山东青岛西海岸新区2025-2026学年高一下学期期中学业水平检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东青岛西海岸新区2025-2026学年高一下学期期中学业水平检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.用斜二测画法画一个边长为2的正方形的直观图，则此直观图的面积为(

)A.82 B.42 C.2.已知向量a,b的夹角为60∘，a=1，bA.3 B.2 C.7 3.已知1−i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，则实数p,q的和为(

)A.2 B.0 C.−2 D.−44.已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，若c=acosB，则▵ABC的形状为(

)A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形5.已知向量a在b上的投影向量为12b，且b=2，则aA.0 B.1 C.2 D.36.已知等腰直角三角形底边长是2，该三角形绕其底边旋转一周得到一个旋转体，用垂直于底边的平面去截此旋转体，则所得截面面积最大值为(

)A.π4 B.π2 C.27.印度数学家婆罗摩笈多对凸四边形进行研究时，总结出如下结论：“若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大”.在凸四边形ABCD中，若BC=2，AB=AD=CD=1，则四边形ABCD面积取得最大值时角C的大小为(

)A.π4 B.π3 C.π28.在▵ABC中，O为AB边上靠近点B的三等分点，D为AC边上一点，若OB=xOC+yOD，则x+yA.1 B.−13 C.−1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是(

)A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.平行四边形 D.五边形10.已知向量a=2,m,bA.若a=5，则m=1 B.若a//b，则m=−1

C.若a⊥b，则11.如图，▵ABC是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若AF=FD，则(

)

A.sin∠CAF=2sin∠ACF B.AC=32CF

C.AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在复数范围内可将多项式分解成一次因式的积，请尝试分解：x2+1=

．13.一条东西方向的河流两岸平行，河宽2003m，水流的速度为向东4m/s，一艘游船从南岸码头出发航行到河对岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为20m/s，方向为北偏西30∘，则游船到达对岸的时间为14.已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，b=c1+2cosA，则b+3ca的取值范围为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z=2i(1)求z；(2)若复数ω是纯虚数，且满足|ω−z|=2，求ω16.(本小题15分)已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，且(a+2b)cos(1)求C；(2)若c=2，求▵ABC面积的最大值．17.(本小题15分)如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，AB=3AD=3CD=6，E为BC上一点，且BE=3(1)若AE=λAB+μ(2)若P是AB上一点，求PD⋅PE18.(本小题17分)已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，设θ∈(0,π)．(1)若B=30∘，b=2，(2)证明：acos(3)若c=2，acos(B−θ)+bcos(A+θ)=119.(本小题17分)已知正n(n≥3)边形P1P2⋯Pn的顶点在单位圆O(1)若n=3，P为圆O上任意一点，判断i=13|P(2)证明：i=1n(3)若点Q满足|OQ|=2，求i=1n参考答案1.D

2.C

3.B

4.A

5.C

6.B

7.B

8.C

9.ABC

10.BC

11.ACD

12.x+ix−i13.20

14.215.解：(1)z=2i1−i=(2)因为复数ω是纯虚数，可设ω=bi(b≠0)，则bi−−1+i=则12+b−12=所以ω=2i，故ω在复平面对应的点的坐标为0,2．

16.解：(1)因为(a+2b)cos由正弦定理得(sin即sinA所以2sin2sin因为sinB≠0，所以cos因为0<C<π，所以C=2π(2)S由余弦定理得4=a化简得4=a2+b2所以4−ab≥2ab，即ab≤4所以S△ABC=34

17.解：(1)以A为坐标原点，分别以AB,AD所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系如图所示：则A(0,0)，B(6,0)，C(2,2)，D(0,2)，AB=(6,0)，AD=(0,2)，BE=34又因为AE=λ所以6λ=32μ=32，解得λ=12(2)设P(t,0)，则PD=(0,2)−(t,0)=(−t,2)，PE所以PD⋅函数ft=t所以t=32时，PD⋅

18.解：(1)因为B=30∘，b=由正弦定理得bsinB=csin因为0∘<C<180∘当C=45∘时，当C=135∘时，所以A=105∘或(2)a=cos由正弦定理asin所以a=2Rsin则aasin所以acos(3)法一：a=cos由(2)可得cosθ由(2)知acos所以cosθ=12，因为θ∈所以asin法二：由(2)，acos(B−θ)+bcos令β+π2代替θ，则acos化简得asin(B−β)−bsin由(2)知acos所以cosθ=12，因为θ∈(0,π)所以asin

19.解：(1)当n=3时，i=1=|O因为▵P1P2P3是单位圆O的内接正三角形，所以所以|PP1(2)考虑到正多边形中心与正多边形各个顶点之间的连