2025-2026学年广东省惠州市惠州中学高二下册数学4月月考试题 含答案

/惠州中学2025-2026学年高二年级第二学期4月月考数学第一部分(选择题共58分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列an是等比数列,公比q>0,前n项和为Sn,满足a1=12A.14B.4C.12.圆O1:x2+y2A.4B.3C.2D.13.已知函数fx=x3+2ax2A.-3B.-1C.-1或-3D.34.惠州中学高二开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有()A.36种B.64种C.72种D.120种5.函数fx=1−cosxsinx在A.BCD6.若直线y=kx+1k∈R是曲线y=lnx+A.0B.1C.eD.17.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,……,第n层有an个球,则数列1an的前A.97B.107C.118.已知函数fx=x2+6x+3x≤0elnA.0,23B.0,二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列四个命题中正确的是()A.过点2,−1且斜率为-1的直线与直线2x+B.数列an满足a1=1C.等差数列an满足a1+aD.过P−1,−2作直线与圆x2+y2=410.已知O为坐标原点，抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为直线l,直线PQ与CA.点F到直线l的距离是4B.若PQ的方程是2x−y−4=0C.若点4,0在直线PQ上，则D.若PQ的中点G到直线l的距离为3,则FP11.已知函数fx与gx及其导函数f′x与g′x的定义域均为R，f′x的图象关于点2,0对称，gx的图象关于直线xA.f4−C.4为f′x的周期第二部分(非选择题共92分)三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从5名女老师和3名男老师中选出一位主考和两位监考参加2025年高考某考场的监考工作.要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为_____.13.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点为F1,F214.设函数fx=x−1ex−e,gx=x−lnx四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求C的方程:(2)过点M0,1直线l与椭圆有两个交点A,B，已知y轴上点N16.已知数列an,bn满足an(1)求an，bn(2)求数列anbn的前n项和(3)在数列an的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列bn17.已知函数f(1)讨论函数fx(2)若曲线fx在x=2处的切线垂直于直线y=2x,对任意x∈018.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,1<x≤12)满足:当1<x≤4时,y=ax−32+bx−1,a,b为常数;当(1)求a,b的值，并确定y关于x(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润fx最大.19.已知函数fx(1)若a=−1，求f(2)若a=−2，判断f(3)若对任意x∈0,π，fx≥0惠州中学2025-2026学年高二年级第二学期4月月考数学答案题号12345678910答案DADBCADBBDBC题号11答案ACD1.D因为S1+S3=2S2+1,a1=12,所以12+12+2.A圆O1:x2+则O10,3,半径为r1=1;O则两圆相离，故公切线条数为4.故选:A3.B由已知f′x=3x2+4ax+所以有f′1=3+4a+a2=0,解得a=−解f′x>0可得,x<13或x>1,所以fx解f′x<0可得,13<x<1所以,函数fx在x=1处取得极小值,满足条件;当a=−3解f′x>0可得,x<1或x>3,所以fx解f′x<0可得,1<x<3,所以fx在1,3上单调递减.