【《Monge–Ampère方程的研究方法综述》6400字】

Monge–Ampère方程的研究方法综述目录TOC\o"1-3"\h\u17521Monge–Ampère方程的研究方法综述 1144171.1牛顿法 1238951.2最小二乘法 2137701.3增广拉格朗日方法 4147361.4勒让德变换 771161.5共轭梯度法 8在过去对Monge–Ampère方程的研究中，由于不同边值条件的影响，所采用的方法也各有千秋。目前我所了解到的求解Monge–Ampère方程数值解的方法有以下三种，分别是牛顿法，最小二乘法，以及我所采用的增广拉格朗日方法。三种方法各有优缺点，在下文中我会一一阐明。其中在研究增广拉格朗日方法中，为了求解核心方程，我还需要更进一步了解共轭梯度方法；后续又因为对方法的改进转而先使用勒让德变换之后再利用共轭梯度法，都将在此部分一一说明。牛顿法牛顿迭代法是非常常见的一种求解方法，其优点在于每一步迭代之后都能能够根据前一步的迭代结果进行相应的调整，能够在保证迭代结果稳定性的前提下降低迭代次数。利用牛顿迭代法对具有周期边界条件的Monge–Ampère方程进行数值求解基本步骤如下。首先考虑一个Monge–Ampère方程QUOTE其中QUOTE蠄蠄是在空间QUOTE中的凸函数，且d≥2。其中QUOTE是一个黑塞矩阵，QUOTE渭渭是一个给定的正值函数。在这里我们将其视作连续性方法的一个变体，利用先验估计证明了算法的稳定性，同时可以控制算法公式的起点以及线性问题[17]。因为选取的Monge–Ampère方程是具有周期边界条件的，所以我们为了避免在边界上会出现的问题，在周期性的假定下，将方程表示为：给定一个正的周期函数QUOTE渭渭，其在QUOTE上，则找到一个周期函数QUOTE，使得QUOTE(3-1-1)QUOTE为QUOTE上的凸函数。以上方程存在的一个适定的必要条件是

QUOTE(3-1-2)而我们想要利用牛顿迭代法来解方程则需要将算子F线性化，方法如下：给定两个d×d的矩阵A和B，我们有QUOTE(3-1-3)其中QUOTE，traceA表示为矩阵A的迹，QUOTE表示为矩阵A的协同矩阵，在A可逆的前提下，QUOTE。即可得到QUOTEFu+sn=det(I+DQUOTE(3-1-4)对于光滑的周期函数n和参数QUOTEs鈭圧s鈭圧，线性化之后的Monge–Ampère算子表示为QUOTE(3-1-5)其中M是QUOTE的协同矩阵。最后我们给出求解线性化之后的Monge–Ampère算子的相关算法步骤：给定一个QUOTE，迭代将对m∈N进行(1)计算QUOTE(2)得到QUOTE的协同矩阵QUOTE(3)解如下的Monge–Ampère方程QUOTE(4)计算QUOTE以上即为牛顿法的相关步骤。最小二乘法该方法和我的研究所采用的增广拉格朗日方法出自于同一作者，在研究了增广拉格朗日方法之后的第二年又发表了一篇使用最小二乘法对Monge–Ampère方程进行相关研究的文章。由于在特定的情形下，一些问题使用增广拉格朗日方法无法解决，主要集中在求解一些原本属于QUOTE的合理的最小二乘解较难进行，而最小二乘法由于与增广拉格朗日方法有一定的相似之处，所以在求解时很容易与之前所使用的混合有限元近似差分方法进行结合，因此最终可以证明其具有良好的收敛性，且获得相应的解的时候速度会更快[18]。根据增广拉格朗日方法的相应步骤，提出了如下的一种最小二乘公式：QUOTE其中QUOTE但由于其相当依赖迭代方法，收敛性甚至不如之前的增广拉格朗日方法，所以经过改进又提出了第二种最小二乘公式QUOTE(3-2-1)其中QUOTE(3-2-2)该方法的思想如下：首先定义一个非凸函数QUOTE(3-2-3)作为集合的指标泛函，则原有的最小二乘公式式3-2-1就等价于如下问题QUOTE(3-2-4)式3-2-1形式上的欧拉—拉格朗日方程即为QUOTE(3-2-5)式3-2-5有一个解QUOTE{蠄,p}{蠄,p}QUOTE(3-2-6)QUOTE(3-2-7)应用一个算子分裂方法来求解如上的初值问题，即可得到如下的迭代方法QUOTE(3-2-8)在n≥0时，已知QUOTE，通过下述步骤QUOTE(3-2-9)QUOTE

