应。解：(1)先列写系统的微分方程积分器的输出为x(t)，列出左端加法器的方程：右端加法器方程：合并整理：2.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

(2)求g1(t),满足如下方程其特征根为-1和-2，特解为0.5，设定解为：代入初始值可求得：由系数匹配法：g1(0+)=g1'(0+)=02.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

(3)求g

(t)，满足如下方程求得阶跃响应为：说明：冲激响应和阶跃响应之间的关系，可以灵活运用；注意中间变量g1(t)的表达式。求得冲激响应为：2.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

知识点Z2.11

仿真求解冲激响应和阶跃响应主要内容：冲激响应和阶跃响应的仿真求解方法基本要求：了解冲激、阶跃响应的仿真求解函数2.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

Z2.11仿真求解冲激响应和阶跃响应计算机仿真提供了专门用于求LTI系统的冲激响应和阶跃响应的函数。系统微分方程为求LTI系统的冲激响应的函数为：impulse(b,a)求LTI系统的阶跃响应的函数为：step(b,a)其中a和b表示系统方程左端和右端的系数向量。2.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

例求以下系统的冲激响应和阶跃响应。7y″(t)+4y′(t)+6y(t)=f′(t)+f(t)a=[7,4,6];%构造系数向量b=[1,1];subplot(2,1,1)impulse(b,a);%求系统的冲激响应并作图subplot(2,1,2)step(b,a);%求系统的阶跃响应并作图解：2.2冲激响应与阶跃响应第二章连续系统的时域分析

知识点Z2.12信号的时域分解2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

主要内容：任意信号时域分解的方法基本要求：了解时域分解公式的含义Z2.12信号的时域分解2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

(1)预备知识问f1(t)=

?

p(t)直观看出“0”号脉冲高度f(0),宽度为Δ，用p(t)表示为：f(0)Δp(t)“1”号脉冲高度f(Δ),宽度为Δ，用p(t-Δ)表示为：f(Δ)Δp(t-Δ)“-1”号脉冲高度f(-Δ),宽度为Δ,表示为

f(-Δ)Δp(t+Δ)(2)任意信号分解2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

知识点Z2.13卷积公式2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.卷积积分的定义2.零状态响应的卷积求解公式基本要求：掌握卷积积分的重要公式Z2.13卷积公式2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

根据h(t)的定义：δ(t)

h(t)由时不变性：δ(t-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t-τ)由齐次性：f(τ)

h(t-τ)由叠加性：‖f(t)‖yzs(t)卷积积分yzs(t)卷积积分的定义已知定义在区间(–∞,∞)上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为f(t)=f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t的函数。2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

例f1

(t)=e-tε(t)，f2

(t)=ε(t)，求f(t)=f1

(t)*

f2

(t)。2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

解：知识点Z2.14卷积积分的图解法2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.图解法步骤2.图解法作用基本要求：1.掌握图解法2.会用图解法求某一点的卷积结果Z2.14卷积积分的图解法卷积过程可分解为四步：(1)换元：

t换为τ→得f1(τ)，f2(τ)(2)反折平移：由f2(τ)反折→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)(3)乘积：

f1(τ)f2(t-τ)(4)积分：

τ从–∞到∞对乘积项积分。注意：t为参变量。2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

例1f(t),h(t)如图，求yzs(t)=h(t)*f(t)。解:

f(t-τ)f(τ)反折→f(-τ)平移t→①t<0时,f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yzs(t)=0

t>0

时,f(t-τ)向右移②0≤t≤1时④2≤t≤3时⑤

t>3时，完全移出，f(t–τ)h(τ)=0，故

yzs(t)=0h(t)函数形式复杂,换元为h(τ)；

f(t)换元为f(τ)③1≤t≤2

时02.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。例2

f1(t),f2(t)如图，已知y(t)=f1(t)*f2(t)，求y(6)=？解：2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

知识点Z2.15卷积积分的代数性质2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.卷积积分满足乘法的三律2.复合系统的冲激响应基本要求：掌握复合系统冲激响应的求法

Z2.15卷积积分的代数性质2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

1.满足乘法的三律：(1)交换律：

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)(2)分配律：

f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)(3)结合律：[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]证明：(仅证明交换律，其它类似)2.复合系统的冲激响应2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

知识点Z2.16奇异函数的卷积特性2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

主要内容：奇异函数的卷积特性基本要求：掌握奇异函数的卷积特性公式Z2.16奇异函数的卷积特性1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)

证：f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

2.f(t)*δ'(t)=f'(t)

证：f(t)*δ(n)(t)=f

(n)(t)3.

f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=tε(t)知识点Z2.17卷积的微积分性质2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.卷积的微积分性质2.使用微积分性质简化卷积计算的条件基本要求：掌握卷积的微积分性质1.证：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]

