2025-2026学年河北省衡水二中等校2026年高考数学一模试题 含答案

/2026年河北省衡水二中等校高考数学一模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知两个单位向量a，b互相垂直，则|a−A.3 B.2 C.5 2.设集合A={y|y=lg(4−A.[22,+∞) B.[22,4)3.若z2=−3+4i，则zA.13 B.3 C.12 4.在正四面体ABCD中，E为棱BC的中点，CF=3FD，CG=3GA，则A.27 B.514 C.375.某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策.现随机抽取1000户居民，统计其月用水量(单位：吨)，并绘制出如图所示的频率分布直方图.若用这1000户居民的月用水量的80%分位数作为月用水量的临界值(精确到0.1)，使得月用水量不超过该值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的临界值为(

)A.26.8吨 B.27.7吨 C.28.3吨 D.29.2吨6.若3sinα2+A.[−1,78) B.(78,1]7.函数f(x)=A.1 B.2 C.3 D.48.若非负数x，y满足y2−2x=6A.42 B.42 C.210二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若函数f(x)=−1−sinωx(ω>0)在(0,π)A.12 B.1 C.52 10.已知函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x，y，fA.f(1)=1 B.xf(x)的最小值为−13

C.f11.已知正方形ABCD的边长为2，PA⊥平面ABCD，QB⊥平面ABCD，P，Q在平面ABCD的同一侧，且PA=A.点Q在四棱锥P−ABCD外接球的球面上

B.四棱锥Q−ABCD内切球的表面积为(26−162)π

C.四棱锥P−ABCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设[x]表示不超过x的最大整数，则不等式1≤2[x13.已知P是椭圆C：x29+y25=1上一点，点A(−2,0)，B(2,0)，若|PA|=2|PB|，过点A作PB的垂线，垂足为14.来自某校高二年级的4名男生和3名女生组成的7人团队参加数学建模竞赛.该竞赛包含方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下：①每个环节至少安排1名选手，每人只参加1个环节；②方案设计环节人数多于模型构建环节人数；③编程实现环节至少安排2人，且至少有1名女生；④成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有

种.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E，F分别为棱BB1，AA1，CC1的中点，G为线段EF上的动点．

(1)证明：B1G//平面ACD．

16.(本小题15分)

某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立．

(1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率．

(2)若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率．

(3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费(检修后无损失)，若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由．17.(本小题15分)

已知集合{x∈Z|an<x<bn,n∈N∗}中元素的个数为cn．

(1)若an=−n，bn=3n，求c2．

(2)若{a18.(本小题17分)

已知函数f(x)=−ax3+2xex．

(1)证明：存在m∈R，使得曲线y=f(x)在点(m,19.(本小题17分)

设抛物线Ω的顶点为坐标原点O，焦点为F，且线段OF的中点为(p4,0)(p>0)．

(1)当p=87时，求Ω的准线方程．

(2)点A为Ω上一动点，过A作Ω的准线l的垂线，垂足为H，设过A，F，H三点可作双曲线C，且C的两个焦点均在x轴上．

(ⅰ)若C过点O，求C答案1.A

2.A

3.D

4.B

5.C

6.A

7.B

8.C

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.[0,3)

13.1514.解：为方便叙述，将“方案设计”、“模型构建”、“编程实现”、“成果展示”四个环节依次记为环节一、环节二、环节三、环节四，

由规则②④可知，“方案设计”至少有2个人，

“方案设计”、“模型构建”和“成果展示”至少共有4个人，

∴“编程实现”最多有3个人．

当“编程实现”有3个人时，

则有可能是3个女生，或者2个女生和1个男生，或者1个女生和2个男生，

则安排好“编程实现”有C33+C32C41+C31C42=31种方案，

剩余4个人，“方案设计”必然有2个人，“方案设计”和“模型构建”各有1个人，

则安排好“方案设计”、“模型构建”和“模型构建”有C42C21=12种方案．

∴安排好四个环节共有31×12=372种方案．

当环节三有2个人时，则有可能是2个女生，或者1个女生和1个男生，

则安排好环节三有C32+C31C41=15种方案，

剩余5个人，

当环节一有2个人时，环节四有2个人，环节二有1个人，此时有C52C32=30种方案；

当环节一有3个人时，环节四有1个人，环节二有1个人，此时有C53C21=20种方案．

所以安排好四个环节共有15×(30+20)=750种方案．

综上，满足条件的安排方案共有372+750=1122种．

故1122．

15.(1)证明：连接B1E，B1F，

因为D，E，F分别为棱BB1，AA1，CC1的中点，ABC−A1B1C1为正三棱柱，

所以AE/​/CF，AE=CF，

所以四边形ACFE为平行四边形，则EF/​/AC，

又EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，

所以EF/​/平面ACD．

同理可得B1F/​/平面ACD，

因为B1F∩EF=F，

所以平面B1EF//平面ACD，

又B1G⊂平面B1EF，

所以B1G//平面ACD．

(2)取AC的中点O，连接16.解：(1)设某日检测结果与设备实际状态不符为事件A，

由全概率公式可得P(A)=(1−0.2)×(1−0.9)+0.2×(1−0.9)=0.1；

(2)设恰有2天检测结果与实际不符为事件B，

则P(B)=C42×0．12×(1−0.1)2=0.0486，

故恰有2天检测结果与实际不符的概率为0.0486；

(3)应该引进该自动化检测系统，理由如下：

设使用自动化检测系统时每日总支出(即总损失)为X元．

设备故障且被判为故障的概率为0.2×0.9=0.18，

设备正常却被判为故障的概率为(1−0.2)×(1−0.9)=0.08，

设备故障却被判为正常的概率为0.2×(1−0.9)=0.02，

则E(X17.解：(1)集合{x∈Z|an<x<bn,n∈N∗}中元素的个数为cn，

若an=−n，bn=3n，则a2=−2，b2=9，

则满足−2<x<9的整数为−1，0，1，…，8，共有10个，

故c2=10；

(2)证明：若{an}，{bn}均为等差数列且an<bn，an，bn∈Z，

所以cn=bn−an−1，

所以cn+1−cn=(bn+1−an+1−1)−(bn−an−1)=(bn+1−bn)−(an+1−an).

因为{an}，{bn}均为等差数列，所以可设an+1−an=d1，bn+1−bn=d2，

则(bn+1−bn)−(an+1−an)=d2−d1为常数，

故{cn}是以b1−a1−1为首项，d2−d1为公差的等差数列．

(3)由bn+1=2bn+2，得bn+1+2=2bn+4，即bn+1+2=2(bn+2)，

则数列{bn+2}是b1+2=12为首项，公比为2的等比数列，

则bn+2=12⋅2n−1，则bn=3⋅2n+1−2>an．

当n=1时，a1=0，b1=10，c1=10−0−1=9．

当n=2时，a2=3，b2=22，c2=22−3−1=18．

当n≥3时，an=2n−2n，因0<2n<1，所以2n−1<an<2n，故大于an的最小整数为2n，

又bn为整数，则cn=(bn−1)−2n+1=bn−19.解：(1)抛物线Ω的顶点为坐标原点O，焦点为F，且线段OF的中点为(p4,0)(p>0)．

当p=87时，依题意得F的坐标为(47,0)，

所以Ω的准线方程为x=−47．

(2)点A为Ω上一动点，过A作Ω的准线l的垂线，垂足为H，设过A，F，H三点可作双曲线C，且C的两个焦点均在x轴上．

(ⅰ)因为C的两个焦点均在x轴上，且C经过A，H，F，O，

所以由对称性可知，C的中心为线段OF的中点，即O'(p4,0)，

实半轴长为p4，设C