立体几何初步平面与平面垂直+高一下学期数学人教A版必修第二册

人教2019A版必修

第二册第八章立体几何初步平面与平面垂直半平面平面内的一条直线将平面分成两部分，每一部分对这个平面来说，都叫做半平面.将一个平面沿平面上的一条直线折起得到的空间图形就称为二面角.类比角的定义，如何定义二面角？二面角空间中，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。其中，这条直线叫做二面角的棱；这两个半平面叫做二面角的面.二面角的表示方法二面角P-AB-Q学生活动二：1.当信封合起来时，信封盖和信封所成角的大小是

，∠AOB是怎样的角？2.当信封完全打开时，信封盖和信封所成角的大小是

，∠AOB是怎样的角？3.∠AOB能刻画信封所成的二面角吗？将上述问题中的信封换成贺卡，结论一样吗？？二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.∠AOB的大小与点O在上的位置有关吗？为什么？二面角的取值范围二面角的大小用它的平面角来度量.求二面角的大小，其实就是求其平面角的度数.当两个半平面重合时规定：二面角为当两个半平面合成平面时规定：二面角为：平面角是直角的二面角叫做直二面角.信封盖和信封形成的二面角的平面角怎样确定？

小试牛刀

.如图，已知四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，则二面角B-PA-D的大小为

.教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数.观察与思考：教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上.两个平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面垂直，记作βααβ图形表示：建筑工人在砌墙时，怎样保证墙面垂直于地面？这种方法说明了什么道理？如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.你能在长方体中发现类似的结论吗？如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面DCC1D1经过平面ABCD的一条垂线DD1，此时，平面DCC1D1垂直于平面ABCD.两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.符号表示

例1.如图，在正方体

ABCD­A'B'C'D'

中，求证：平面

A'BD⊥平面

ACC'A'.ABDCA′B′C′D′你能发现在平面A'BD和平面ACC'A'中有哪些垂直关系吗？(线线、线面)平面

A'BD⊥平面

ACC'A'

例1.如图，在正方体

ABCD­A'B'C'D'

中，求证：平面

A'BD⊥平面

ACC'A'.ABDCA′B′C′D′证明：∵ABCD­A'B'C'D'

是正方体，∴AA'⊥平面ABCD，∴AA'⊥BD.又BD⊥AC，AA'∩AC＝A，∴BD⊥平面

ACC'A'，BD⊂平面

A'BD∴平面

A'BD⊥平面

ACC'A'.

例2.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.求证：平面PAC平面PBC.证明：∵PA⊥平面

ABC，BC⊂平面

ABC，∴PA⊥BC.∵C

是圆周上不同于

A，B

的任意一点，

AB

是⊙O

的直径，∴∠BCA＝90°，即

BC⊥AC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面

PAC，AC⊂平面

PAC，∴BC⊥平面

PAC.又BC⊂平面

PBC∴平面

PAC⊥平面

PBC.1.直线和平面垂直的定义如何？

如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.αA复习回顾2.直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。图形表示符号表示关键：线不在多，相交则行.观察：如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？AA1BCDB1C1D1平行新知探究O证明:假设b不平行于a,b∩α=0，c是经过点O与直线a平行的直线。因为a//c，a⊥α，所以c⊥α。即经过同一点O的两条直线b，c都垂直于平面α，这是不可能的。因此a//b已知：a⊥α，

b⊥α求证：a∥b．思考：如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α,b⊥α，则直线a,b有怎样的位置关系？反证法c直线和平面垂直的性质定理：符号语言：图形语言：

垂直于同一个平面的两条直线平行.ab据上述分析，得到一个什么结论？作用：证线线平行α例1.如图，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等。由A，B是直线l上任意的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等。证明：过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1。∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1//BB1

设直线AA1，BB1，确定的平面为β，β∩α=A1B1∵l//α，∴l//A1B1，∴四边形AA1B1B是矩形。∴AA1=BB1.一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。由例题可得，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。对点训练例2.推导棱台的体积公式其中S'，S分别是棱台的上、下底面面积，h是高。解：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥。过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下交于点O',O，则PO垂直于棱台的上底面。从而O'O=h。设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为V'，高为h'，则PO'=h'。于是所以棱台的体积由棱台的上下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且代入①

，得如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.【证明】因为四边形ADD1A1为正方形所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，