=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.证：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]

=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，f1(t)*f2(t)=f1'(t)*f2(–1)(t)Z2.17卷积的微积分性质2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

例1

f1(t)=1，f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)。

解：通常复杂函数放前面，代入定义式得注意：套用f1(t)*f2(t)=f1'(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0显然是错误的。例2

f1(t)如图,

f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)。解：

f1(t)*f2(t)=f1′(t)*f2(–1)(t)f1'(t)=δ(t)–δ(t

–2)f1(t)*f2(t)=(1–

e–t)ε(t)–[1–

e–(t-2)]ε(t-2)2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

知识点Z2.18卷积的时移特性2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

主要内容：卷积的时移特性基本要求：1.掌握卷积的时移特性2.熟练运用时移特性简化卷积计算解：f1(t)=ε

(t)–ε

(t–2)

f1(t)*f2(t)=ε

(t)*

f2(t)–ε

(t–2)*

f2(t)

ε

(t)*

f2(t)=f2(-1)(t)=(1-e–t)ε

(t)若f(t)=f1(t)*f2(t)，则f1(t

–t1)*f2(t

–t2)=f1(t

–t1–t2)*f2(t)

=f1(t)*f2(t

–t1–t2)=f(t

–t1–t2)例1

f1(t)如图,

f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)由时移特性，ε

(t–2)*

f2(t)=f2(-1)(t

–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)Z2.18卷积的时移特性2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

例2

f1(t),f2(t)如图，求f1(t)*f2(t)解：f1(t)=2ε

(t)–2ε

(t–1)

f2(t)=ε

(t+1)–ε

(t–1)f1(t)*f2(t)=2ε

(t)*ε

(t+1)–2ε

(t)*ε

(t–1)–2ε

(t–1)*ε

(t+1)+2ε

(t–1)*ε

(t–1)由于ε

(t)*ε

(t)=tε

(t)由时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)ε

(t+1)-2(t–1)ε

(t–1)–2tε

(t)–2(t–2)ε

(t–2)2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

知识点Z2.19常用的卷积重要公式2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

主要内容：卷积的常用公式基本要求：掌握常用的卷积公式2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

Z2.19常用的卷积重要公式知识点Z2.20卷积的多种求解方法2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

主要内容：卷积的多种求解方法基本要求：熟练掌握卷积的各种求解方法2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

Z2.20卷积的多种求解方法求解卷积的方法可归纳为：(1)利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。(2)图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。(3)利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。例已知f1(t)=e–2tε(t)，f2(t)=ε(t)。求卷积积分f1(t)*f2(t)。解法I（定义）：2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

解法II（性质）：例f1(t)=e–2tε(t)，f2(t)=ε(t)，求卷积积分f1(t)*f2(t)。2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

解法III（图解）：解法IV（常用公式）：知识点Z2.21用梳状函数卷积产生周期信号2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.

梳状函数的定义2.

信号与梳状函数卷积基本要求：了解卷积产生周期信号的过程Z2.21用梳状函数卷积产生周期信号回顾：卷积的时移特性时限信号f(t)与δT(t)的卷积：周期为T的周期单位冲激函数序列，常称为梳状函数。2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

卷积的结果依然是周期信号，其周期为T。当

T>τ时，

fT(t)中每个周期内的波形与f

(t)

相同；若T<τ时，各相邻脉冲之间将会出现重叠，将无法使波形f

(t)在fT(t)

的每个周期中重现。知识点Z2.22矩形脉冲的卷积产生三角形和梯形脉冲2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.同门宽矩形脉冲的卷积结果2.不同门宽矩形脉冲的卷积结果基本要求：掌握矩形脉冲卷积产生三角形脉冲Z2.22矩形脉冲的卷积产生三角形和梯形脉冲例1

如图所示门函数gτ(t)，在电子技术中称为矩形脉冲，其幅度为1，宽度为τ

，求卷积积分

。解：图解法(1)对gτ(t)

换元反折；2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

(2)t<-τ和t

>τ时：gτ(t)

﹡gτ(t)=0；(3)-τ≤t<0时：2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

(4)0≤

t≤τ

时：整理后写成：2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

例2

两个门函数gτ1(t)和gτ2(t)，其幅度为1，宽度分别为τ1

和τ2，求卷积积分

结论：两个不同宽的门函数卷积时，其结果为梯形函数，梯形函数的高度为窄门的门宽，其上底为两个门函数宽度之差绝对值，下底为两个门函数宽度之和。2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

知识点Z2.23卷积的计算机仿真求解2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

主要内容：求连续信号的卷积的函数基本要求：掌握计算机仿真求连续信号卷积的方法Z2.23卷积的计算机仿真求解计算机仿真处理离散卷积的函数为conv(f1,f2)，是对序列做卷积运算。处理连续信号的卷积时，需要对连续信号先取相同的卷积步长，得到的结果再乘以实际步长（连续信号的取样间隔）。2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