(3-2-10)来求解QUOTE。而上式又分别是QUOTE(3-2-11)与QUOTE(3-2-12)这两个极小化问题的最优性必要条件和解。因此求解上述两式即可，在求解时，采用了与增广拉格朗日方法中相同的有限元差分方法和共轭梯度法，并辅以一个三变量多项式。后续的数值实验阶段，也能够证明最小二乘法相对于增广拉格朗日方法在解的精度方面带来的提升，比如第一个实验精度提高到约为十分之一。在对第三个测试问题进行数值实验时，真正体现出了最小二乘法相对于增广拉格朗日方法的优点。由于不存在光滑解，增广拉格朗日方法并不能求解出相应的结果，而在最小二乘法的实验中，阐明了E-MAD问题在没有解时增广拉格朗日方法的收敛性。由于最小二乘法是在增广拉格朗日方法的基础上进行研究的，其计算求解的精度确实有了很大的提升，但是相对于增广拉格朗日方法，虽然在一些步骤上有相近，但由于其还有后续步骤，且计算求解时的复杂程度也更高。因此，要在学习理解好增广拉格朗日方法的基础之上再来进行最小二乘法的学习会取得更好的效果。增广拉格朗日方法最后介绍我所采用的增广拉格朗日方法。其主要思想是将所要求解的E-MAD问题重组一下，成为一个变分问题，其涉及双调和算子。然后为该泛函建立鞍点公式，最后运用迭代方法进行求解[19]。对能求解出数值解的方程进行求解，如果不能进行求解，则验证其收敛性或给出近似解。首先给定一个空间QUOTE(3-3-1)如果QUOTE，则给定的该空间即为非空。若E-MAD问题在该空间中有解，就可以认为，从变分法考虑QUOTE时，QUOTE，QUOTE是有意义的。其中QUOTE(3-3-2)QUOTE(3-3-3)从之前做过的相关工作得到启发，我们引入两个对称张量值函数QUOTE，得到一个相关的极小化问题QUOTE，QUOTE(3-3-4)其中QUOTE(3-3-5)QUOTE(3-3-6)QUOTE(3-3-7)此时，由上述方程联想到了如下的一个鞍点问题，设r是一个正参数QUOTE(3-3-8)其中QUOTEQUOTE为了计算上述增广拉格朗日泛函的鞍点，我们推出了如下的迭代步骤：在前面的集合中QUOTE是已知的，我们一般取QUOTE位0=0位0=0，QUOTE蠄-1蠄-1是QUOTE的解。当n≥0时，QUOTE是已知的，则求解下述方程QUOTE(3-3-9)QUOTE(3-3-10)QUOTE(3-3-11)式3-4-9需要逐点求解，我们可以在给定区域上最小化一个如下类型的三变量多项式：QUOTE(3-3-12)它是一个广义特征值问题，其中QUOTE，我们通过牛顿法的一个变种来求解。式3-4-10等价于一个如下的适定线性变分问题：QUOTE这个问题的求解需要使用共轭梯度算法。进行数值实验时需要对三个测试问题进行求解，第一个问题是：QUOTE函数g是由四个部分组成的：QUOTEgx=ex12QUOTEgx=ex22QUOTEgx=e1+x1QUOTEgx=e1+x2通过迭代，最终求解出了该问题的解，也证明了其具有良好的性质。第二个问题是：QUOTE函数g是由四个部分组成的：QUOTEgx=(223QUOTEgx=(223QUOTEgx=(223QUOTEgx=(223同样利用给出的函数g可以通过迭代求解出精确解。