所以,函数4.B【详解(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C41C41=16种；(2)当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C41C42=24种；②若体育类选修课5.C由题意,x∈−π,π关于原点对称,又f−又x∈0,π时,1−cosx≥0,sinx当x∈0,π时,f′x=sin2x+1−cosxcosx=−2cos2x+cosx+1=2cosx+1−cosx+1,当x∈0,π时,6.A设fx=lnx+2,f′x则切线方程为y−lna+2由题意得y=kx+1=1ax+lna+1,即1a=klna+1=1,解得a=1k=1,即fx与gx的公切线为y=x+1,7.D由题意可知:a2−a1=2,a3−a2=3,a4−a3=4,⋯,an−an−8.B由题当x>0时,fx=elnxx,所以f′x=e1−lnxx2,所以当x∈0,e时,f′x>0,当x∈e,+∞时,f′x<0;所以fx在区间0若要使函数gx=fx−3m有4个不同的零点,所以y=fx的图象与直线y=3m9.BD对于A,过点2,−1且斜率为-1的直线方程为y+1=−x−2,即2x+2y−2=0,因此所求距离为−2−12对于C,在等差数列an中,由a1+a5+a7+a对于D,圆x2+y2=4的圆心O0,0,半径r=2,OP=3,点P在圆x2+y2=4内,则圆心O10.BC.对于选项A,由题意可知抛物线C的焦点为F1,0,准线l的方程为x=−1,所以点F到直线l的距离是2,故A错误;对于选项B,由2x−y−4=0,所以yP−yQ=6,又PQ与x轴的交点为E2,0,所以EF=1,所以△FPQ的面积为12EF⋅yP−yQ=3,故B正确;对于选项C,设PQ:x=my+4,Px1,y1,Qx2,y2,由x=my+4,y2=4x,得y11.ACD对A:f′x的图象关于点2,0对其积分可得fx−f4−x=cc由f6=f−2可得c=0,故fx对B:若g12−x+gx−10=0成立,令而根据已知条件可知g1=1对C:已知gx+12=f2x+1,令又gx关于x=1对称,则gx+12=g对其求导可得2f′2x=−2f′2−2x,也即f′由A知:f′x+f′4−x=0,故可得f′2−再令x为x+2,则f′x+2=f′4+x,故对D:由C推导可知f2x=f2−2x,令2x为x可得f联立可知f2−x=f4−x,也即f又gx+12=f2x+1，则g故gx+12=gx+32，也即则i=1100g12.210根据题意,可分为三类:①选三个女教师，全排列即可，不同的安排方案有A53②选两个女教师，一个男教师，其中男教师只能担任主考或后方监考，两名女教师安排在剩余的两个位置，不同的安排方案有C31③选一个女教师，两个男教师，其中女教师必须担任流动监考，两名男教师安排在主考和后方监考两个位置，不同的安排方案有C51由分类计数原理得,不同的安排方案种数为60+120+13.63∵BF1⋅BF2=0,∴BF1⊥BF2,设AF1=m,由cos∠F1AF2=45得:AB=4514.[−1,+∞)由题意，fxmin≤gxmin，当x<1当x≥1时,x−1≥等号仅当x=1时成立,所以fxmin=0.所以对∀x∈0令hx=lnx−x,则h′x=1x−1=1−xx所以hx在0,1上单调递增,在hxmax=h1=−115.(1)由椭圆C:x2a2+y2b2=1的离心率e=12，得e2=a2−b2a2=14，则4b2=3(2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程l:y由x24+y23=1y=kx+1消去则x1所以k=216.(1)因为an+2+an又a2=a1+2=2，所以an是首项为0,公差为2的等差数列,所以a由bn+1=3bn+2,得b故b1+1=1≠0，所以所以bn的通项公式为b(2)anb令S=则3S上两式相减,得−2所以S=34+2所以Sn(3)因为an=2n−1，an的前20项分别为0,2,4,⋯,38，由bn=3n−1−1≤38得n17.(1)函数fx的定义域为0,+∞，求导可得当a≤0时,f′x=1x−a≥当a>0时,令f′x=当x∈0,1a,f′x>0,函数fx综上可知,当a≤0时,fx在当a>0时,fx在0,1a(2)因为曲线fx在x=2处的切线垂直于直线y=2x,直线y=故f′2=12−a=−12即lnx−x+1令gx=1+1−lnxx,所以g′x=−1x⋅x−当x∈0,e2，g′x<0，函数gx单调递减；当x故gx在x=e2处取得最小值ge2=1+18.(1)由题意可知x=2时，y=800，所以a+b=800，又当x=3时，y=150，所以b2=(2)由题意:fx当1<x≤4时，则f′则令f′x<0,解得53<x<3,令f所以fx在1,53,3,4所以当x=4时有最大值,且当4<x≤12当且仅当100x=2800x,即x=27≈5.3时取等号,所以所以当x=5.3时,fx有最大值19.(1)当a=−1时，函数fx=ex−lnx+1−1，其定义域为−1,+∞，对fx求导，得f′x=ex−1x+又h0当−1<x<0时,hx<0,即f′x<0,fx所以fx在x=0处取得极小值,(2)当a=−2时，ff0=e0−2求导得f′x=exu′x=ex+2x+当x≥0时,ex≥1,2x+12>0,∴又f′0=1−