二项分布高二下数学人教A版选择性必修第三册

7.4.1二项分布7.4二项分布与超几何分布1.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，3.方差的性质：则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X).2.方差的计算公式：复习回顾求离散型随机变量方差的步骤(1)明取值：理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；(2)求概率：求出X取每个值的概率；(3)画表格：写出X的分布列；(4)求均值：计算E(X)；(5)求方差：计算D(X)．复习回顾学习目标通过具体实例，理解n次伯努利试验的特点，并会判断一个具体问题是否服从二项分布;1通过独立思考、相互交流，并借助由特殊到一般的方法，能归纳出二项分布的概率模型，从中体会数学的理性与严谨，提升数学抽象、逻辑推理与数学运算的素养.2经历实际问题的对比分析，归纳提炼，树立普遍联系的概念；在问题的解决过程中感悟数学与生活的和谐之美，体会数学的文化价值和应用价值.3问题1:这样处理公平吗？问题2:每次试验中可能出现的结果有几种？问题3:每次试验中出现正面向上的概率是多少？两名同学因某个问题而争辩，均不能说服对方，决定用抛硬币的方式来定胜负.将一枚质地均匀的硬币随机抛掷100次，如果出现50次正面向上，则甲胜，否则乙胜.

思考：下列一次随机试验的共同点是什么？(1)掷一枚硬币;(2)检验一件产品;(3)飞碟射击;(4)医学检验.正面朝上；反面朝上合格；不合格中靶；脱靶阴性；阳性只包含两个结果我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然，n重伯努利试验具有如下共同特征:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.新知讲授(1)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生；(2)每次试验是在同样条件下进行的；（可重复）(3)各次试验中的事件是相互独立的；(4)每次试验，某事件发生的概率相同。思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少?(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.(3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.(4)口袋装有5个白球，3个红球，2个黑球，从中依次抽取5个球，恰好抽出4个白球.课堂探究追问:(1)伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？(2)在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？(1)

伯努利试验做一次试验,n重伯努利试验做n次试验.(2)在伯努利试验中,我们关注某个事件A是否发生;在n重伯努利试验中,我们关注事件A发生的次数X

.课堂探究

探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的?解：用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1,2,3)，则X的概率分布列为由于3次射击恰好中靶(k次)，中靶次数X的分布列可表示为课堂探究连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有中靶次数X的分布列为思考：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些?写出中靶次数X的分布列.我们把上面这种分布称为二项分布.课堂探究一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).课堂探究思考对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗?服从二项分布的事件A恰好发生k次的概率正好是二项式定理展开式的第k＋1项，故有课堂探究X不服从二项分布X服从二项分布，X～B(3,0.4)X服从二项分布，X～B(5,0.9)X不服从二项分布下列随机变量服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数分别是什么？（1）10件产品中有4件次品，现在从这10件产品中不放回地依次抽取3件，X表示取得的次品数。（2）10件产品中有4件次品，现在从这10件产品中放回地依次抽取3件，X表示这三次中取得的次品数。（3）某射手击中目标的概率为0.9,连续5次射击中击中目标的次数为X。（4）某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数X。牛刀小试随机变量X服从二项分布的三个前提条件：(1)每次试验都是在同一条件下进行的；(2)每一次试验都彼此相互独立；(3)每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生.只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算.总结提升例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5.用X表示事件A发生的次数，则X～B(10，0.5).(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为(1)恰好出现5次正面朝上的概率为：典例精讲一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下:

(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；

(2)确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；

(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p).总结提升例2、小球下落的过程中，每次碰到圆钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。其中的伯努利试验是__________________________________.重复试验的次数是________.各次试验结果之间是否相互独立?定义每个试验中“成功”的事件A为___________________________.A发生的概率是________.事件A发生的次数与所落入格子的号码X的对应关系是什么?小球碰撞到圆钉后下落的方向10小球碰撞到圆钉后向右落下0.5小球最后落入格子的号码X等于向右下落的次数应用巩固典例精讲典例精讲