第三个问题是：QUOTE由于这个问题在空间QUOTEH2(惟)H从上述介绍我们可以看出，不管是牛顿法、最小二乘法还是增广拉格朗日方法，都是需要结合使用其他算法，比如鞍点公式、共轭梯度法等才能进行求解，这也要求我在研究过程中不能单一的只学习一个方面，要具有发散性思维，能够很好的利用已知的多种方法来为我的研究服务。勒让德变换1787年，Legendre在前人关于最小曲面研究的启发下，提出了勒让德变换，但在当时并没有引起很大的震动。在后来的研究中人们逐渐发现了其重要性，这才将其引入了数学、物理学中，并在很多方面广泛应用以简化步骤、提高便捷性。以下勒让德变换步骤是在马力老师的讲授下得到的：u定义为QUOTE，且u严格凸于x，即QUOTE勒让德变换即为QUOTE(3-4-1)QUOTE(3-4-2)又由于，即可得到QUOTE(3-4-3)此处可以断言，对于p仍然是凸的。QUOTE，有QUOTEQUOTE(3-4-4)得到QUOTE(3-4-5)QUOTE(3-4-6)由于QUOTE，即QUOTE(3-4-7)由于QUOTE(3-4-8)对式3-4-8求p导数得到QUOTE(3-4-9)对式3-4-8求y导数得到QUOTE(3-4-10)式3-4-10可以推出QUOTE因此对式3-4-5求y导数得到QUOTE(3-4-11)对式3-4-5求p导数得到QUOTE(3-4-12)综上即得到QUOTE(3-4-13)共轭梯度法共轭方向方法一直以来都被认为是介于最速下降法和牛顿法之间的一种方法。它是由于人们希望加快最速下降法中的典型的缓慢收敛同时又想避免评估、存储与黑塞矩阵的转置或者相应方程组的解有关的信息，因此被发明出来的[26]。最开始发明共轭方向方法是用来分析如下的纯二次问题QUOTEminimize12xTQx-其中Q是一个n×n的对称正定矩阵。原来用来解决这个问题的方法在后来通过近似被扩展到更为一般的问题上。近似的原因是因为学者们认为在解这个点附近，每个问题都是近似二次的，所以收敛现象就类似于纯二次问题。共轭方向方法所在的领域是非线性规划领域里一个非常具有创造性的领域，在这个领域中，对纯二次问题的分析与探索可以带来十分重大的实际进展。而在处理一般的目标函数方面，共轭方向方法被证明在是十分有效的，特别是共轭梯度法，因此共轭梯度法也被学者们认为是最佳的通用方法。首先我们来了解一下什么是共轭方向。共轭方向是指给定一个对称矩阵Q，有两个向量QUOTEd1d1和QUOTEd2d2是Q正交的，或者当QUOTEd1TQd2=0d1TQd2=0时d1和d2是关于Q共轭的[26]。在我们所考虑的实际应用中，通常认为矩阵Q是正定的，但这并不是一尘不变的。因为如果Q=0，那么我们任意取两个向量，它们都会是共轭的；而如果Q=1，此时的共轭概念就等价于我们通常所说的正交概念，即一个由QUOTEd0d0，QUOTEd1d1，…，QUOTEdkdk构成的集合在QUOTEdiTQd在探讨一般的共轭方向方法之前，先来探讨一下为什么“Q正交”这个概念在Q是正定时在二次问题QUOTEminimize12xTQx-bT的解决中是有效的。我们知道，式3-5-2所代表的这个二次问题的唯一解同时也是如下线性问题QUOTEQx=bQx=b的唯一解，因此极小化二次问题就等价于一个线性问题。对一个n×n正定矩阵Q，我们设QUOTEd0d0，QUOTEd1d1，…，QUOTEdn-1dn-1是n个非空的Q正交向量，那么它们是线性无关的。证明如下：给定一些常数QUOTE，i=0,1,2,…,k使得QUOTE(3-5-4)将式3-5-4与Q相乘，并取具有QUOTEdidi的标量积得到

QUOTE(3-5-5)由于Q是正定的，即QUOTEdiTQdi>0diTQdi>0，因此线性无关的成立也证明了式3-5-2和式3-5-3的结果可以因此展开为一些由QUOTE组成的集合，即QUOTE(3-5-6)事实上，乘Q然后取QUOTEdidi的标量积得到QUOTE(3-5-7)这表明了QUOTE以及解QUOTEx*x*可以通过简单的标量积的求值得到。最终结果是QUOTE(3-5-8)式3-5-8中包含了两个基本思想：第一个基本思想是选择一组正交的QUOTEdidi以便得到一个合适的标量积，使得除了第i项之外，式3-5-6右侧的所有项都消失了，当然普通意义上的正交也可以让QUOTEdidi实现，而不是必须要Q正交；第二个基本思想是通过Q正交性，使得QUOTE的结果方程可以用已知向量b而不是未知向量QUOTEx*x*来表示，因此可以在不知道QUOTEx*x*的情况下来计算系数[26]。式3-5-8写成QUOTEx*x*的展开式可以被认为是一个n步迭代过程的结果，在第i步的时候加入了QUOTE伪idi伪idi。在考虑到迭代过程的起点任意性之后，用这种方法来看整个过程，就得到了基本的共轭方向方法我们引入如下的共轭方向定理：设QUOTE{di}i=0n-1{di}i=0n-1是一个非空Q正交向量集，QUOTE，我们通过如下迭代

