2025-2026学年上海市松江区西外外国语学校高二下册月考数学试题 含答案

/2025-2026学年上海市松江区西外外国语学校高二下学期3月月考数学试卷一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。1.对变量x、y有观测数据（xi，yi），得散点图1；对变量u、v有观测数据（ui，vi），得散点图2.分别用r1、r2表示变量x与y、u与v之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（）A.变量x与y呈现正相关，且|r1|＜|r2| B.变量x与y呈现负相关，且|r1|＞|r2|

C.变量u与v呈现正相关，且|r1|＜|r2| D.变量u与v呈现负相关，且|r1|＞|r2|2.设曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线为l.则以下说法正确的个数是（）

①l与曲线y=f（x）可能没有交点

②l与曲线y=f（x）一定只有一个交点

③l与曲线y=f（x）不可能有且仅有两个交点

④l与曲线y=f（x）可能有无穷多个交点A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.根据一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x20，y20），求得经验回归方程为y=1.8x+0.6，且平均数.现发现这组样本数据中有两个样本点（2.2，3.5）和（7.8，15.7）误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为y=1.6x+a,则a=（）A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.84.若存在实常数k和b,使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”，已知函数f（x）=x2（x∈R），g（x）=，h（x）=2elnx（e为自然对数的底数），有下列两个命题：

命题α：f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y=2x-e；

命题β：f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为-1.

则下列说法正确的是（）A.命题α、命题β都是真命题 B.命题α为真命题，命题β为假命题

C.命题α为假命题，命题β为真命题 D.命题α、命题β都是假命题二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.函数f（x）=x2在区间[-1，2]上的平均变化率为

.6.设函数f（x）=sin（1+x），则f′（x）=

.7.已知函数f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的极大值点是

.8.已知从小到大排列的一组数据1，2，4，x,8，10，若这组数据的第60百分位数与平均数相等，则实数x的值为

.9.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是

.10.已知f（x）=-x2+mx+1在区间（-2，-1）上的最大值就是函数f（x）的极大值，则m的取值范围是

.11.设点A在直线上，点B在函数f（x）=lnx的图象上，则|AB|的最小值为

.12.若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为

.13.已知三次函数无极值，且满足，则a2-b2=______．14.函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为

．15.如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线PQ为以AD为对称轴的抛物线的一部分，DM=DN=3.工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料BQRR，当其面积有最大值时，AQ的长为

.

16.对于函数f（x）和g（x），设m∈{x|f（x）=0}，n∈{x|g（x）=0}，若存在m,n,使得|m-n|≤1，则称f（x）和g（x）互为“零点关联函数”，若函数f（x）=ex-2+ln（x-1）-1与g（x）=x（lnx-ax）-2互为“零点关联函数”，则实数a的最小值是

.三、解答题：本题共5小题，共15分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题3分)

已知函数.

（1）求f（x）在（1，+∞）上的单调区间；

（2）存在x0∈（0，1）∪（1，+∞），使得成立，求实数k的取值范围.18.(本小题3分)

设函数f（x）=x3-x2+6x-a．

（1）对于任意实数x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；

（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．19.(本小题3分)

为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”），其中乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a（1≤a≤3）表示.

（1）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求a的所有可能取值；

（2）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”，设a=3，从这20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率；

（3）记甲组阅读量的方差为；在甲组中增加一名学生A得到“新甲组”，若A的阅读量为10，则记“新甲组”阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记“新甲组”阅读量的方差为；通过计算比较、、的大小（结果精确到0.1），并从数学角度解释这一现象.20.(本小题3分)

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距是2.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l：x-my-4=0与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段DE为直径的圆经过原点，求实数m的值；

（Ⅲ）设A，B为椭圆C的左、右顶点，H为椭圆C上除A，B外任意一点，线段BH的垂直平分线分别交直线BH和直线AH于点P和点Q，分别过点P和Q作x轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值.21.(本小题3分)

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx+1（b为常数）．

（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；

（2）若b=0，h（x）=f（x）-g（x），∃x1、x2[1，2]使得h（x1）-h（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

（3）当b≥2时，若对于区间[1，2]内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，求b的取值范围．

1.【正确答案】D

2.【正确答案】B

3.【正确答案】B

4.【正确答案】B

5.【正确答案】1

6.【正确答案】cos（1+x）

7.【正确答案】2

8.【正确答案】5

9.【正确答案】0.87

10.【正确答案】（-4，-2）

11.【正确答案】

12.【正确答案】（-1，+∞）

13.【正确答案】12

14.【正确答案】（-1，+∞）

15.【正确答案】

16.【正确答案】-2

17.【正确答案】减区间（1，e），增区间（e，+∞）

18.【正确答案】解：（1）f′（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2），

因为x∈（-∞，+∞），f′（x）≥m，

即3x2-9x+（6-m）≥0恒成立，

所以△=81-12（6-m）≤0，

得，即m的最大值为

（2）因为当x＜1时，f′（x）＞0；

当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0；

所以当x=1时，f（x）取极大值；

当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2-a；

故当f（2）＞0或f（1）＜0时，

方程f（x）=0仅有一个实根、解得a＜2或

19.【正确答案】a=1或2；

P=；

＜＜，甲组数据的平均值为10，方差体现数据的集中和离散程度，当加入数据为10（甲组数据的平均值）时，数据更加集中，方差变小，

当加入数据为20时，数据更加分散，方差变大

20.【正确答案】（Ⅰ）解：因为2a=2•2b，2c=，

所以a=2b，c=，

又a2=b2+c2，解得a=2，b=1，

所以椭圆C的方程为；

（Ⅱ）解：设D（x1，y1），E（x2，y2），

联立方程组，可得（m2+4）y2-8my+12=0，

则由韦达定理可得，，

则=，

又以线段DE为直径的圆经过原点，所以，

即，解得；

（Ⅲ）证明：由题意A（-2，0），B（2，0），设H（x0，y0），

则直线BH的方程为，

直线AH的方程为，

由中点坐标公式可得，，

所以直线PQ的方程为，

联立直线PQ和直线AH的方程可得，

所以，

故，

所以线段MN的长为定值．

21.【正确答案】解：（1）∵f（x）=lnx，

∴f′（x）=，f′（1）=1，

∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，

∵直线y=x-1与函数g（x）的图象相切，由

消去y得x2-2（b+1）x+4=0，

则△=4（b+1）2-16=0，解得b=1或-3，

（2）当b=0时，

∵h（x）=f（x）-g（x）=lnx--1（x∈[1，2]），

∴h′（x）=-x=，

当x∈（1，2]时，h′（x）＜0，

∴在[1，2]上单调递减，

h（x）max=h（1）=-，h（x）min=h（2）=ln2-3，

则[h（x1）-h（x2）]max=h（x）max-h（x）min=，

∴M≤＜1，故满足条件的最大整数是M=0．

（3）不妨设x1＞x2，

∵函数f（x）=lnx在区间[1，2]上是增函数，

∴f（x1）＞f（x2），

∵函数g（x）图象的对称轴为x=b，且b≥2，

∴函数g（x）在区间[1，2]上是减