例已知两个连续时间信号为：利用仿真软件画出f1(t)*f2(t)的时域波形图。t11=0;t12=1;t21=0;t22=2;t1=t11:0.001:t12;%0~1之间，采样间隔为0.001ft1=2*rectpuls(t1-0.5,1)；%幅值为1,宽度为1,t1=0.5点对称的方波信号t2=t21:0.001:t22ft2=t2;t3=t11+t21:0.001:t12+t22；ft3=conv(ft1,ft2)；ft3=ft3*0.001；%结果乘以步长plot(t3,ft3)title('ft1(t)*ft2(t)')，2.3卷积积分第二章连续系统的时域分析

解：知识点Z2.24互相关和自相关函数的定义2.4相关函数第二章连续系统的时域分析

主要内容：1.互相关函数的定义2.自相关函数的定义基本要求：了解相关函数的定义为比较某信号与另一延时τ的信号之间的相似度，需要引入相关函数的概念。相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。相关函数也称为相关积分，它与卷积的运算方法类似。实函数f1(t)和f2(t)，如为能量有限信号，它们之间的互相关函数定义为：Z2.24互相关和自相关函数的定义2.4相关函数第二章连续系统的时域分析

互相关函数是两信号之间时间差τ的函数。一般R12(τ)≠R21(τ)。如果f1(t)和f2(t)是同一信号，可记为

f(t)

，这时无需区分R12与R21，用R(τ)表示，称为自相关函数。即

：容易看出，对自相关函数有：可见，实函数f(t)的自相关函数是时移τ

的偶函数。2.4相关函数第二章连续系统的时域分析

知识点Z2.25相关与卷积的比较2.4相关函数第二章连续系统的时域分析

主要内容：相关与卷积的区别基本要求：1.了解相关与卷积的图解过程2.了解相关与卷积相等的条件函数f1(t)和f2(t)卷积的表达式为：为了便于与互相关函数进行比较，我们将互相关函数定义式中的变量t和τ进行互换，可将实函数f1(t)和f2(t)的互相关函数写为：比较上两式，两种运算的不同之处仅在于，卷积开始时需要将f2(τ)反折为f2(-τ)，而相关运算则不需反折，仍为f2(τ)。其它的移位、相乘和积分的运算方法相同。Z2.25相关与卷积的比较2.4相关函数第二章连续系统的时域分析

2.4相关函数第二章连续系统的时域分析

根据卷积的定义可见由上式可知，若f1(t)和f2(t)均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。2.4相关函数第二章连续系统的时域分析

知识点Z2.26对通信信道的不利影响进行建模2.4相关函数第二章连续系统的时域分析

主要内容：码间干扰的概念基本要求：了解码间干扰的概念对通信信道的不利影响进行建模，得到如图(a)的RC电路，其中输入f(t)为传输信号，输出y(t)为接收信号。假设信息以二进制形式表示，在时间T内，利用图(b)的p(t)

传输“1”，或者利用-p(t)传输“0”，例如传输序列“1101001”，可以画出其波形如图(c)所示。Z2.26案例：对通信信道的不利影响进行建模+-+-(a)(b)2.4相关函数第二章连续系统的时域分析

问：假设在t=0时刻传输一个“1”，计算接收信号y(t)。注意：在t=0~T内，利用p(t)传输1；当T<t<2T，会出现码间干扰的现象，这是由于接收时刻超出当前的时间间隔T，延伸到了下个比特的时间内，该情况就是码间干扰(intersymbolinterference,ISI)，假定T=1/(RC)。解：RC电路的冲激响应为：系统的输出为：2.4相关函数第二章连续系统的时域分析

当t<0时：当0≤t<T时：当t≥T时：2.4相关函数第二章连续系统的时域分析

在时间0~T内，传输信号p(t)

=1，则：当传输“1000”，各RC值(令T=1)输出信号的波形如图。2.4相关函数第二章连续系统的时域分析

结论：减少RC的值，可以减小码间干扰。知识点Z2.27多径传输中的失真问题2.4相关函数第二章连续系统的时域分析

主要内容：多径传输失真的概念基本要求：了解多径传输失真问题无线通信系统中，当接收机从正常途径收到发射信号时，可能还有其它寄生的传输路径：例如从发射机经某些建筑物反射到达接收端，产生所谓“回波”现象；又如，当我们需要完成室内录音时，除了直接进入麦克风的正常信号之外，经墙壁反射的信号也可能被采集录入，这也是一种“回声”现象。为这种多径传输现象建立数学模型的简单方法就是定义一个接收信号r(t)，它包括正常传输信号e(t)与回波分量ae