QUOTE(k≥0)(3-5-9)QUOTE伪k=-gkTd生成序列QUOTE{x0}{x0}，且QUOTEgk=Qxk-bgk=Qxk-b收敛到唯一解QUOTEx*x*，在n步之后的QUOTEQx=bQx=b，即QUOTEx因为QUOTEdkdk是线性无关的，我们可以QUOTE的集合写成如下形式：像我们在之前所使用的方法，乘上Q并且取QUOTEdkdk的标量积得到

QUOTE伪k=-gkTQ(现在上式的迭代过程，我们得到QUOTE(3-5-12)然后根据QUOTEdkdk的Q正交性得到QUOTEdkTQxk-将式3-5-13带入式3-5-11得到与式3-5-10相同的

QUOTE伪k=dkTQ截至到目前为止，共轭方向方法基本上只是通过观察将解决式3-5-2等价于解决式3-5-3而得到的，因此接下来我们来了解一下共轭方向的下降性质。我们将由{QUOTEd0d0，QUOTEd1d1，…，QUOTEdk-1dk-1}张成的空间QUOTEBkBk定义为QUOTEEnEn的子空间，引入扩展子空间定理[26]。设QUOTE{di}i=0n-1{di}i=0n-1是一个由在QUOTEEnEn中的非空Q正交向量构成的序列，对于任意的QUOTE，序列QUOTE{xk}{xk}由如下的迭代方法生成：QUOTE(3-5-15)QUOTE(3-5-16)且序列具有QUOTE{xk}{xk}使得QUOTEfx=12xTQx-bTxfx=12xTQx-bTx在QUOTEx=我们只需要证明QUOTExkxk在线性变化QUOTEx0+Bkx0+Bk上使得f最小化即可，因为它包含了QUOTE。由于f是一个严格的凸函数，如果可以证明QUOTEgkgk（也就是f在QUOTExkxk处的梯度）与QUOTEBkBk正交则定理就成立，情况如图3-1所示。图3-1共轭方向方法我们需要通过归纳法证明QUOTE。首先因为QUOTEB0B0为空，得到k=0是正确的。其次假设对于k来说是对的，也就是说，假设QUOTE。接下来我们证明QUOTE，于是我们就有QUOTEgk+1=gk+伪因此QUOTE(3-5-18)根据QUOTE伪k伪k的定义。同样对于i＜k，我们有QUOTE(3-5-19)式3-5-19右边第一项因为归纳假设而消失，而第二项因为QUOTEdidi具有Q正交性而消失，因此就证明了QUOTE。同时还可以推出：在共轭方向方法中梯度(k=0,1,…,n)满足QUOTEQUOTE，QUOTEgkTdi=0gkTdi=0。上述定理被称为扩展子空间定理，因为QUOTEBkBk构成一个子空间序列，且QUOTE。因为QUOTExkxk在QUOTEx0+Bkx0+Bk上能使f最小化，很明显QUOTExnxn一定是f的全局最小值。因此我们就证明了随着共轭方向方法的发展，每个QUOTExkxk都使得k维线性变化QUOTEx0+Bkx0+Bk图3-2扩展子空间定理的解释为了得到这个结果的另一种解释，我们引入函数：QUOTEEx=12x-x将式3-5-20作为向量QUOTExx与解QUOTEx*x*接近程度的度量。又因为QUOTEEx=fx+12x*TQx*Ex=fx+12x*TQx*，所以函数E可以被我们看作是寻求最小化的目标。再考虑E的最小化，我们可以把原始问题看作到点QUOTEx*x*的广义距离的极小化。如果Q=I，距离的广义概念将与通常的欧几里得距离相对应，而对一个任意正定矩阵Q，我们称E是一个广义欧几里得度量或距离函数。向量QUOTEdidi（i=0，1，…，n-1）是Q正交的或者在广义欧几里得空间中被认为是正交的，这就引出了图3-2中所示的扩展子空间定理的简单解释。为了方便起见，我们设QUOTEx0=0x0=0。在图中就广义度量而言，QUOTEdkdk和QUOTEBkBk是正交的，点QUOTExkxk在QUOTEBkBk上最小化E，而QUOTExk+2xk+2在QUOTEBk+1Bk+1上最小化E。其基本特点就是，由于QUOTEdkdk与QUOTEBkBk正交，可以通过沿最小化E并将结果添加到QUOTExkx最后我们引入共轭梯度方法。共轭梯度方法是共轭方向方法的一种，它是在方法步骤的进行中，选择连续的方向向量作为连续梯度的共轭形式而得到的[26]。因此，方向并不是预先确定的，而是在迭代的每一步中按顺序求得的。比如在第k步中，求出当前的负梯度向量，并对其添加一个由此前的方向向量组成的线性组合，就得到一个新的共轭方向向量，并沿着该方向移动相应的步长。这种方向选择方法主要有以下三个优点。第一，除非能在小于n步的迭代内找到解，否则梯度总是非零的，并且与之前所有找到的方向向量都线性无关。由于梯度QUOTEgkgk正交于由QUOTEd0d0，QUOTEd1d1，…，QUOTEdk-1dk-1张成的子空间QUOTEBkBk。如果在第n步之前得到解，那么梯度就会消失，并且过程也将终止，因此在这种情况下，再去寻找其他方向是不必要的。其次，共轭梯度方法的一个更重要的优点是它可以用特别简单的公式来确定新的方向向量，而这种简单性也使得它只比最速下降法稍微复杂一点。第三，因为选择的方向是基于梯度的，所以该过程在每一步都朝着解决问题这一方向进行，并且能取得不错的结果。这与共轭方向的任意序列的情况是有所不同的。共轭梯度方法的实现要依靠如下的算法：QUOTE，定义QUOTEd0=-g0=b-Qx0d0=-(1)QUOTE(3-5-21)(2)QUOTE(3-5-22)(3)QUOTE(3-5-23)(4)QUOTE(3-5-24)其中QUOTEgk=Qxk-b算法的第一步是和最速下降法的步骤相同的，接下来的每一步都朝着一个由当前梯度和前一个方向向量的线性组合构成的新方向移动。这个算法最吸引人的地方就是更新方向向量的简单公式式3-5-23和式3-5-24，因为它能在比最速下降法稍微复杂一点的情况下实现在有限的步骤中收敛。想要验证该算法是共轭方向方法，就需要验证向量QUOTE{dk}{dk}是Q正交的，这在如下的定理中就可以完成证明，同时还需要证明该算法的其他一些性质。