例3甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?解1：若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0,3:1或3:2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.典例精讲

若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3,0.6)，所以甲最终获胜的概率为解2：同理，若采用5局3胜制，则X~B(5,0.6)，所以甲最终获胜的概率为思考为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率?采用3局2胜制赛满3局时，若前2局获胜，那第3局的胜负并不影响甲获胜；同样，采用5局3胜制赛满5局，若前3局获胜，那后2局的胜负并不影响甲获胜，若前4局胜3局，那第5局的胜负也不影响甲获胜.所以赛满3局或5局，均不会不影响甲最终获胜的概率.

例3甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?典例精讲

对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的均值和方差等数字特征，因此，一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是我们关心的.

探究假设随机变量X服从二项分布B(n,p)，那么X的均值和方差各是什么?我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上.根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X,我们猜想E(X)＝np.

我们不妨从简单开始,先考察n较小的情况.(1)当n＝1时，X分布列为P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)当n＝2时，X分布列为P(X＝0)＝(1－p)2,P(X＝1)＝2p(1－p),P(X＝2)＝p2.E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2＝2p.D(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).由此可猜想，

若X~B(n,p)，则有课堂探究若X~B(n,p)，则有下面对均值进行证明.证明：课堂探究解：课本76页1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.(1)求X的分布列；(2)E(X)＝_______，D(X)＝_________.巩固练习解：课本77页2.鸡接种一种疫苗后,有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗,求:(1)没有鸡感染病毒的概率；(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.巩固练习解：课本77页3.判断下列表述正确与否，并说明理由:(1)12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12,0.25)；(2)100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6,0.1).每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X~B(3,0.6).(1)正确.理由如下：每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件.(2)错误.理由如下：巩固练习

1、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是

，方差为________.解：当堂检测解：2、某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0.6，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求:(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；(2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率.当堂检测1.二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).若X~B(n,p)，则有2.二项分布的均值与方差：课堂小结

12345678910111213141516基础巩固√

2.(多选)已知随机变量X+ξ=7，若X~B(10，0.6)，则E(ξ)，D(ξ)分别为A.E(ξ)=1 B.E(ξ)=2C.D(ξ)=2.4 D.D(ξ)=5.612345678910111213141516√因为X~B(10，0.6)，所以E(X)=10×0.6=6，D(X)=10×0.6×0.4=2.4.因为X+ξ=7，所以ξ=7-X，由均值和方差的性质可得，E(ξ)=E(7-X)=7-E(X)=1，D(ξ)=D(7-X)=D(X)=2.4.√

√1234567891011121314151612345678910111213141516

12345678910111213141516

√12345678910111213141516

12345678910111213141516√12345678910111213141516

6.(多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是A.P1=P2=P3=P4B.P3=2P1C.P1+P2+P3+P4=1D.P4=3P212345678910111213141516√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

61212345678910111213141516

12345678910111213141516

9.某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30，40)，[40，50)，…，[90，100]，整理得到频率分布直方图如图所示.(1)若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；1234567891011121314151612345678910111213141516

(2)若规定分数在[80，90)为“良好”，[90，100]为“优秀”.用频率估计概率，从该校高三年级学生中随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X，求X的分布列和均值.1234567891011121314151612345678910111213141516

12345678910111213141516所以X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027E(X)=3×0.3=0.9.12345678910111213141516

12345678910111213141516

X0123456P12345678910111213141516(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.

11.若X~B(10，0.5)，则当P(X=k)取得最大值时，k等于A.4或5 B.5或6

C.10D.512345678910111213141516综合运用√

12345678910111213141516√12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

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1234567891011121314151614.随着现代科技的不断发展，手机支付应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用手机支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用手机支付的人数，已知方差D(X)=2.4，且P(X=4)>P(X=6)，则均值E(X)=

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412345678910111213141516

15.某综艺节目中有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：12345678910111213141516拓广探究用时/秒[5，10](10，15](15，20](20，25]人数20333116以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每