我们引入共轭梯度定理来进行证明。[QUOTEd0d0，QUOTEd1d1，…，QUOTEdkdk]被定义为向量QUOTEd0d0，QUOTEd1d1，…，QUOTEdkdk所张成的子空间。上述的共轭梯度算法是一种共轭方向方法,如果它没有在停止，那么会有以下几个需要证明：

(a)[QUOTEg0g0，QUOTEg1g1，…，QUOTEgkgk]=[QUOTEg0g0，QUOTEQg0Qg0，…，QUOTEQkg0Qkg0](b)[QUOTEd0d0，QUOTEd1d1，…，QUOTEdkdk]=[QUOTEg0g0，QUOTEQg0Qg0，…，QUOTEQkg0Qkg0](c)QUOTE(d)QUOTE伪k=gkT(e)QUOTE我们首先用数学归纳法同时证明(a)(b)(c)。很明显，它们在k=0时成立，现在假设它们对k成立，我们证明它们对k+1也成立。我们有QUOTE。根据归纳假设，QUOTEgkgk和QUOTEQdkQdk都属于[QUOTEg0g0，QUOTEQg0Qg0，…，QUOTEQk+1g0Qk+1g0]，第一个是(a)，第二个是(b)。因此QUOTEgk+1gk+1∈[QUOTEg0g0，QUOTEQg0Qg0，…，QUOTEQk+1g0Qk+1g0]。此外QUOTE[QUOTEg0g0，QUOTEQg0Qg0，…，QUOTEQkg0Qkg0]=[QUOTEd0d0，QUOTEd1d1，…，QUOTEdkdk]，否则的话QUOTEgk+1=0gk+1=0，是因为对于任意的共轭方向方法QUOTEgk+1gk+1是和[QUOTEd0d0，QUOTEd1d1，…，QUOTEdkdk]共轭的。(c)上的归纳假设保证了该方法在QUOTExk+1xk+1内为共轭方向方法。因此我们总结出[QUOTEg0g0，QUOTEg1g1，…，QUOTEgkgk]=[QUOTEg0g0，QUOTEQg0Qg0，…，QUOTEQk+1g0Qk+1g0]，这就证明了(a)。为了证明(b)我们写作：QUOTEdk+1=-gk+1+尾kd接下来，为了证明(c)我们有

QUOTEdk+1TQdi=-对于i=k，根据QUOTE的定义，右边等于0。对于i＜k，两项都消失。第一项从开始消失，归纳假设法会保证该方法是一个到的共轭方向方法，并且根据前面的扩展子空间定理，保证了了QUOTEgk+1gk+1和QUOTE是正交的。通过(c)上的归纳假设使得第二项消失，这证明了(c)，也证明了这个方法是共轭方向方法。为了证明(